蘇美娜

【摘 要】 本研究選取中國(guó)人教版和美國(guó)GM版初中數(shù)學(xué)教材，從習(xí)題數(shù)量、習(xí)題類型和習(xí)題難度三方面展開論述，對(duì)“概率”一章的習(xí)題進(jìn)行比較，并依據(jù)鮑建生教授建立的習(xí)題綜合難度模型將習(xí)題進(jìn)行難度比較分析.研究發(fā)現(xiàn)，兩國(guó)版本的習(xí)題設(shè)置方式相同，在習(xí)題難度上均是由簡(jiǎn)至難的層次;美國(guó)GM版教材習(xí)題數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超于人教版，但難度整體上易于人教版;在“概率”一章的習(xí)題編寫上，美國(guó)GM版本更注重夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，人教版偏向知識(shí)的外延;GM版教材注重計(jì)算能力，相對(duì)于人教版弱化了學(xué)生的推理能力，人教版更多的轉(zhuǎn)向探究和分析的能力.對(duì)于我國(guó)需要借鑒的是習(xí)題背景多樣化、優(yōu)化開放探究習(xí)題、從習(xí)題的多種功能中培養(yǎng)批判意識(shí).

【關(guān)鍵詞】 習(xí)題比較;核心素養(yǎng);概率

1 研究背景

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容的直接體現(xiàn)，是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題能力的載體，在新課程改革中有著舉足輕重的地位.越來(lái)越多的關(guān)注點(diǎn)在教科書對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的教和學(xué)的作用上，教材的難度影響著教學(xué)的方式與學(xué)生的接收度.以數(shù)學(xué)核心問(wèn)題與核心概念為生長(zhǎng)點(diǎn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展離不開對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題的解決[1].而習(xí)題的難度在一定程度上反映了教材的難度，是教材難度比較中不可或缺的一部分.因此，編寫例習(xí)題對(duì)于學(xué)生的思維發(fā)展具有重要的意義.

“統(tǒng)計(jì)與概率”注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念.十大核心詞是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的具體體現(xiàn)，亦理解為要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所具備的核心素養(yǎng)，即學(xué)生未來(lái)發(fā)展所需的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力[2].《美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（簡(jiǎn)稱“CCSSM”）也對(duì)“在重復(fù)的推理中，探求并表達(dá)規(guī)律”作為八大數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)之一[3].可見(jiàn)概率素養(yǎng)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)不可或缺的部分.

在小中高三個(gè)學(xué)段均設(shè)有概率的學(xué)習(xí)內(nèi)容，可見(jiàn)概率無(wú)論是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)還是對(duì)生活中問(wèn)題的解決，都是至關(guān)重要的.既而對(duì)概率的習(xí)題難度對(duì)比與分析的研究是必不可少的.因此，本文選取“概率”一章對(duì)兩國(guó)版本教材進(jìn)行定量與定性的比較和分析.

2 研究過(guò)程

2.1 研究對(duì)象

本研究選取人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（九年級(jí)上）第二十五章“概率初步”與美國(guó)McGraw-Hill出版社2013出版的初中數(shù)學(xué)教材Glencoe MathMatters1的Chapter10“Probability”作為研究對(duì)象.此兩套教材都是中美在新時(shí)期極具代表性和典型性的主流教材，都符合新標(biāo)準(zhǔn)的理念與要求，能夠反映出兩國(guó)最新的數(shù)學(xué)課程改革的方向和趨勢(shì).

2.2 研究方法

本研究在數(shù)據(jù)分析觀念的視角下采用從習(xí)題數(shù)量、習(xí)題類型、習(xí)題綜合難度三個(gè)維度將中美兩版教材的習(xí)題進(jìn)行分析.采用統(tǒng)計(jì)分析法將習(xí)題數(shù)量和習(xí)題類型做定性分析;借鑒鮑建生教授的綜合難度模型對(duì)習(xí)題綜合難度做定量分析.

本研究選取鮑建生教授創(chuàng)建的數(shù)學(xué)題綜合難度模型，此模型具有代表性和一定的創(chuàng)新性.模型隨后進(jìn)行了簡(jiǎn)單的修改，將“背景、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理、知識(shí)含量”五個(gè)難度因素確定為主要影響因素，主要針對(duì)數(shù)學(xué)教科書習(xí)題的難度，以數(shù)學(xué)題的難度來(lái)衡量數(shù)學(xué)課程的難度，對(duì)每一個(gè)因素劃分成了不同的難度水平劃分，并用五邊形直觀模型來(lái)刻畫數(shù)學(xué)題綜合難度.五個(gè)難度因素的按照由低到高的水平劃分如表1所示[4].

