韓 粟 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 關(guān)于周期現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)

晝夜交替，陰晴圓缺，潮漲潮落，春去秋來(lái)……這些循環(huán)往復(fù)的自然現(xiàn)象伴隨著人類(lèi)社會(huì)的產(chǎn)生與發(fā)展．古代先民通過(guò)觀(guān)測(cè)、記錄天象的變化規(guī)律，制訂歷法，選址建筑，經(jīng)營(yíng)農(nóng)耕．

圖1 英國(guó)郵票上的巨石陣

西方文明中，位于英國(guó)威爾特郡的史前遺跡——巨石陣(Stonehenge)被認(rèn)為是世界上最早的天文臺(tái)．如圖1所示，它可以用來(lái)觀(guān)察月相由新月到滿(mǎn)月的周期變化，一些學(xué)者還認(rèn)為它可以用來(lái)確定太陽(yáng)升起和落下的最北處和最南處．在古巴比倫，人們發(fā)明日晷來(lái)確定一天中的時(shí)刻；編制能夠協(xié)調(diào)月相盈缺和太陽(yáng)升落的陰陽(yáng)合歷，又將七個(gè)星宿和七個(gè)神靈一一對(duì)應(yīng)，創(chuàng)立七天一循環(huán)的星期制度，用以安排農(nóng)事活動(dòng)．古埃及的祭司還會(huì)通過(guò)東方天空中天狼星的顯現(xiàn)來(lái)預(yù)言尼羅河的泛濫日，以便防范洪災(zāi)，樹(shù)立其威信[1]．

古代中國(guó)的先人同樣擅長(zhǎng)利用大自然的周期變化規(guī)律，他們既能仰觀(guān)天宇，通過(guò)圭表測(cè)日等制定二十四節(jié)氣；又能俯察大地，研究動(dòng)植物生長(zhǎng)乃得七十二候．《漢書(shū)·禮樂(lè)志》中載有的“精健日月，星辰度理，陰陽(yáng)五行，周而復(fù)始”一說(shuō)，反映出古代人民對(duì)自然節(jié)律的認(rèn)識(shí)塑造了其樸素的辯證唯物哲學(xué)觀(guān)．約一千年后，金元之際的數(shù)學(xué)家李治(1192—1279)在《敬齋古今黈》中首提“周期”一詞，書(shū)中記載：“陰陽(yáng)相配之物，而老少又必相當(dāng)．乾之策，二百一十有六，老陽(yáng)也；坤之策，百四十有四，老陰也．老陰老陽(yáng)相得為三百六十，則周期之日也．”[2]這一典故源于《周易》中的“六爻”占卜法，其中一爻對(duì)應(yīng)的策數(shù)只有36、32、28、24四種，36策為老陽(yáng)，記為乾卦，24策為老陰，記為坤卦，則六爻至多可得乾卦216策，至多可得坤卦144策，二者合并，得周期之?dāng)?shù)為360．

無(wú)論哪一種文明的跡象都表明：周期起源于天文學(xué)．天象的周期變化為人類(lèi)社會(huì)確定了自然時(shí)序，引起的各種周而復(fù)始的現(xiàn)象又致使周期一詞在農(nóng)牧、地理、宗教、哲學(xué)等方面具有了豐富的內(nèi)涵．但就這些而言，倘若用數(shù)學(xué)的眼光看周期，它在抽象之后無(wú)非就是一些簡(jiǎn)單的算術(shù)而已．直到三角學(xué)的解放和微積分的創(chuàng)立，周期才被賦予數(shù)學(xué)上更廣泛的意義．

2 三角函數(shù)的周期性

在歐洲，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436—1476)最早將三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來(lái)，成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支．進(jìn)入17世紀(jì)，代數(shù)也不再是幾何的附庸，經(jīng)過(guò)沃利斯(J.Wallis,1616—1703)、牛頓(I.Newton,1643—1727)和萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)等大數(shù)學(xué)家的努力，代數(shù)及分析的理論不斷拓展．此后，函數(shù)日趨成為主流，角的概念得到推廣，在此背景下三角函數(shù)應(yīng)運(yùn)而生．法國(guó)數(shù)學(xué)家拉尼(T.-F.de Lagny,1660—1734)、英國(guó)數(shù)學(xué)家柯特斯(R.Cotes,1682—1716)都曾致力于三角函數(shù)的研究，他們不約而同地發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)可以用來(lái)描述自然界中普遍存在的周期現(xiàn)象，這一性質(zhì)即三角函數(shù)的周期性(periodicity)[3-4]．

