陳香君 趙思林 (四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641100)

陳 瓊 (四川省資中二中 641200)

1 教學(xué)背景

2020年12月4日，內(nèi)江市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)在資中二中組織了兩堂高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)觀摩課．其中一堂的課題為“2020年一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的探究”，此課實(shí)際上是對(duì)2020年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)試卷(即山東卷)第21題第(2)題的探究教學(xué)．

2020年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)試卷(山東卷)第21題：已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

該題題干簡(jiǎn)明，問(wèn)題設(shè)計(jì)新穎．第(1)小題比較常規(guī)，考生容易解決，著重考查數(shù)學(xué)“雙基”(即導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程、三角形的面積等)．第(2)小題雖是考生熟悉的不等式恒成立問(wèn)題，但有很高的難度，考生會(huì)遇到兩個(gè)全新的問(wèn)題：一是函數(shù)中含有兩個(gè)超越函數(shù)即ex-1和 lnx，這會(huì)讓考生感到陌生甚至無(wú)從下手；二是函數(shù)中的參數(shù)a分散在兩處(即aex-1, lna)，且不能直接把參數(shù)a從不等式aex-1-lnx+lna≥1中分離出來(lái)，這與平常學(xué)習(xí)的“套路”很不相同，顯然又增加了解決問(wèn)題的難度．因此，第(2)題主要是考查數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)．

2 課堂簡(jiǎn)錄與教學(xué)特色

2.1 課堂簡(jiǎn)錄：解題思路探索

第(1)題相對(duì)容易，第(2)題難度高，故該教師只針對(duì)第(2)小題實(shí)施了探究教學(xué)．課前，其已安排學(xué)生分組討論了此題的解法．課堂上，先以課標(biāo)中對(duì)導(dǎo)數(shù)的要求來(lái)引入本節(jié)課的內(nèi)容；接著讓各小組展示不同的思路與解法，并輔以課件予以展示；每個(gè)小組的學(xué)生代表展示后，教師作簡(jiǎn)要總結(jié)及點(diǎn)評(píng)．在40分鐘的課堂上教師引導(dǎo)各組分別從以下幾種角度，對(duì)本題第(2)題的解題思路進(jìn)行了探討，最后教師對(duì)解題方法作了總結(jié)．

思路1 將函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值問(wèn)題．

思路2 找關(guān)鍵點(diǎn)或利用極端原則等方法．

注意到兩個(gè)超越函數(shù)即ex-1和lnx均較麻煩，一個(gè)自然的想法是對(duì)x賦一個(gè)特殊值，讓它們消失或取值就變得很簡(jiǎn)單．事實(shí)上，取x=1，就能實(shí)現(xiàn)這個(gè)想法．若取x=1，則f(1)=a+lna．“f(x)≥1恒成立”的必要條件是f(1)=a+lna≥1．再注意到a+lna在定義域上單調(diào)遞增，則有a≥1．因此，“f(x)≥1恒成立”的必要條件是“a≥1”．至此，剩下的工作是證明“f(x)≥1恒成立”的充分條件是“a≥1”(以下略)．

思路3 對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．

受思路2的啟發(fā)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論：a≥1，0

思路4 變更主元．

評(píng)注到了這一步，教師既沒(méi)有展示新的步驟，也沒(méi)有作補(bǔ)充說(shuō)明．易見，思路4存在邏輯差錯(cuò)(詳見后面對(duì)思路4的反思)．

思路5 構(gòu)造同構(gòu)式．

評(píng)注構(gòu)造同構(gòu)式的困難在于，學(xué)生對(duì)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算和不等式的同解變形不夠熟練．

思路6 利用“隱零點(diǎn)”和“設(shè)而不求”．

評(píng)注思路6的妙處在于“等價(jià)轉(zhuǎn)換”和“設(shè)而不求”．“隱零點(diǎn)”法和“設(shè)而不求”對(duì)于學(xué)生思維創(chuàng)新性要求較高，需要運(yùn)用分類討論、函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)等知識(shí)對(duì)問(wèn)題作綜合考慮，才能判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)、有幾個(gè)零點(diǎn)等問(wèn)題．

2.2 教學(xué)特色

課后，上課教師對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了說(shuō)課，多位教師和專家對(duì)本節(jié)課作了點(diǎn)評(píng)．大家認(rèn)為，這堂課很成功，有諸多教學(xué)啟示．

·組織團(tuán)隊(duì)教研，教研成果助教學(xué)

組織教學(xué)研究團(tuán)隊(duì)或建立教研共同體，可以克服“單打獨(dú)斗”搞教研的精力不足、成果不足、普及不足等問(wèn)題．上課教師所在的教研團(tuán)隊(duì)擁有多位骨干教師，他們以研促教，每周規(guī)定固定的時(shí)間研究高考題解法、課堂教學(xué)等問(wèn)題．高考剛結(jié)束，此團(tuán)隊(duì)就立刻開展試題研究，短時(shí)間內(nèi)研究出了本題的幾種解法，且他們發(fā)現(xiàn)某學(xué)校的測(cè)試題經(jīng)過(guò)一些變形后與此高考題結(jié)構(gòu)相同．選定課題之后，團(tuán)隊(duì)內(nèi)的教師一起對(duì)本堂課的內(nèi)容、學(xué)情、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn)等進(jìn)行分析，設(shè)置了比較詳細(xì)的解題思路和探究的教學(xué)環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)好的各種解法．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生對(duì)于高考?jí)狠S的導(dǎo)數(shù)題不再“恐懼”，能用已學(xué)方法進(jìn)行一些探索．

