安徽省合肥市第七中學(xué)(230001) 錢良辰 王世朋

近期在一次模擬題訓(xùn)練時(shí),遇到了一個(gè)相似橢圓的求解問題,通過問題探究發(fā)現(xiàn)了一些有價(jià)值的的結(jié)論.為了厘清問題研究的策略與結(jié)論形式,對有關(guān)的文獻(xiàn)進(jìn)行了研讀,如文[1]中,主要聚焦橢圓E1上一點(diǎn)作E1的切線和橢圓E2上一點(diǎn)作E1的兩條切線獲得相關(guān)有趣的性質(zhì).文[2]圍繞和λ= 2 兩類相似橢圓獲得相關(guān)結(jié)論.文[3]中,探究了過E2上一點(diǎn)作E2的切線與過E2上另外一點(diǎn)作切線,有相關(guān)線段間結(jié)論.在實(shí)際教學(xué)中,通過GGB 作圖驗(yàn)證,我們發(fā)現(xiàn)除以上相應(yīng)結(jié)論外,還存在非常有趣的面積性質(zhì)結(jié)論.

為了研究方便,先給出相似橢圓的定義:

已知橢圓E1:λ2(λ ?= 1),則稱橢圓E1與橢圓E2是相似橢圓.不失一般性,僅考慮E2:=λ2(λ>1)情形.

通過研究,我們得到過橢圓E1上一點(diǎn)作切線和過橢圓E2上一點(diǎn)作切線兩方面的面積性質(zhì).

一、研究結(jié)果

1.過橢圓E1 上點(diǎn)引發(fā)的面積性質(zhì)探究

我們得到如下定理:

定理1P為E1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作E1的切線交E2于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),C為E2上任意一點(diǎn),則當(dāng)O,P,C三點(diǎn)共線時(shí),S?ABC有最大值;當(dāng)O,C在直線AB同側(cè)時(shí),S?ABC最大值為如圖1;當(dāng)O,C在直線AB異側(cè)時(shí),S?ABC最大值為ab(λ ?1)如圖2.

圖1

圖2

定理2如圖3,P為E1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作E1的切線交E2于A,B兩點(diǎn),分別過A,B作E1的切線l1,l2(異于直線AB),切點(diǎn)分別為C,D兩點(diǎn),若l1,l2相交于點(diǎn)M.則有結(jié)論:(1) 點(diǎn)M軌跡為橢圓且與E1,E2均相似; (2)S?MAB=

圖3

定理3如圖4,P,Q為E1上任意互異的兩點(diǎn),分別過點(diǎn)P,Q作E1的切線交E2于A,B,C,D,連接AD,PQ,BC.則有結(jié)論:(1)AD//PQ//BC;(2) 當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí),四邊形ABCD面積最大值.

圖4

2.過橢圓E2 上點(diǎn)引發(fā)的面積性質(zhì)探究

我們得到如下定理:

定理4如圖5,P為E2上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作E1的切線分別交E2于點(diǎn)C,D兩點(diǎn),切點(diǎn)分別為A,B兩點(diǎn),連接AB,OA,OB,CD.則S?P AB=

圖5

二、定理的證明

為了證明定理內(nèi)容,需要給出如下引理:

引理設(shè)E1上任一點(diǎn)P(acosα,bsinα)(0 ≤α <2π),E2上任一點(diǎn)Q(λacosθ,λbsinθ)(0 ≤θ <2π),則當(dāng)與同向時(shí),θ=α;當(dāng)反向時(shí),θ ?α=±π.

證明?cosαsinθ= sinαcosθ ?sin(θ ?α)=0,所以θ ?α=kπ,k ∈Z,又0 ≤α,θ <2π,故當(dāng)與同向時(shí),θ=α;當(dāng)反向時(shí),θ ?α=±π.

定理1 的證明設(shè)P(acosα,bsinα) (0 ≤α≤2π),C(λacosθ,λbsinθ)(0 ≤θ <2π),則E1在P處切線lP的方程為= 1,聯(lián)立lP與E2方程,消y整理得x2?2acosαx+a2(1?λ2sin2α) = 0,?=4a2cos2α ?4a2(1?λ2sin2α)=4a2(λ2?1)sin2α≤0,所以

又C到lP的距離

定理2 的證明設(shè)P(acosθ,bsinθ),C(acosα,bsinα),D(acosβ,bsinβ) (0 ≤θ,α,β <2π),則E1在P處切線lP的方程為= 1;E1在C處切線lC的方程為= 1;E1在D處切線lD的方程為=1.聯(lián)立lP與lD,

因?yàn)锳,B在E2上,所以

解得cos(α ?θ) = cos(β ?θ) =于是,θ=±π,sin(α ?θ)=?sin(β ?θ).所以

又

所以M的軌跡方程為與E1,E2均相似.因?yàn)?/p>

當(dāng)λ >

定理3 的證明設(shè)P(acosα,bsinα),Q(acosβ,bsinβ),(0 ≤α,β <2π),設(shè)直線AB方程為:(0 ≤θ <2π,θ為參數(shù)).因?yàn)锳B與E1相切與點(diǎn)P,所以asinθsinα+bcosθcosα= 0; 聯(lián)立直線AB方程與E2方程=λ2,得

化簡得t2= (λ2?1)(a2sin2α+b2cos2α).不妨設(shè)

所以AD//PQ,同理可得BC//PQ,則AD//PQ//BC.

整理得:b(sinα?sinβ)x?a(cosα?cosβ)y+absin(β?α)=0.則點(diǎn)A到lP Q的距離

|PQ|=所 以S四邊形ABCD= 2|PQ|·d=當(dāng)且僅 當(dāng)cos(α ?β) =?1,即α ?β=2kπ+π,k ∈Z 時(shí)等號成立.此時(shí)AB//CD,即四邊形ABCD是平行四邊形.

定理4 的證明P(λacosθ,λbsinθ),A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),(0 ≤θ,α,β <2π).因?yàn)镻B與E1相切于點(diǎn)B,所以(bsinβ ?λbsinθ)·a2bsinβ+(acosβ ?λacosθ)·b2acosβ= 0;即cos(θ ?β) =,同理cos(θ ?α) =于是2θ=α+β+2kπ,k ∈Z.