圖2 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉尼 圖3 英國(guó)數(shù)學(xué)家柯特斯

表1 《無(wú)窮分析引論》中的誘導(dǎo)公式

進(jìn)一步將它們替換成加上2nπ后的值，得到一系列誘導(dǎo)公式(表1)．

歐拉沒(méi)有明確提出三角函數(shù)周期性的概念，但他默許n在整數(shù)集內(nèi)任意取值，說(shuō)明他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)自變量每增加(或減少)2π，正弦函數(shù)值或余弦函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)．還有一條有力的證據(jù)來(lái)自于第21章《超越曲線(xiàn)》，此章的內(nèi)容表明：正弦曲線(xiàn)和平行于自變量所在坐標(biāo)軸的直線(xiàn)(不超出振幅)有無(wú)數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，且每?jī)蓚€(gè)相鄰交點(diǎn)間距離相等，余弦曲線(xiàn)同理，代數(shù)曲線(xiàn)則不具有這一性質(zhì)[5]．

圖4 任意角XOP

歐拉的工作使得針對(duì)三角函數(shù)周期性的研究開(kāi)始全面化、系統(tǒng)化．此后，一些數(shù)學(xué)家跟隨歐拉，通過(guò)列舉誘導(dǎo)公式來(lái)表述正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性變化特征，并補(bǔ)充了正切函數(shù)等其他三角函數(shù)的周期性．

19世紀(jì)中后期，周期函數(shù)(periodic function)一詞面世．英國(guó)數(shù)學(xué)家惠勒(Wheeler,1877)指出：記任意角XOP的角度為φ．對(duì)任意(非零)整數(shù)k，φ±2kπ和φ對(duì)應(yīng)角的所有三角函數(shù)值相等．這一性質(zhì)使得三角函數(shù)又被稱(chēng)為周期函數(shù)，周期為2π．他還注意到正切函數(shù)和余切函數(shù)有著更小的周期π[6]．

1883年，美國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W利弗(Oliver)在文獻(xiàn)[7]中“函數(shù)的周期性”一節(jié)給出了更詳細(xì)的解釋?zhuān)喝鬹取正整數(shù)，則+2π,+4π,…,+2kπ表示角XOP的終邊OP逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)1,2,…,k圈；若k取負(fù)整數(shù)，則-2π,-4π,…,-2kπ表示終邊OP順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)1,2,…,k圈．因此，角度φ和φ±2kπ對(duì)應(yīng)的終邊均為OP，則它們對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值相同，所以稱(chēng)三角函數(shù)為“角的周期函數(shù)”[7]．維欽斯基(Wiczynski,1914)借助單位圓中角終邊OP的旋轉(zhuǎn)給出了相同的解釋[8]．

上述數(shù)學(xué)家基于誘導(dǎo)公式和角的終邊說(shuō)明了三角函數(shù)的周期性，還有數(shù)學(xué)家結(jié)合三角函數(shù)的圖象給出了直觀(guān)的解釋?zhuān)绺裉m維爾(Granville,1909)以正弦函數(shù)y=sinx的圖象為例，指出：角在0到2π內(nèi)變化時(shí)，正弦值先從0增加到1，再?gòu)?減少到-1，最后從-1增加到0；在2π到4π內(nèi)，正弦值經(jīng)過(guò)相同系列的值，依次類(lèi)推，所以正弦函數(shù)的周期為2π；同理，余弦函數(shù)、正割函數(shù)y= secx及余割函數(shù)y=cscx的周期都為2π．由于正切和余切在每π弧度內(nèi)經(jīng)過(guò)相同系列的值，所以它們的周期為π．綜上，他提出：當(dāng)角勻速增加或減小時(shí)，每一個(gè)三角函數(shù)反復(fù)經(jīng)過(guò)同樣系列的值，故稱(chēng)其為周期函數(shù)[9]．