該模型具體應(yīng)用過(guò)程如下.

首先，分別計(jì)算并統(tǒng)計(jì)各難度因素中每一個(gè)水平層次的題目數(shù)量及百分比，對(duì)各個(gè)難度因素逐一比較分析.其次，對(duì)每一道題目在每種難度因素下進(jìn)行劃分、歸類，并按照劃分等級(jí)進(jìn)行賦值，將其作為權(quán)重.隨后，根據(jù)等級(jí)權(quán)重，利用公式計(jì)算并統(tǒng)計(jì)每個(gè)難度因素下的加權(quán)平均值.最后，根據(jù)上面得到的五個(gè)難度因素的權(quán)重平均值畫出五邊形雷達(dá)圖，通過(guò)雷達(dá)圖就可以鮮明地顯示出兩個(gè)版本教材的習(xí)題難度狀況.這種方法通過(guò)教材習(xí)題的對(duì)比，可以探索每個(gè)版本的編寫特點(diǎn)和側(cè)重，對(duì)教材的進(jìn)一步優(yōu)化提供了有力的參考.

2.3 編碼及編碼結(jié)果

（1）習(xí)題數(shù)量編碼

為使統(tǒng)計(jì)分析更為科學(xué)合理，采用統(tǒng)一計(jì)數(shù)方式，若一個(gè)題干下有若干個(gè)小題，則將中國(guó)教材中的（1）、（2）、（3）……的每一個(gè)小題按照1、2、3……重新標(biāo)號(hào)，采用美國(guó)GM版的習(xí)題計(jì)數(shù)方式.統(tǒng)計(jì)兩部教材例習(xí)題數(shù)量結(jié)果如表2.

對(duì)中美兩版習(xí)題的統(tǒng)計(jì)如表1表明，無(wú)論是例題還是習(xí)題數(shù)量，GM版教材的數(shù)量遠(yuǎn)高于人教版的數(shù)量，兩者相差5倍之多.但從例題所占的百分比所得，人教版在例題上的比重略高于GM版.由此可知，人教版教材在編寫上更注重課堂中的例題引導(dǎo)與及時(shí)反饋，GM版教材更注重課后大量的練習(xí)與鞏固.

雖然數(shù)量上有明顯的差異，但人教版和GM版在習(xí)題的設(shè)置上幾乎一致：在每一小節(jié)的開始部分均設(shè)置“探究與合作”（Work with partner）的生活問(wèn)題;同時(shí)也均設(shè)有例題（Example）、習(xí)題（Exercise）、章節(jié)復(fù)習(xí)題（Review and Practice Your Skill），且習(xí)題均按照自上而下的難度梯度，結(jié)構(gòu)緊湊，層次清晰.

（2）習(xí)題類型編碼

習(xí)題類型一般分為客觀題和主觀題兩部分.客觀題包括選擇題、是非題（判斷題）、填空題;主觀題包括解答題、證明題、作圖題等.縱觀兩版教材發(fā)現(xiàn)“概率”一章的題均沒(méi)有選擇題，故將習(xí)題類型分為是非/填空題、解答題、計(jì)算題、分析探究題四部分.基于兩版教材的“概率”一章習(xí)題統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)如下表3所示.

統(tǒng)計(jì)表明，人教版、GM版客觀題類型的例習(xí)題分別占17.34%、2.39%;主觀題類型的例習(xí)題分別占82.56%、97.61%，其中解答題分別占68.37%、83.56%;計(jì)算題分別占3.06%、9.08%;分析探究題分別占11.22%、4.97%.

（3）習(xí)題難度編碼

根據(jù)鮑建生教授的習(xí)題難度模型，將中美兩版教材中概率部分的所有例題、習(xí)題進(jìn)行收集、整理、量化，然后根據(jù)公式在各維度的差異進(jìn)行比較分析.

3 中美數(shù)學(xué)教材“概率”例習(xí)題綜合難度的比較與分析

3.1 背景因素的水平比較

統(tǒng)計(jì)表明，人教版、GM版例習(xí)題在背景難度因素中，“無(wú)背景”水平的例習(xí)題分別占5.10%、22.09%;“個(gè)人生活”水平的例習(xí)題分別占56.12%、56.34%;“公共常識(shí)”水平的例習(xí)題分別占36.73%、16.95%;“科學(xué)情境”水平的例習(xí)題分別占2.04%、4.62%.

