山東財(cái)經(jīng)大學(xué) 馬小丫

關(guān)于找數(shù)字之間規(guī)律的幾點(diǎn)說明：

1.給出數(shù)據(jù)，問通項(xiàng)公式。在做選擇題時(shí)可直接代入檢驗(yàn)，但往往選項(xiàng)與選項(xiàng)之間的差別較小，代入前幾項(xiàng)很難排除，后幾項(xiàng)的計(jì)算量較大。

2.找規(guī)律至少是三項(xiàng)，只有兩項(xiàng)具有無數(shù)種通項(xiàng)。

3.當(dāng)遇到圖形問題時(shí)，可適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為數(shù)字問題，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想。

4.費(fèi)馬猜想的錯(cuò)誤。

猜想：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，+1是一個(gè)質(zhì)數(shù)。

通過驗(yàn)證n=0，1，2，3，4 這五個(gè)事實(shí)，得出此猜想。最后被歐拉舉出反例：n=5時(shí)，+1=641×6700417,不是質(zhì)數(shù)。

這個(gè)事例告訴我們，由個(gè)別事實(shí)的數(shù)量特征，通過歸納得出對(duì)所有對(duì)象都成立的一般特征時(shí)，使用的是不完全歸納法，可能正確，也可能不正確。我們要想說一個(gè)定理不成立，只需要舉出一個(gè)反例即可；而要說明它成立，則需要嚴(yán)格的證明。

當(dāng)然，在做數(shù)字類找規(guī)律的題目時(shí)，往往只需要前三項(xiàng)即可得出結(jié)論。

一、一次型

前后兩項(xiàng)差恒為常數(shù)，為等差數(shù)列形式。

（一）通用公式為“第一個(gè)數(shù)+定值（n-1）”。

證明過程：（運(yùn)用累加法）設(shè)第n項(xiàng)為an，任意前后兩項(xiàng)的差為d，則有：

a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

……

an-1-an-2=d，

an-an-1=d。

令各式相加，再用倒序相加法易得：an-a1=(n-1)d，

所以通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）d。

（二）萬能方法（待定系數(shù)法）：確定為一次型，可設(shè)通項(xiàng)為y=kn+b，將其代入前兩項(xiàng)，即n=1，2時(shí)的情形，即可解得k，b。

二、二次型

證明過程：設(shè)第n項(xiàng)與第（n-1）項(xiàng)之間的差的通項(xiàng)為an-an-1=nd+b，則有：

a2-a1=2d+b，

a3-a2=3d+b，

……

an-an-1=nd+b。

同樣用累加法可得：

（2）建設(shè)骨干網(wǎng) DDoS 防護(hù)系統(tǒng)。建設(shè)流量清洗系統(tǒng)，各省根據(jù)網(wǎng)絡(luò)覆蓋情況配置一臺(tái)或兩臺(tái)引流路由器，用于策略集中配置及流量匯聚。完善流量封堵功能，實(shí)現(xiàn)攻擊流量分區(qū)域封堵。

這是一個(gè)二次函數(shù)形式的數(shù)列。

方法1：通過類似的推導(dǎo)過程，當(dāng)發(fā)現(xiàn)前后兩項(xiàng)差的通項(xiàng)公式為一次函數(shù)形式時(shí)，可通過累加法，采用倒序相加法進(jìn)行求和。

例1：求數(shù)列1，3，6，10……的通項(xiàng)公式。

解：后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別為2，3，4……

第n項(xiàng)與第（n-1）項(xiàng)的差為n，則有：

a2-a1=2，

a3-a2=3，

……

an-an-1=n。

方法2：湊模型法。

模型2：數(shù)列1，4，9，16……的通項(xiàng)公式為：n2。

1.首先判斷是否為二次型，即任意兩項(xiàng)之間的差是否為一個(gè)等差數(shù)列。

2.判斷為哪一種模型的二次型。拿到要求的數(shù)列，往模型1或模型2上湊，看與哪個(gè)模型形式更接近。大多數(shù)二次型可通過項(xiàng)的變換（如向前、向后移項(xiàng)或四則運(yùn)算得到）轉(zhuǎn)換為模型1或模型2。

（2）如若是模型1或2進(jìn)行加減乘除變換，只需要讓模型中的通解進(jìn)行相應(yīng)的加減乘除變換，整理后即可得通解。如：2，5，10，17……通過觀察，對(duì)其進(jìn)行加減乘除運(yùn)算可知為模型2中相應(yīng)的項(xiàng)+1得到的結(jié)果，所以通項(xiàng)為n2+1；又如：3，7，13，21……比較可 知：n=1，a1=3=1+2=n2+n+1；n=2，a2=7=4+3=n2+n+1；n=3，a2=13=9+4=n2+n+1……綜上可得通項(xiàng)公式為n2+n+1。

方法3：如果實(shí)在不好湊，可選擇“萬能方法”：利用待定系數(shù)法。

由于得知為二次型，故可直接設(shè)為an2+bn+c，代入n=1，2，3時(shí)的情況即解得系數(shù)，但由于計(jì)算量較大，不到萬不得已不建議使用。

三、指數(shù)型

當(dāng)前后兩項(xiàng)的差成等比數(shù)列或等比數(shù)列的加減乘除運(yùn)算（后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為常數(shù)）時(shí)為指數(shù)型，如：3，5，9，17……前后兩項(xiàng)的差分別為2，4，8……是一個(gè)等比數(shù)列，此時(shí)通項(xiàng)仍為指數(shù)函數(shù)，且底數(shù)與差的底數(shù)相同。

證明過程：設(shè)第k項(xiàng)與第（k-1）項(xiàng)的差為a0·qk，同樣利用“累加法”的思想得到：

各式相加得：

1.基本模型：2，4，8，16，32……其通項(xiàng)公式為2n。

2.同理，當(dāng)出現(xiàn)對(duì)模型進(jìn)行前后項(xiàng)的平移，如：1，2，4，8，16……即原來的第k項(xiàng)為2k，現(xiàn)在第k項(xiàng)變?yōu)?k-1（或判斷出平移后直接代入第一個(gè)），所以通項(xiàng)公式為2n-1。

3.如若是該模型進(jìn)行加減乘除變換，只需要讓模型中的通解進(jìn)行相應(yīng)的加減乘除變換，整理后即可得通解。如：2，3，5，9，17……首先，前后兩項(xiàng)的差分別為：1，2，4，8……可判斷為指數(shù)型，于是往基本模型上靠攏，先將模型移項(xiàng)，再加1，即得通項(xiàng)：2n-1+1。

另外，由于計(jì)算量較大，不建議用“萬能方法”。