至此，我們看到，當(dāng)歐拉將三角學(xué)從靜態(tài)的解三角形中解放出來(lái)后，動(dòng)態(tài)的三角函數(shù)的研究如雨后春筍般涌現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們用盡三角學(xué)內(nèi)的各種工具，如誘導(dǎo)公式、角的終邊、單位圓、函數(shù)圖象等，分別定義了三角函數(shù)的周期性，還展開(kāi)了充分的探討，因此得出的結(jié)論也是比較準(zhǔn)確的．

3 周期函數(shù)的定義

19世紀(jì)末至20世紀(jì)初，無(wú)論是由物理學(xué)中對(duì)各種信號(hào)波形的處理引發(fā)的對(duì)數(shù)學(xué)工具的強(qiáng)烈需求，還是數(shù)學(xué)內(nèi)部函數(shù)作為一門(mén)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的飛速發(fā)展(如來(lái)自函數(shù)圖象的直觀(guān)證據(jù)等)，都促使數(shù)學(xué)家們著手探索一般周期函數(shù)的定義．盡管三角函數(shù)的周期性已經(jīng)昭然若揭，但同奇、偶函數(shù)一樣，要發(fā)展出用代數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言完整表述的周期函數(shù)定義，其中經(jīng)歷了曲折的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程．

3.1 描述性定義

最初，一些數(shù)學(xué)家傾向于用自然語(yǔ)言描述周期函數(shù)這一概念，與此同時(shí)，周期的概念也開(kāi)始登上歷史舞臺(tái)．

1900年，杜爾斐(Durfee)給出如下定義：當(dāng)自變量或幅角增加時(shí)重復(fù)自身的函數(shù)稱(chēng)為周期函數(shù)．周期是使函數(shù)值發(fā)生重復(fù)的自變量的改變量[11]．而帕爾默(Palmer,1914)給出的定義為：周期函數(shù)是指當(dāng)自變量增加一個(gè)常量時(shí)值不變的函數(shù)，該常量的最小正值稱(chēng)為周期[12]．比較這兩個(gè)定義，可以看出前者尚未擺脫三角函數(shù)的影響，抽象程度較低，而后者盡管未使用函數(shù)符號(hào)，但已經(jīng)初具雛型．按照杜爾斐的說(shuō)法，周期應(yīng)該有無(wú)數(shù)個(gè)，帕爾默卻只取最小正值的那一個(gè)作為周期．可以推測(cè)，在周期函數(shù)概念的誕生之初，數(shù)學(xué)家們對(duì)周期該如何定義存在著一定的分歧．

還有一種定義是基于函數(shù)的圖象來(lái)描述周期性，如莫里茲(Moritz,1915)先定義：每隔一個(gè)確定區(qū)間重復(fù)自身的曲線(xiàn)稱(chēng)為周期曲線(xiàn)(periodic curve)，發(fā)生重復(fù)的區(qū)間稱(chēng)為周期；然后他稱(chēng)這種曲線(xiàn)所表示的函數(shù)即為周期函數(shù)[13]．蓋伊(Gay,1935)的定義則為：若一個(gè)函數(shù)的圖象由一系列形狀完全相同的弧所構(gòu)成，則稱(chēng)該函數(shù)為周期函數(shù)，x軸上使曲線(xiàn)縱坐標(biāo)取遍所有可能值的區(qū)間長(zhǎng)度稱(chēng)為曲線(xiàn)的周期[14]．誠(chéng)然，一個(gè)數(shù)學(xué)概念一開(kāi)始總是建立在直觀(guān)和經(jīng)驗(yàn)上，但過(guò)分依賴(lài)幾何直觀(guān)容易導(dǎo)致致命的錯(cuò)誤，且看圖5所示的兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象．對(duì)照上述定義，兩個(gè)曲線(xiàn)顯然都在重復(fù)自身，每一段弧的形狀更是完全相同，按照莫里茨的定義，它們都有確定的周期，但按照蓋伊的定義，周期則是霧里看花，不知所云．事實(shí)上，借助構(gòu)造分段函數(shù)的方法，我們可以畫(huà)出很多滿(mǎn)足上述定義的函數(shù)圖象，但它們表示的未必是真正的周期函數(shù)．

