盧虎平

（重慶交通大學(xué) 機電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074）

跨座式單軌交通是一種新型的城市軌道交通制式，以其中運量、爬坡能力強、復(fù)雜地形適應(yīng)性強和經(jīng)濟實惠等優(yōu)勢，成為中小城市及山區(qū)城市軌道交通的首選形式[1]。列車在軌道梁上運行時，對軌道梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動力沖擊作用會使軌道梁產(chǎn)生振動，而軌道結(jié)構(gòu)梁結(jié)構(gòu)的振動又會反過來影響車輛振動。但是，目前針對跨座式單軌-軌道梁耦合系統(tǒng)的振動特性研究仍然缺乏，。因此，研究跨座式單軌車輛-軌道梁耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)具有重要的意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者針對跨座式單軌系統(tǒng)的動態(tài)性能進行了大量研究。日本Goda[2]教授建立了15自由度車輛模型，對單軌車輛曲線通過性能進行了仿真分析。劉羽宇[3]等將軌道梁簡化為歐拉梁，建立了車輛-軌道梁耦合動力學(xué)模型，并且用 Visual Fortan6.5求解，對跨座式單軌車輛-軌道梁耦合系統(tǒng)動力相互作用進行了分析。2018年，李小珍等[4]建立了跨座式單軌列車-軌道梁空間耦合振動模型，通過編程研究分析了不同車速和載重條件下車橋耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

基于以上研究，本文基于鐵木辛柯梁理論，在考慮軌道梁的剪切和扭轉(zhuǎn)變形的基礎(chǔ)上，構(gòu)建出跨座式單軌列車-軌道梁耦合動力學(xué)模型，對不同軌道參數(shù)下的跨座式單軌系統(tǒng)動力學(xué)行為進行分析，獲得軌道參數(shù)對跨座式單軌車輛系統(tǒng)的影響規(guī)律，可為跨座式單軌交通系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計與運輸管理提供理論支撐。

1 跨座式單軌車橋耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型

1.1 車輛動力學(xué)模型

跨座式單軌車輛由車體和前、后轉(zhuǎn)向架組成，如圖1所示。其中，轉(zhuǎn)向架上走行輪通過一根驅(qū)動軸支承在構(gòu)架上；走行輪與軌道梁頂部接觸，承受車輛垂直載荷并傳遞牽引力和制動力給軌道梁；4個導(dǎo)向輪分布在構(gòu)架邊角，在軌道梁側(cè)部引導(dǎo)車輛沿軌道行駛；2個穩(wěn)定輪對稱分布在構(gòu)架中間兩側(cè)，緊靠軌道梁側(cè)面下部行駛，起著穩(wěn)定車輛的作用。車體坐落在空氣彈簧上，通過中心銷牽引。中心銷上端固定在車體上，下端轉(zhuǎn)向架上的中心銷座固連。中心銷座通過牽引橡膠堆與轉(zhuǎn)向架連接。

對于單節(jié)單軌車輛，通常將車體、前后轉(zhuǎn)向架視為剛體，忽略其彈性變形影響。其中，車體和轉(zhuǎn)向架相對于總體慣性坐標系具有2個平動和3個轉(zhuǎn)動自由度，分別為橫移Y、沉浮Z、側(cè)滾φ、點頭ψ和搖頭θ運動，共15個自由度。單軌列車的計算模型，如圖1所示。

基于拉格朗日方程建立15自由度車輛模型[5]，動力學(xué)控制微分方程為：

圖1 跨座式單軌車輛模型

式中，Mc、Cc、Kc分別為車輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；Fc為作用在車體、前、后轉(zhuǎn)向架的荷載列向量。

1.2 輪胎模型

輪胎作為車輛與軌道梁直接作用的部件，具有典型的非線性特性。它的動力學(xué)模型不僅需要考慮徑向的剛度與阻尼特性，還需要考慮其側(cè)偏和縱向滑動特性。

本文選用FIALA[6]輪胎模型描述走行輪、導(dǎo)向輪以及穩(wěn)定輪的力學(xué)行為。根據(jù)FIALA輪胎模型，輪胎與軌道之間的法向力Fz方程可表示為：

式中，kz為實心橡膠輪胎法向非線性剛度函數(shù)；?r為輪胎法向撓度；dz為橡膠輪胎阻尼；V?r為橡膠輪胎垂向變形率。

輪胎側(cè)向力方程可以表示為：

當(dāng) |sy|＜s′時，有：

當(dāng)|sy|≥s′時，有：

式中，sx為縱向蠕滑率，sy為側(cè)向蠕滑率，cx為縱向蠕滑剛度，μx為靜摩擦系數(shù)，μ1為動摩擦系數(shù)，θ是側(cè)偏角，Cy為側(cè)偏剛度，sy側(cè)向滑移率。

1.3 軌道梁模型

基于三維鐵木辛柯梁理論，考慮梁的剪切和扭轉(zhuǎn)變形，沿軌道線路的橋梁模型視為若干段簡支梁或連續(xù)梁的組合。每一跨分為若干個梁單元，橋梁支座用六向剛度阻尼力元模擬。柔性軌道梁模型如圖3所示。

