福建省南平市高級中學(xué)(353000) 江智如 李壽濱 黃麗群

圓錐曲線焦點三角形問題是高考與各類模擬考試的熱點題型,涵蓋幾何、向量、三角、函數(shù)等多領(lǐng)域的知識與方法,綜合性強(qiáng),思維強(qiáng)度高,是圓錐曲線知識的重點與難點,考查考生數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力與運(yùn)算求解能力.這類問題一般考查角度、周長、面積、中位線、角平分線、離心率等問題[1],包含豐富的圓錐曲線性質(zhì)知識,解題策略多樣,方法巧妙,需要從不同的角度針對問題條件進(jìn)行策略選擇,全方位反映焦點三角形問題的幾何特征,引導(dǎo)學(xué)生掌握運(yùn)用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的思想與方法,提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)[2],有助于學(xué)生將高中數(shù)學(xué)基本知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化,形成學(xué)科知識網(wǎng)絡(luò)[3].本文從高中學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā),把焦點三角形問題歸納為六種類型,在學(xué)科素養(yǎng)的指引下,探究問題解決的有效思路與方法.

1 概念界定

如圖1 與圖2,橢圓或雙曲線上的一點P,與兩焦點所構(gòu)成的?F1PF2稱為橢圓或雙曲線的焦點三角形.本文研究的圓錐曲線焦點三角形問題界定為:結(jié)合橢圓或雙曲線的幾何性質(zhì),解決與焦點三角形相關(guān)的問題,主要包括周長、離心率、角度、面積、中位線、角平分線等問題.

圖1

圖2

2 方法探究

圓錐曲線焦點三角形問題主要圍繞圓錐曲線的幾何性質(zhì)展開,利用正余弦定理、平面向量、平面幾何等相關(guān)知識與結(jié)論,借助數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的性質(zhì)或解三角形題型,運(yùn)用函數(shù)與方程思想、建模思想,通過扎實的運(yùn)算求解能力,解決問題,常采用四種解題方法:(1)定義法;(2)解析法;(3)三角法;(4)向量法.

3 方法應(yīng)用

3.1 周長問題

周長問題?？紤]定義法,解題思路為:從圓錐曲線的第一定義出發(fā),利用三角形的三邊長關(guān)系與對稱性質(zhì)轉(zhuǎn)化為共線問題,確定特殊點位置,結(jié)合正余弦定理和平面向量方法求解.要求考生具有扎實的幾何功底,體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力與潛能[4].

題目1(2015年高考全國I 卷文科第16 題)已知F是雙曲線C:x2?= 1 的右焦點,P是C左支上一點,當(dāng)?APF周長最小時,該三角形的面積為____.

分析本試題是以周長問題為背景尋找點P的位置,求解三角形面積問題.由已知條件可設(shè)左焦點為F′(?3,0),因為點P在C的左支上,所以由雙曲線第一定義可得?APF的周長|AP|+|AF|+|PF|=|AP|+|AF|+|PF′|+2a≤|AF|+|AF′|+2a,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F′三點共線且P在A,F′中間時取等號,此時直線AF′的方程為=1,聯(lián)立雙曲線方程得再由面積割補(bǔ)法求得,?APF的面積為考查數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

3.2 離心率問題

離心率是圓錐曲線的重要性質(zhì),常以選填題形式出現(xiàn),?？汲Ｐ?考查考生圓錐曲線知識掌握水平和綜合應(yīng)用能力.解題的思路是:根據(jù)已知條件探尋a,b,c三者之間的關(guān)系,要求考生運(yùn)用圓錐曲線第一定義、正余弦定理、不等式等知識分析和探尋解題方向,通過細(xì)心的運(yùn)算,步步為營,得到最終結(jié)果,培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高考生的圓錐曲線綜合應(yīng)用能力.