圖5 兩個(gè)函數(shù)的圖象

綜上，盡管上述定義適用于三角函數(shù)，但符號(hào)語(yǔ)言的缺位、定量刻畫(huà)的缺失，導(dǎo)致此類(lèi)定義未能清晰地界定一般周期函數(shù)概念的內(nèi)涵，自然語(yǔ)言的濫用又使得概念的外延被錯(cuò)誤地放大，導(dǎo)致周期的定義也不甚明朗．所以，此類(lèi)描述性定義不符合數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，爾后不再被使用．

3.2 不完善的形式化定義

1899年，穆雷(Murray)在《平面三角學(xué)》一書(shū)中首次用函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言給出了周期函數(shù)的定義：若函數(shù)f(x)具有性質(zhì)f(x)=f(x+k)，其中x可取任意值，k為常數(shù)，則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)，而滿(mǎn)足該等式的最小(正)數(shù)k稱(chēng)為該函數(shù)的周期[15]．該定義可以視作上文中帕爾默定義的符號(hào)代數(shù)版本，也是現(xiàn)行教科書(shū)中定義的雛型.但結(jié)合函數(shù)概念及其構(gòu)成要素仔細(xì)推敲，該定義還存在一些可待商榷之處，比如：(1)沒(méi)有明確周期函數(shù)的定義域(根據(jù)下方的注釋?zhuān)梢酝茰y(cè)穆雷默認(rèn)周期函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù))；(2)認(rèn)為周期函數(shù)的周期一定存在且只有一個(gè)，其在正數(shù)范圍內(nèi)取值．

此后，對(duì)于周期的討論延續(xù)不斷．羅森巴赫(Rosenbach,1937)指出：一個(gè)周期函數(shù)的周期的任意(整數(shù))倍也是周期[16]．斯梅爾(Smail,1952)定義：使f(x)=f(x+P)的絕對(duì)值最小的常數(shù)P為原始周期(primitive period)(又稱(chēng)基本周期，fundamental period)[17]．1955年，懷利(Wylie)在《平面三角學(xué)》中首次明確了周期的非零性[18]．

上述工作解決了從三角函數(shù)的周期性抽象到一般周期函數(shù)過(guò)程中圍繞周期產(chǎn)生的一系列問(wèn)題.在三角學(xué)中，將角的終邊旋轉(zhuǎn)0圈自然是無(wú)意義的，然而一般化后，卻極易忽略周期取值非零這一點(diǎn)．基本周期的概念，正對(duì)應(yīng)著將終邊旋轉(zhuǎn)1圈的情形．

1940年，德累斯頓在《微積分導(dǎo)論》中定義周期函數(shù)如下：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽(Range, 表示取值范圍)，若對(duì)任意的x，x和x+P都屬于R，且滿(mǎn)足f(x)=f(x+P)，則稱(chēng)f(x)是周期為P的周期函數(shù)[19]．德累斯頓的定義表明：周期函數(shù)的定義域不需要為整個(gè)實(shí)數(shù)集，甚至不需要是連續(xù)的區(qū)間，只要定義域至少有一側(cè)無(wú)界即可．

符號(hào)語(yǔ)言的使用使得周期性被確認(rèn)為函數(shù)的重要性質(zhì)之一，實(shí)現(xiàn)了周期函數(shù)從描述性定義到形式化定義的飛躍．但上述數(shù)學(xué)家的定義并非盡善盡美，比如：斯梅爾所說(shuō)的基本周期一定存在嗎？周期的取值范圍到底是什么？此時(shí)期內(nèi)，沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家給出完整無(wú)誤的周期函數(shù)定義．