3.2 認(rèn)知水平因素的水平比較

統(tǒng)計(jì)表明，人教版、GM版例習(xí)題在認(rèn)知水平難度因素中，“操作性記憶”水平的例習(xí)題分別占4.08%、4.11%;“概念性記憶”水平的例習(xí)題分別占54.08%、70.03%;“領(lǐng)會(huì)—說(shuō)明”水平的例習(xí)題分別占35.71%、23.97%;“分析—探究”水平的例習(xí)題分別占6.12%、1.88%.

3.3 運(yùn)算因素的水平比較

統(tǒng)計(jì)表明，人教版、GM版例習(xí)題在運(yùn)算水平難度因素中，“無(wú)運(yùn)算”水平的例習(xí)題分別占25.51%、12.67%;“數(shù)值運(yùn)算”的例習(xí)題分別占74.49%、86.64%;“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算”水平的例習(xí)題分別占0.00%、0.68%;“復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算”水平的例習(xí)題分別占0.00%、0.00%.

3.4 推理因素的水平比較

統(tǒng)計(jì)表明，人教版、GM版例習(xí)題在運(yùn)算水平難度因素中，“無(wú)推理”水平的例習(xí)題分別占61.22%、73.80%;“簡(jiǎn)單推理”的例習(xí)題分別占36.73%、26.20%;“復(fù)雜推理”水平的例習(xí)題分別占2.04%、0.00%.

3.5 知識(shí)點(diǎn)含量因素的水平比較

統(tǒng)計(jì)表明，人教版、GM版例習(xí)題在運(yùn)算水平難度因素中，“1個(gè)知識(shí)點(diǎn)”水平的例習(xí)題分別占69.39%、77.57%;“2個(gè)知識(shí)點(diǎn)”的例習(xí)題分別占26.53%、21.92%;“3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)”水平的例習(xí)題分別占4.08%、0.5%.

針對(duì)以上5個(gè)難度因素的比較與分析，根據(jù)習(xí)題綜合難度模型公式，將所得結(jié)果整理匯總成圖6，在因素分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合難度的計(jì)算.

由雷達(dá)圖可以看出，兩版教材在概率內(nèi)容的例習(xí)題當(dāng)中，綜合難度整體上除“運(yùn)算”層次人教版低于GM版外，在其他難度因素層次上均高于GM版，說(shuō)明人教版習(xí)題在“背景”、“數(shù)學(xué)認(rèn)知”、“推理”、“知識(shí)含量”水平上的編寫要求更高一些.即人教版在背景習(xí)題的設(shè)置上更貼近生活，在習(xí)題數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的分配上，更加關(guān)注學(xué)生思維水平的發(fā)展，轉(zhuǎn)向知識(shí)的理解和應(yīng)用方向;而GM版更重視學(xué)生的運(yùn)算能力尤其是數(shù)值運(yùn)算的練習(xí);在推理和知識(shí)含量層次的難度上，兩國(guó)版本的教材相差不大，在習(xí)題難度的設(shè)置上均具有一定的層次性.

4 進(jìn)一步結(jié)論

本研究除對(duì)中美兩版教材的習(xí)題數(shù)量、類型及習(xí)題難度的對(duì)比外，將美國(guó)GM版教材的習(xí)題設(shè)計(jì)特點(diǎn)做進(jìn)一步總結(jié).

4.1 注重新舊知識(shí)的承接與聯(lián)系

美國(guó)GM版的特別一處是，在每一章內(nèi)容學(xué)習(xí)之的開始，都設(shè)有單獨(dú)的一課課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)題（Are you ready？Refresh Your Math Sills for Chapter 10），為接下來(lái)的學(xué)習(xí)內(nèi)容作好所需要的知識(shí)與技能準(zhǔn)備，達(dá)到了“溫故而知新”的效果.此外，在每一節(jié)的最后也會(huì)出現(xiàn)5—6道與概率內(nèi)容無(wú)關(guān)的已學(xué)習(xí)到的習(xí)題，由此可看出美國(guó)GM版本教材更注重舊知識(shí)的鋪墊，從而保證了程序運(yùn)算的流暢[5]，對(duì)新知識(shí)的公式和概念的理解更加透徹.