題目2(2018年高考全國II 卷理科第12 題)已知F1,F2是橢圓C:= 1(a > b >0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,?PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為( )

分析本試題中P點雖然不在橢圓C上,但問題本質(zhì)仍然是焦點三角形題型,解題的關(guān)鍵可以由?PF1F2為等腰三角形及∠F1F2P= 120°確定點P的位置,即PF2=F1F2= 2c.再由AP的斜率為得到tan ∠PAF2=考慮把問題轉(zhuǎn)化到?PF1F2中,利用正弦定理確定角與邊的關(guān)系,即其中sin ∠APF2=而sin ∠PAF2=cos ∠PAF2=可 求sin ∠APF2=所以化簡得a= 4c,故e=考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力,實現(xiàn)考查閱讀、應(yīng)用、建模能力的目的[5].

3.3 角度問題

角度問題需要運(yùn)用橢圓或雙曲線的第一定義,借助正余弦定理或向量夾角,轉(zhuǎn)化為焦半徑|PF1|、|PF2|與焦距|F1F2|之間的數(shù)量關(guān)系,再利用函數(shù)或不等式方法求解問題.解決思路為:設(shè)∠F1PF2=θ,則

其中|PF1| · |PF2|可由基本不等式或函數(shù)方法求解取值范圍,再根據(jù)題設(shè)條件得到θ取值范圍.特別地,當(dāng)|PF1|=|PF2|時,等號成立,此時點P為橢圓短軸或雙曲線虛軸的端點,θ取到最大.

題目3(2017年高考全國I 卷文科第12 題)設(shè)A、B是橢圓= 1 長軸的兩個端點,若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是( )

分析本試題中A、B兩點是長軸的兩個端點,根據(jù)橢圓的對稱性質(zhì),考慮類比焦點三角形的角度結(jié)論可以得到,當(dāng)點M為橢圓短軸的端點,∠AMB取到最大,此時有∠OMB≤60°.因為已知條件沒有明確橢圓焦點的位置,所以對參數(shù)m進(jìn)行討論:當(dāng)0< m <3 時,即0< m≤ 1; 當(dāng)m >3 時,b=tan ∠OMB=≤tan 60°=即m≤9; 綜上所述,m ∈(0,1]∪[9,+∞).考查考生對橢圓性質(zhì)知識的理解與應(yīng)用水平,體現(xiàn)試題的基礎(chǔ)性與選拔功能.

3.4 面積問題

面積問題主要運(yùn)用解析法、三角法和向量法求解,解決思路為:轉(zhuǎn)化為|PF1|、|PF2|、|F1F2|或a,b,c及角∠F1PF2=θ之間的數(shù)量關(guān)系,借助三角函數(shù)知識與圓錐曲線性質(zhì)求解.特別地,在橢圓或雙曲線中,?F1PF2的底邊為定值2c,|PF1|,|PF2|及∠F1PF2=θ為變量,可以推導(dǎo)橢圓中焦點三角形的面積為S=b2tan雙曲線為S=

題目4(2019年高考全國II 卷文科第20 題)已知F1,F2是橢圓C:=1(a>b>0)的兩個焦點,P為C上一點,O為坐標(biāo)原點.

(1)若?POF2為等邊三角形,求C的離心率;

(2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且?F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.

分析本試題依托三角形背景知識考查離心率和參數(shù)取值范圍問題,考慮運(yùn)用定義法和向量法求解.第(1)問面向大部分考生,首先連結(jié)PF1,由?POF2為等邊三角形可知,在?F1PF2中,∠F1PF2= 90°,于是把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形,可求|PF2|=c,|PF1|=再由橢圓的第一定義知,2a=|PF1|+|PF2|=所以C的離心率是考查直觀想象能力與運(yùn)算求解能力;

第(2)問根據(jù)焦半徑垂直關(guān)系,把面積問題轉(zhuǎn)化為動點的坐標(biāo)運(yùn)算.設(shè)點P(x,y),則有又PF1⊥PF2,故= 0,從而x2+y2=c2,聯(lián)立= 1,化簡得y2=所以求得b= 4.把y2=代入= 1,得x2=所以c2≤b2,從而a2=b2+c2≤2b2= 32,故a≤即當(dāng)b= 4,時,存在滿足條件的點P.因此b=4,a的取值范圍為此處考查考生橢圓知識掌握與應(yīng)用水平,展現(xiàn)考生分析問題、解決問題的思維過程[6],體現(xiàn)試題的選拔與區(qū)分功能.