3.3 較完善的形式化定義

1958年，夏普(Sharp)集前人之大成，給出了較完善的周期函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，k為非零實(shí)數(shù)，當(dāng)x在D中時(shí)，x±k也在D中．若對(duì)于D中x的每一個(gè)值，均有f(x)=f(x+k)，則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)，數(shù)k稱(chēng)為f(x)的一個(gè)周期[20]．與斯梅爾對(duì)基本周期的定義略有差異，夏普只取最小的正數(shù)為基本周期，又稱(chēng)最小正周期(smallest positive period)，與今日教科書(shū)中的說(shuō)法相同．那么，最小正周期一定存在嗎？夏普通過(guò)常值函數(shù)這一反例，簡(jiǎn)短有力地說(shuō)明了周期函數(shù)不一定存在最小正周期．

取任意有理數(shù)q≠0，則當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x+q為有理數(shù)，有f(x+q)=1=f(x)；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，x+q為無(wú)理數(shù)，有f(x+q)=0=f(x)；所以任意有理數(shù)都是狄利克雷函數(shù)的周期．取任意無(wú)理數(shù)?，其相反數(shù)-?為無(wú)理數(shù)，則f(-?)=0，而f(-?+?)=f(0)=1，即f(-?)≠f(-?+?)，所以任意無(wú)理數(shù)都不是狄利克雷函數(shù)的周期．對(duì)狄利克雷函數(shù)周期性的討論同樣表明了周期函數(shù)的最小正周期不一定存在．

此外，夏普在書(shū)中還提出并證明了周期函數(shù)的若干定理：

定理1若周期函數(shù)f(x)的周期為k，則k的任意非零整數(shù)倍也是f(x)的周期．

夏普特別強(qiáng)調(diào)，定理3中的周期不可與最小正周期一概而論，即不能由函數(shù)f(x)和g(x)的最小正周期均為k而推出上述任何一個(gè)函數(shù)hi(x)(i=1,2,3,4)的最小正周期仍為k．接著夏普不加證明地給出了下述定理：

定理4若周期函數(shù)f(x)和g(x)的最小正周期的比為(非零)有理數(shù)，則它們存在一個(gè)共同的周期，且上述函數(shù)hi(x)(i=1,2,3,4)仍為周期函數(shù)．

現(xiàn)行高中教科書(shū)定義周期函數(shù)如下：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．[21]與該定義相比，夏普的定義要求x±k必須都在定義域D中，勢(shì)必導(dǎo)致周期函數(shù)的定義域在數(shù)軸的兩側(cè)都要無(wú)界，高等數(shù)學(xué)中許多教科書(shū)便采取了與之相似的定義．若取正弦函數(shù)的正半部分y=sinx,x∈[0,+∞)，在此定義下它便不是周期函數(shù)．

兩種定義孰對(duì)孰錯(cuò)？孰優(yōu)孰劣？許多一線(xiàn)教師就此問(wèn)題屢屢產(chǎn)生爭(zhēng)鳴．綜合、辨析他們的觀(guān)點(diǎn)[22-23]，筆者認(rèn)為：在高中階段，學(xué)生只需理解周期函數(shù)的定義域是無(wú)界的，無(wú)需基于定義去考究其范圍是至少單側(cè)無(wú)界還是雙側(cè)無(wú)界，能針對(duì)具體問(wèn)題情境具體分析即可．回到周期的起源，幾乎所有具有周期性的自然現(xiàn)象都是從某一時(shí)刻開(kāi)始的，如果采取后者，不承認(rèn)僅單側(cè)無(wú)界的函數(shù)的周期性，則大大削弱了周期函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，也背離了運(yùn)用三角函數(shù)構(gòu)建事物周期變化的數(shù)學(xué)模型的出發(fā)點(diǎn)．考慮到初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接，或許數(shù)學(xué)工作者們應(yīng)當(dāng)將周期函數(shù)的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茝V，如定義“弱周期函數(shù)”[24]等，以消釋現(xiàn)行兩種周期函數(shù)定義的矛盾．