4.2 習(xí)題背景豐富且關(guān)聯(lián)度強(qiáng)

雖然GM版教材也體現(xiàn)出美國(guó)教材“寬一英里，深一英尺”的普遍現(xiàn)象，但對(duì)習(xí)題背景的設(shè)計(jì)理念恰恰將內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)與實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)并行，使得CCSSM強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)理解成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的紐帶.由圖1的數(shù)據(jù)已知，美國(guó)GM教材在有習(xí)題背景上的比重很高，而且在習(xí)題背景的設(shè)計(jì)上類型廣泛，涉及到遺傳基因、群眾選舉、工廠生產(chǎn)、古代文學(xué)、電視比賽等方面的背景，會(huì)具體到將背景類型一一在習(xí)題前標(biāo)出.同時(shí)在“科學(xué)情境”的習(xí)題背景中，GM版教材大多選用孟德爾遺傳實(shí)驗(yàn)為背景，加強(qiáng)了與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)性和生活中的應(yīng)用性.

4.3 習(xí)題目標(biāo)明確，注重活動(dòng)化探究

GM版教材中，每一節(jié)的標(biāo)題下面都有這節(jié)課的課程目標(biāo)，在題前說(shuō)明習(xí)題的練習(xí)主題，即習(xí)題具有針對(duì)性，引導(dǎo)學(xué)生的價(jià)值傾向，建立自己的理解.在開放探究的習(xí)題中，GM版教材還設(shè)計(jì)了辯證性思考（critical thinking）習(xí)題，落實(shí)了CCSSM中“調(diào)查或然性過(guò)程，并發(fā)展、運(yùn)用和評(píng)估概率模型”的目標(biāo)，加強(qiáng)了學(xué)生經(jīng)歷探究和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維過(guò)程.

5 啟示

5.1 豐富習(xí)題背景，加強(qiáng)學(xué)科關(guān)聯(lián)度

“概率”是我們?cè)谏鐣?huì)生活常見(jiàn)到的，因此概率的內(nèi)容是最貼近生活的知識(shí)，更具有應(yīng)用性.在各種情境中運(yùn)用和應(yīng)用數(shù)學(xué)意味著給學(xué)生提供動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)，是發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念的一個(gè)重要渠道.增加習(xí)題的多樣性，并與其他學(xué)科內(nèi)容結(jié)合，不僅凸顯出概率在生活中的重要性，還能滲透了其他學(xué)科知識(shí).譬如PISA和TIMSS測(cè)試的習(xí)題強(qiáng)調(diào)真實(shí)問(wèn)題，其情境和題目旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，PISA和TIMSS的習(xí)題設(shè)計(jì)理念可為我國(guó)教材習(xí)題背景的選取提供了有力的參考.

5.2 重視習(xí)題推理過(guò)程的呈現(xiàn)，優(yōu)化開放探究習(xí)題

2014年，教育部研制印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見(jiàn)》對(duì)提升學(xué)生作為社會(huì)公民所具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)做了具體的說(shuō)明，其中包括：“逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).”從習(xí)題上的落實(shí)，就是要學(xué)生從習(xí)題中自主去探索.雖然人教版在開放探究題的權(quán)重高于GM版教材，但GM版教材的習(xí)題更有層次性，更有利于鍛煉學(xué)生的分析問(wèn)題能力.我國(guó)需要以“問(wèn)題—探究”為導(dǎo)向組織不同層次與功能的習(xí)題，讓習(xí)題有效地引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)探究，讓概率素養(yǎng)的培養(yǎng)更有所體現(xiàn)[6].

5.3 開發(fā)習(xí)題多種功能，培養(yǎng)批判意識(shí)

澳大利亞學(xué)者Jane Watson將概率素養(yǎng)的培養(yǎng)由淺至深分成了三個(gè)層次：理解基本術(shù)語(yǔ)—在社會(huì)問(wèn)題背景中理解術(shù)語(yǔ)—能夠?qū)](méi)有恰當(dāng)說(shuō)理的統(tǒng)計(jì)論斷提出質(zhì)疑.這三個(gè)層次在美國(guó)GM版教材中均有體現(xiàn)，尤其是辯證性思考（critical thinking）的設(shè)置是一大亮點(diǎn)，意圖通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的反思來(lái)發(fā)展他們的批判意識(shí)，形成正確的數(shù)據(jù)分析觀念，而這種習(xí)題在我國(guó)人教版中未曾出現(xiàn).毋庸置疑，我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)情中，缺少質(zhì)疑的聲音，因此我國(guó)在習(xí)題的設(shè)置上可借鑒美版教材，從習(xí)題中增強(qiáng)學(xué)生的批判能力.

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