3.5 中位線問題

中位線問題運(yùn)用定義法,利用三角形中位線性質(zhì),化歸轉(zhuǎn)化為圓錐曲線第一定義求解.解題思路為:在圓錐曲線中,若點M為線段PF1的中點,連接OM,因為點O為F1F2的中點,所以在?PF1F2中,有OM//PF2且OM=從而把OM轉(zhuǎn)化為PF2,即把點M的位置問題轉(zhuǎn)化為點P的位置問題求解,考查邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.

題目5(2020年福建南平高三期末質(zhì)檢15)如圖3,已知F1,F2是雙曲線C:=1(a,b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在點P,使得以雙曲線實軸為直徑的圓與線段PF1相切于線段PF1的中點M,則雙曲線C的離心率為____.

圖3

分析本試題以圓的切線和三角形中位線背景知識,考查離心率問題,考慮利用圓的切線和中位線性質(zhì),把問題轉(zhuǎn)化為雙曲線的第一定義,探尋a,c之間關(guān)系求解.為此連接PF2,可得在?PF1F2中,有OM//PF2且又PF1與圓O相切于點M,故OM⊥PF1,從而PF2= 2OM= 2a且PF1⊥PF2,所以由雙曲線第一定義可知,PF1= 4a.在Rt?PF1F2中,由勾股定理得,PF21+PF22=F1F22,即(4a)2+(2a)2= (2c)2,解得體現(xiàn)考生將所學(xué)知識遷移到新情境,解決新問題的能力[3],培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力.

3.6 角平分線問題

角平分線問題是通過三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì),利用正弦定理把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)邊的比值,結(jié)合圓錐曲線第一定義求解.解題思路為:在?PF1F2中,若∠F1PF2的平分線為PM,交F1F2于點M,則有從而把動點P轉(zhuǎn)化為點M,而點M、F1、F2共線,再根據(jù)已知條件求解問題.考查考生數(shù)學(xué)綜合能力與學(xué)習(xí)潛能,引導(dǎo)考生打破常規(guī)進(jìn)行思考,自主發(fā)現(xiàn)問題,提出解決方案,作出獨立的判斷和解答,創(chuàng)造性地解決問題[6].

題目6(2011年高考全國II 卷理科第15 題)已知F1,F2是雙曲線C:= 1 的左、右焦點,點A在雙曲線C上,點M的坐標(biāo)為(2,0),AM為∠F1AF2的角平分線,則|AF2|=____.

分析本試題點M在x軸上,考慮運(yùn)用內(nèi)角平分線性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化為點M、F1、F2共線,即在?F1PF2中,由AM為∠F1AF2的平分線可得,所以點M在雙曲線的右支,從而由雙曲線第一定義知,|AF1|?|AF2|= 2a= 6,聯(lián)立得|AF2|= 6.此題考查考生數(shù)學(xué)閱讀理解能力,強(qiáng)化推理論證,考查理性思維能力,激發(fā)考生學(xué)習(xí)興趣,提高考生學(xué)習(xí)的熱情,有助于創(chuàng)新問題的解決[6].

4 方法總結(jié)

圓錐曲線焦點三角形問題依托圓錐曲線定義與性質(zhì)知識,考查考生解析幾何功底和數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力.考生可以通過目標(biāo)分析、問題轉(zhuǎn)化、模式識別進(jìn)行求解,利用正余弦定理、向量性質(zhì)、勾股定理等知識,把問題轉(zhuǎn)化為圓錐曲線第一定義求解.引導(dǎo)考生深刻認(rèn)識圓錐曲線的第一定義及豐富的幾何特征,鞏固復(fù)習(xí)已學(xué)知識,滲透解題策略多元化的思想.在日常的教學(xué)過程中,教師可以設(shè)計相應(yīng)的“精致練習(xí)”[7],幫助學(xué)生鞏固與深化所學(xué)知識,構(gòu)建圓錐曲線知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力,增強(qiáng)思維的靈活性,培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的發(fā)散思維,實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.