4 結(jié)論與啟示

綜上所述，我們可以大致勾勒出周期函數(shù)概念的歷史演進(jìn)過(guò)程(圖6)．

圖6 周期函數(shù)概念的歷史演變

有詩(shī)云：“東升西落照蒼穹，影短影長(zhǎng)角不同．晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮．”為準(zhǔn)確刻畫(huà)這些與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)的周期現(xiàn)象，數(shù)學(xué)家們首先建立起三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)內(nèi)外部的需求又推動(dòng)著一般周期函數(shù)概念的誕生，其間經(jīng)歷了由描述性定義、不完善的形式化定義到較完善的形式化定義的演變，為時(shí)一百余年．直至今日，數(shù)學(xué)界對(duì)周期函數(shù)概念的定義仍未達(dá)成統(tǒng)一．

對(duì)周期函數(shù)定義的追本溯源、刨根問(wèn)底，為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了諸多啟示：

其一，提供豐富的課堂教學(xué)素材．在最新一屆的國(guó)際數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會(huì)議上，教育取向的數(shù)學(xué)史研究超過(guò)了三分之一[25]．研讀與梳理原始史料，特別是西方早期數(shù)學(xué)教科書(shū)的原文，為一線(xiàn)教師提供了最貼近中學(xué)教學(xué)實(shí)際的歷史素材，能夠用于預(yù)測(cè)和解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，精準(zhǔn)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程．已有的實(shí)證研究[26]也表明：融入數(shù)學(xué)史的周期函數(shù)教學(xué)，不僅能夠加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，更能幫助學(xué)生樹(shù)立動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀(guān)．

其二，培養(yǎng)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，而數(shù)學(xué)史讓我們看見(jiàn)，人們正是從自然界中的周期現(xiàn)象中逐步抽象出周期函數(shù)的數(shù)學(xué)概念，最初過(guò)分依賴(lài)直觀(guān)和經(jīng)驗(yàn)讓數(shù)學(xué)家們走了一些彎路，但經(jīng)過(guò)數(shù)代人的不懈努力，最終形成了較完善的定義．以史為鑒，可以讓學(xué)生在辨析歷史的過(guò)程中積累從具體到抽象的經(jīng)驗(yàn)，以新代舊，跨越歷史，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與抽象性．

其三，開(kāi)展跨學(xué)科的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)．人教版教科書(shū)以我國(guó)古代發(fā)明的一種灌溉工具——筒車(chē)為例，筒車(chē)上盛水筒的運(yùn)動(dòng)具有周期性，因此可以用三角函數(shù)建立盛水筒運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型[21]．天文學(xué)中的天體運(yùn)動(dòng)、物理學(xué)中的交變電流、醫(yī)學(xué)中的心電圖、藝術(shù)中的音調(diào)音色，這些都呈現(xiàn)出周期變化的特點(diǎn)，能夠用于開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，且學(xué)生僅有數(shù)學(xué)中三角函數(shù)和周期函數(shù)的知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要他們廣泛調(diào)動(dòng)其他學(xué)科的知識(shí)來(lái)建立并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停谡n時(shí)允許的情況下，數(shù)學(xué)教師可以與其他學(xué)科的教師合作，走進(jìn)校內(nèi)實(shí)驗(yàn)室或者校外更廣闊的實(shí)踐天地，讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育落地生根．

圖7 幾種交變電流的波形(人教版物理選擇性必修二)

其四，嘗試高觀(guān)點(diǎn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)．上文討論了數(shù)學(xué)史上的著名函數(shù)——狄利克雷函數(shù)的周期性，這實(shí)則是大學(xué)微積分教科書(shū)中的習(xí)題．曾有教師將其呈現(xiàn)為課堂例題，少數(shù)學(xué)生可以當(dāng)堂給出完整的證明，在教師引導(dǎo)下多數(shù)學(xué)生可以理解證明的過(guò)程和結(jié)論，無(wú)形間提升了邏輯推理素養(yǎng)．若有學(xué)生在經(jīng)歷了周期函數(shù)定義的演變后產(chǎn)生“現(xiàn)在書(shū)中的定義一定準(zhǔn)確嗎”等疑問(wèn)，教師不妨呈現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的另一定義，引導(dǎo)他們辨析二者的異同，或許對(duì)學(xué)生批判性思維的培養(yǎng)能夠有所增益．