山東省泰安市寧陽(yáng)縣第一中學(xué)(271400) 劉才華

在與橢圓相關(guān)的綜合型問(wèn)題中,有這樣一類(lèi)問(wèn)題,題目中含有條件“對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)P,Q,O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿(mǎn)足此類(lèi)問(wèn)題一般的解題思路需要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組,通過(guò)消元化歸為一元二次方程,再利用韋達(dá)定理進(jìn)行較為復(fù)雜的運(yùn)算給出解答.我們?cè)诮獯疬@些題目的時(shí)候,通過(guò)觀察探究和整體運(yùn)算求解發(fā)現(xiàn),具有上述條件的橢圓有著一些特殊的結(jié)論,并且結(jié)論之間有著相互的內(nèi)在聯(lián)系.本文從點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系、線段長(zhǎng)度間的關(guān)系和直線斜率間的關(guān)系三個(gè)角度出發(fā),得到如下幾個(gè)優(yōu)美的命題.

命題1如圖1,橢圓= 1(a > b >0)上有兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),O是坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OP,OQ的斜率滿(mǎn)足kOP · kOQ=則

圖1

證明由= 1 得同理有由kOP · kOQ=則由

命題1 給出了一條坐標(biāo)間的定值性質(zhì):滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)的平方和與縱坐標(biāo)的平方和均為定值.

命題2如圖1,橢圓= 1(a > b >0)有兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),O是坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OP,OQ的斜率滿(mǎn)足kOP ·kOQ=則x1y1=x2y2.

證明由命題1 得得同理有由,則于是

故x1y1=x2y2.

命題2 給出了滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)間對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積間的關(guān)系.

通過(guò)探究條件中與點(diǎn)P,Q相關(guān)的線段長(zhǎng)度間的關(guān)系,我們得到

命題3如圖1,橢圓=1(a>b>0)上有兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),O是坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OP,OQ的斜率滿(mǎn)足kOP ·kOQ=則|OP|2+|OQ|2=a2+b2(定值).

證明設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由命題1 得則|OQ|2=a2+b2(定值).

命題3 給出了一條定值性質(zhì):滿(mǎn)足條件的兩條線段長(zhǎng)度的平方和為定值.

命題4如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓1(a > b >0),且AC,BD相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O,若直線OA,OD的斜率滿(mǎn)足kOA·kOD=則|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=4(a2+b2)(定值).

證明由命題3 得|OA|2+|OD|2=a2+b2.

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知四邊形ABCD為平行四邊形.由平行四邊形的四條邊長(zhǎng)的平方和等于對(duì)角線長(zhǎng)的平方和得|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=|AC|2+|BD|2=4(|OA|2+|OD|2)= 4(a2+b2),故|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=4(a2+b2)(定值).

命題4 給出了一條定值性質(zhì):由滿(mǎn)足條件的兩條線段生成的平行四邊形中四條邊長(zhǎng)的平方和為定值.

通過(guò)探究條件中與點(diǎn)P,Q相關(guān)的直線斜率間的關(guān)系,我們得到

命題5如圖1,橢圓= 1(a > b >0)上有兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),O是坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OQ,OP的斜率滿(mǎn)足kOP ·kOQ=則

證明由命題1 得由kOP ·kOQ=由斜率公式得

命題5 給出了一條斜率性質(zhì):kP Q為kOP和kOQ的等比中項(xiàng).

命題6如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓1(a > b >0),且AC,BD相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O,若直線OA,OD的斜率滿(mǎn)足kOA·kOD=則kAB+kAD=0.

圖2

證法 1設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由題意得D(?x2,?y2),則kAB+kAD=由命題2 得x1y1=x2y2,故kAB+kAD=0.

證法2由題意得kOA ·kOB=kOA ·kOD=由命題5 得由于kAB與kAD一正一負(fù),故kAB+kAD=0.

命題6 給出了一條斜率性質(zhì):由滿(mǎn)足條件的兩條線段生成的平行四邊形中,兩條鄰邊所在直線的斜率為互為相反數(shù).