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        單擺小球在三維空間中運(yùn)動(dòng)規(guī)律研究

        2021-05-15 05:50:44姜付錦
        物理教師 2021年4期
        關(guān)鍵詞:微擾緯線勻速圓周

        姜付錦 李 都 劉 穎

        (湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué),湖北 武漢 430300)

        在高中階段,單擺小球在二維空間中的運(yùn)動(dòng)形式主要有兩類:單擺運(yùn)動(dòng)(簡諧運(yùn)動(dòng))和圓錐擺運(yùn)動(dòng)(勻速圓周運(yùn)動(dòng)).小球開始做圓錐擺運(yùn)動(dòng),若小球的初速度有一個(gè)微擾,則小球會不會再次達(dá)到勻速圓周運(yùn)動(dòng)?[1][2]小球會不會做橢圓擺運(yùn)動(dòng)?[3]研究表明小球既不做勻速圓周運(yùn)動(dòng),也不做橢圓擺運(yùn)動(dòng),而是一種復(fù)雜的三維曲線運(yùn)動(dòng).

        1 什么是橢圓擺運(yùn)動(dòng)?

        文獻(xiàn)[4-5]已明確指出: 如圖1所示,一個(gè)質(zhì)量為m1、半徑為R的半球形光滑凹槽放置在光滑水平上,再將一個(gè)質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)置于凹槽內(nèi)角度為θ處,質(zhì)點(diǎn)由靜止?fàn)顟B(tài)自由下滑,可以證明,質(zhì)點(diǎn)相對地面靜止參考系的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓線,故該系統(tǒng)是一種典型的橢圓擺系統(tǒng).若半球形光滑凹槽固定,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不可能是橢圓擺.

        圖1 橢圓擺系統(tǒng)

        2 為什么小球不能再次做勻速圓周運(yùn)動(dòng)?

        圖2

        (1)

        相對于豎直軸的角動(dòng)量守恒

        mαv0Lsinθ=mvmLsinθm.

        (2)

        聯(lián)立(1)(2)兩式可求得

        (3)

        通過研究可以發(fā)現(xiàn),若α=1,則小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng);若α>1,則(3)式求的是小球運(yùn)動(dòng)過程中最小速度;若α<1,則(3)式求的小球運(yùn)動(dòng)過程中最大速度;當(dāng)α≠1時(shí),則小球?qū)⒃诎霃綖長的球面上做復(fù)雜的周期性運(yùn)動(dòng),它不可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng).

        3 小球的動(dòng)力學(xué)微分方程組

        圖3 建立球坐標(biāo)系

        通過小球的受力分析可知

        由以上兩式求得

        (4)

        (5)

        3.1 小球在經(jīng)線方向上微擾周期

        小球?qū)ωQ直軸角動(dòng)量守恒,則有

        (6)

        (6)式中L為小球的角動(dòng)量,θ0為開始時(shí)繩子與Z軸的夾角,ω0為小球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度, 聯(lián)立(4)、(6)兩式得

        (7)

        設(shè)θ=θ0+δ,δ→0,π/2<θ0<π,則有

        (8)

        聯(lián)立(7)、(8)兩式得

        (9)

        將(9)式整理后得

        (10)

        將sin-3(θ0+δ)展開為泰勒級數(shù)形式,并舍去二階及以上的小量得

        (11)

        將(6)、(11)兩式代入(10)式得

        (12)

        (13)

        開始時(shí)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則

        (14)

        聯(lián)立(6)、(13)、(14)3式得

        (15)

        結(jié)合小球在經(jīng)向初始狀態(tài),求解(12)式得小球沿經(jīng)線微擾規(guī)律和周期分別為

        (16)

        3.2 小球在緯線方向上微擾周期

        小球?qū)ωQ直軸角動(dòng)量守恒,則聯(lián)立(6)(8)兩式整理得

        (17)

        將sin-2(θ0+δ)展開為泰勒級數(shù)形式,并舍去二階及以上的小量得

        (18)

        把(18)式代入(17)式得

        (19)

        將(14)式代入(19)式后得

        (20)

        再對(20)式求導(dǎo)得

        (21)

        聯(lián)立(12)、(13)、(16)、(21)4式得,小球在緯線方向圓周運(yùn)動(dòng)微擾角加速度與時(shí)間是簡諧振動(dòng)關(guān)系,且與小球在經(jīng)線方向微擾振動(dòng)周期相等,所以小球在緯線方向微擾角加速度振動(dòng)規(guī)律和周期分別為