·感悟思想方法，落實(shí)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)體擁有“數(shù)學(xué)頭腦”的自組織的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)[1]．本題教學(xué)較好體現(xiàn)了小組合作學(xué)習(xí)的自組織和學(xué)生自主探索的自組織，但對(duì)于中等水平及以下的學(xué)生來(lái)說(shuō)，要想完全實(shí)現(xiàn)“自組織”學(xué)習(xí)和探索是有難度的．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)是學(xué)生已建立起了良好的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，本題教學(xué)對(duì)豐富學(xué)生的思路探索與發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)是成功的．?dāng)?shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)核，而數(shù)學(xué)思想方法又是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的內(nèi)核．因此，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)核，感悟數(shù)學(xué)思想方法就是在落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．就本題而言，思路1運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化思想；思路2運(yùn)用了觀察法和特殊化思想；思路3運(yùn)用了分類討論思想；思路4運(yùn)用了函數(shù)思想和主元思想；思路5借助對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)不等式進(jìn)行了多次的同解變形，使問(wèn)題解答過(guò)程顯得自然、連貫、簡(jiǎn)潔與巧妙；思路6借助于“隱零點(diǎn)”運(yùn)用了“設(shè)而不求”的思想方法，體現(xiàn)了多想少算的解題策略．扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能僅是順利完成此題第(2)題的必要條件但不是充分條件，順利完成此題第(2)題的解答還需要學(xué)生具有較強(qiáng)的分析問(wèn)題能力、探究問(wèn)題能力、轉(zhuǎn)化和簡(jiǎn)化問(wèn)題的能力以及一定的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)，這里的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)主要指解題思路的探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新，這些能力和創(chuàng)新意識(shí)正是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．因此，本題的教學(xué)能夠比較好地將培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思想感悟策略和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)策略融入到探究過(guò)程之中[2]．

3 教學(xué)建議

3.1 調(diào)整課堂容量，降低教學(xué)起點(diǎn)

本課教學(xué)內(nèi)容較多，讓學(xué)生探索的時(shí)間不夠充足，因此建議安排2課時(shí)．將課前小組討論解題思路的活動(dòng)移到課堂上，這樣教師就能看到學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)和出現(xiàn)的各種問(wèn)題，再依據(jù)學(xué)情來(lái)精準(zhǔn)施教．

3.2 反思解題經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)創(chuàng)新素養(yǎng)

教師引導(dǎo)學(xué)生反思解題經(jīng)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要方法．

(1)對(duì)思路2的反思：“找關(guān)鍵點(diǎn)”方法是根據(jù)“充要條件”來(lái)證明：f(x)≥1?a≥1．

首先，證明f(x)≥1?a≥1(略)．其次，證明必要性：a≥1?f(x)≥1．當(dāng)a≥1時(shí)，可知f(x)≥ex-1-lnx．接著，通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)g(x)=ex-1-x，h(x)=lnx-x+1，最后可以得到ex-1-lnx≥x-(x-1)=1，得證．整個(gè)證明過(guò)程需要兩次求導(dǎo)．實(shí)際上，必要性的證明可以簡(jiǎn)化(優(yōu)化)為直接比較ex-1與lnx的大小：令φ(x)=ex-1-lnx，通過(guò)求導(dǎo)可得φ′(x)=0的解為x=1，于是其最小值為φ(1)=1，所以f(x)≥φ(x)≥1．這里，把原本多次求導(dǎo)化為了一次求導(dǎo)，這種直接比較的方法更貼近學(xué)生的思維過(guò)程．

(2)對(duì)思路4的反思：批判性思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要路徑．

思路4出現(xiàn)了邏輯差錯(cuò)．因?yàn)檫€需要驗(yàn)證0

(3)對(duì)思路5的反思：發(fā)散思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要路徑．

思路5另解1：aex-1-lnx+lna≥1?ex-1+ln a≥lnx-lna+1．令t=ex-1+ln a，取對(duì)數(shù)，得lnt=x-1+lna①．又eln t≥lnx-lna+1，即t≥lnx-lna+1 ②．

①+②，得lnt+t≥lnx+x．顯然m(x)= lnx+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因此t≥x．即ex-1+ln a≥x，則lna≥lnx-x+1．(以下從略．)

3.3 洞察問(wèn)題本質(zhì)，編擬新穎題目

在上面“對(duì)思路2的反思”基礎(chǔ)上，對(duì)于不等式ex-1-lnx≥1的證明若用教材上的習(xí)題結(jié)論ex≥1+x(當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))，則可簡(jiǎn)潔明快地獲得．事實(shí)上，用教材上的習(xí)題結(jié)論ex≥1+x可得ex-1≥x(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))；再對(duì)ex-1≥x取自然對(duì)數(shù)，可得lnx≤x-1(x>0)(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))．從而，利用ex-1≥x(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))和lnx≤x-1(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))直接放縮，可得ex-1-lnx≥x-lnx≥x-(x-1)=1．

不難看出，利用教材上習(xí)題結(jié)論及推論，即直接用ex-1≥x和lnx≤x-1(x>0)便可解決問(wèn)題，真可謂直擊問(wèn)題本質(zhì)，并欣賞到數(shù)學(xué)解題的簡(jiǎn)單美．由此筆者猜測(cè)，本題的設(shè)計(jì)背景很可能就是依據(jù)ex-1≥x和lnx≤x-1(x>0)進(jìn)行反向構(gòu)造出來(lái)的．事實(shí)上，由這兩個(gè)不等式相減，即有ex-1-lnx≥1； 然后兩次穿上參數(shù)a的“馬甲”，令a≥1，則得到aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1．

編擬練習(xí)題是數(shù)學(xué)教師的基本功．在洞察問(wèn)題本質(zhì)后，就不難編擬一些新穎題目，例如：

(1)已知apex-1-lnx+qlna≥1恒成立，p,q均為正整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2)已知aex-1-lnx+lna+a3≥2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．