圖2 柔性軌道梁模型

柔性軌道梁微分方程為：

式中：E為彈性模量；G為剪切模量；ρ為密度；A為截面面積；JY、JZ為相對于Y軸和Z軸的轉(zhuǎn)動慣量；JX為圣維南扭轉(zhuǎn)常數(shù)；Jω為翹曲常數(shù)；KY為截面Y方向剪切修正系數(shù)；KZ為截面Z方向剪切修正系數(shù)；Jp為極軸慣性矩；δ(·)為Dirac函數(shù)；zs為剪切中心與幾何中心Y方向的距離；zs為剪切中心與幾何中心Z方向的距離；xω(t)為輪胎當(dāng)前縱向距離；FX(t)為作用在軌道梁X方向的輪胎力；FY(t)為作用在軌道梁Y方向的輪胎力；FZ(t)為作用在軌道梁Z方向的輪胎力；MX(t)為作用在軌道梁繞X軸的扭矩；FXi,f(t)、FYi,f(t)、MXi,f(t)均為軌道梁支座提供的支反力。

此外，軌道梁阻尼矩陣為：

式中，ξ是阻尼比，ω是pinned-pinned振型，K為剛度矩陣。

綜上所述，可將軌道梁控制方程改寫為矩陣形式，即：

式中：Mb、Cb、Kb分別為軌道梁的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；Fb為作用在軌道梁上的荷載列向量。

1.4 軌道不平順

軌道不平順表達式為：

式中：S(Ω)為軌道不平順功率譜密度函數(shù)；Ω為空間圓頻率；α、β、n為反映功率譜密度函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。最后，采用三角級數(shù)算法模擬得到各個輪胎下軌道不平順樣本曲線。

1.5 車橋耦合模型

基于式（1）和式（8），將前車輛和軌道梁控制方程通過輪軌接觸關(guān)系耦合在一起，組成車輛-軌道梁耦合系統(tǒng)的動力平衡方程組。它的矩陣形式為：

式中：Mcc和Mbb為車輛和軌道梁振動模型的質(zhì)量矩陣；Ccc、Ccb、Cbc、Cbb為車輛和軌道梁振動模型的阻尼矩陣；Kcc、Kcb、Kbc、Kbb為車輛和軌道梁振動模型的剛度矩陣；qc為軌道梁的節(jié)點位移向量；Fc為車體、前、后轉(zhuǎn)向架的荷載列向量；qb為軌道梁的節(jié)點位移向量；Fb表示車輛系統(tǒng)及系統(tǒng)外部邊界約束的外荷載列陣。

2 車橋系統(tǒng)響應(yīng)

2.1 曲線半徑對軌道梁系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響分析

分析曲線半徑在100～1 000 m范圍內(nèi)變化時對跨座式單軌車橋耦合系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響，其中仿真取車速40 km·h-1，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 軌道梁動態(tài)響應(yīng)對比圖

由圖3可以看出，軌道梁的垂向位移隨曲線半徑的增加而減小。曲率半徑為100 m時，其峰值為10.6 mm，而橫向位移隨曲線半徑的增加而增加。橫向加速度隨曲線半徑的增加而增加，垂向加速度對曲線半徑的變化不敏感，基本不受曲線半徑的影響。

2.2 跨距對軌道梁系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響分析

跨座式單軌交通軌道梁常見跨度一般在10～25 m之間變化。因此，參數(shù)敏感性分析中，橋梁的跨距從10 m逐漸增加到25 m。軌道梁動態(tài)響應(yīng)如圖4所示。

圖4 軌道梁動態(tài)響應(yīng)對比圖

圖4為不同載客量條件下，跨中垂向和橫向加速度峰值隨跨距的變化曲線。由圖7可知，軌道梁跨中加速度和跨距呈現(xiàn)出復(fù)雜的變化關(guān)系。軌道梁的垂向加速度隨跨距的增加先增后減，在跨距為20～22 m時出現(xiàn)拐點，峰值為0.84 m·s-2?？缰袡M向加速度隨跨距增大有所增大，變化幅度較為平緩。

4 結(jié)語

本文以跨座式單軌交通為研究背景，基于多體動力學(xué)理論和鐵木辛柯梁理論，構(gòu)建出跨座式單軌列車-軌道梁耦合動力學(xué)模型，并利用模型對不同軌道參數(shù)下的跨座式單軌系統(tǒng)動力學(xué)行為進行分析，主要結(jié)論如下。

（1）軌道梁跨中垂向位移隨曲線半徑的增加而減小，橫向位移隨曲線半徑的增加而增加；橫向加速度隨曲線半徑的增加而增加，垂向加速度基本不受曲線半徑的影響。

（2）軌道梁跨中垂向位移和橫向位移均隨跨距的增加而增加，且跨中垂向撓度變化幅度較大。軌道梁的垂向加速度隨跨距的增加先增后減，在跨距為18 m左右出現(xiàn)拐點。車體的橫向振動加速度基本不受跨距的影響，變化幅度較為平緩。車體的垂向加速度隨跨距的增加而增加，跨距超過20 m后，變化幅度急劇增加；車體橫向加速度隨跨距的變化幅度較小。車輛運行平穩(wěn)性性能優(yōu)良。