        (22)

        3.3 數(shù)值模擬

        3.3.1 小球微擾運(yùn)動(dòng)軌規(guī)律

        當(dāng)小球微擾角速度為0.9792ω0時(shí),小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是閉合周期解,運(yùn)動(dòng)軌跡在水平面上的投影近似一個(gè)較粗的圓環(huán),最外側(cè)與最內(nèi)側(cè)相距很近;兩幅側(cè)視圖完全相同,都是軸對稱圖形,證明了小球運(yùn)動(dòng)軌跡具有閉合周期性特征;小球在3個(gè)方向上都做簡諧振動(dòng),在X軸與Y軸方向上的振動(dòng)周期相等,且TX∶TY∶TZ=4∶4∶3,所以圖5和圖6是尼薩如圖形.

        圖4 X-Y關(guān)系

        圖5 Z-Y關(guān)系

        圖6 Z-X關(guān)系

        圖7 X-t關(guān)系

        圖8 Y-t關(guān)系

        圖9 Z-t關(guān)系

        3.3.2 小球微擾時(shí)在經(jīng)線方向與在緯線方向上振動(dòng)規(guī)律

        小球微擾角速度為0.9792ω0,由圖10、圖12可以看出在經(jīng)線方向和在緯線方向兩個(gè)角速度的振動(dòng)周期相同,這與(16)、(22)兩式分析結(jié)果吻合;因?yàn)榻?jīng)線方向小球角速度與角度的振動(dòng)相位差是π/2,所以在經(jīng)線方向角速度與經(jīng)角的相圖是一個(gè)橢圓;因?yàn)榻?jīng)線方向小球角加速度與緯向角加速度的振動(dòng)相位差是π/2,經(jīng)向角加速度與緯向角加度相圖也是一個(gè)橢圓.

        圖10 經(jīng)向角速度與時(shí)間關(guān)系

        圖11 經(jīng)向角速度與經(jīng)角相圖

        圖12 緯向角加速度與時(shí)間關(guān)系

        圖13 緯向角加速度與經(jīng)向角加速度相圖

        3.3.3 一般運(yùn)動(dòng)情況下閉合周期軌跡的三視圖

        當(dāng)小球初角速度為1.09 r/s時(shí),其運(yùn)動(dòng)軌跡也是一組閉合周期性解,其在水平面上的投影很像“水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)”現(xiàn)象,[7]其中最外側(cè)與最內(nèi)側(cè)分別對應(yīng)小球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),數(shù)值模擬結(jié)果也與(3)式分析結(jié)果吻合;兩幅側(cè)視圖也完全相同,滿足軌跡閉合周期解的基本特征.若小球在緯線方向和在經(jīng)線方向上運(yùn)動(dòng)周期之比恰好是有理數(shù),則小球在三維空間的運(yùn)動(dòng)軌跡是閉合周期解[8].

        4 結(jié)語

        若小球受到的合外力恰好可以提供勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心力,則小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng);若小球在勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)速度有微擾,則小球不會再次達(dá)到勻速圓周運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[9],而且小球在經(jīng)線方向與在緯線方向上兩個(gè)角速度振動(dòng)周期相等,若微擾角速度滿足一定條件,則小球運(yùn)動(dòng)軌跡的側(cè)視圖可能是尼薩如圖形;若小球開始時(shí)不做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則小球的運(yùn)動(dòng)軌跡將是一種復(fù)雜三維曲線(球面擺),其俯視圖不是橢圓,其水平投影被限制在兩個(gè)圓周之間所夾的“環(huán)狀”區(qū)域,軌跡形狀類似“水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)”現(xiàn)象[7],在經(jīng)線方向和在緯線方向上都是周期性運(yùn)動(dòng);若小球在緯線方向和在經(jīng)線方向上兩個(gè)運(yùn)動(dòng)周期之比恰好是有理數(shù),則小球在三維空間的運(yùn)動(dòng)軌跡是閉合周期解[8],如圖14、圖15和圖16所示;參考文獻(xiàn)[3]中之所以會出現(xiàn)所謂的“橢圓”,其實(shí)并不是真正的“橢圓”,它只是圖14中某一小段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡水平投影,與橢圓類似而已;當(dāng)單擺的懸點(diǎn)是固定時(shí),小球不可能做“橢圓擺”運(yùn)動(dòng).

        圖14 Y-X圖

        圖15 Z-X圖

        圖16 Z-Y圖

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