苑倩倩， 路振國， 任立順

(1.信陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 信陽464000； 2.信陽師范學(xué)院 教務(wù)處，河南 信陽464000；3.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口466000)

1 引 言

自1982年B. Jacabson[1]和A. G. Azpeitia[2]提出積分中值定理及Taylor公式“中值點(diǎn)”的漸近性以來，許多數(shù)學(xué)工作者開始研究各種微積分中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性，相繼有許多研究成果.如文獻(xiàn)[3-8]討論了積分中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性，其中張寶林[3]推廣了B. Jacabson[1]的結(jié)論，得到了積分第一中值定理“中值點(diǎn)”ξx必滿足：

楊彩萍等在文獻(xiàn)[5]中得到了推廣的積分第一中值定理“中值點(diǎn)”ξx必滿足：

文獻(xiàn)[9-20]討論了各種微分中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性，其中李元中、馮漢橋在文獻(xiàn)[9]中得到了關(guān)于高階Larange中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性，“中值點(diǎn)”ξ滿足：

李治遠(yuǎn)在文獻(xiàn)[19]中討論了幾類初等函數(shù)的拉格朗日中值定理中值點(diǎn)的確定方法，并給出了從低階到高階可導(dǎo)函數(shù)的拉格朗日中值點(diǎn)的漸近性.這些對(duì)高階中值公式“中值點(diǎn)”的漸近性研究中，f(n+1)(a)≠0是定理成立的關(guān)鍵性條件，當(dāng)f(n+1)(a)=0或f(n+1)(a)不存在時(shí)，至今沒有見到更好的結(jié)果.本文將借助Stirling數(shù)這個(gè)工具，從

(i)f(n+1)(a)不存在；

(ii)f(n+i)(a)=0(i=1，2，3，…，m-n-1)，而f(m)(a)不存在，

兩個(gè)方面來討論高階Lagrange中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性.

2 幾個(gè)引理

引理1設(shè)f(x)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)n階可導(dǎo)，記

若存在0<α<1， 使得

f(x)=Pn(x)+g(x)(x-a)n+α，

進(jìn)而

f(x)=Pn(x)+l(x-a)n+α+o((x-a)n+α)=Pn(x)+(l+o(1))(x-a)n+α，

因f(x)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則g(x)(x-a)n+α在點(diǎn)a的該鄰域內(nèi)也有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(g(x)(x-a)n+α)(n)=f(n)(x)-f(n)(a).下證

因?yàn)?/p>

即

所以

引理2[21]?m，n∈+，有

其中S(m，n)稱為Stirling數(shù).

引理3設(shè)

則?α>1，有

S(α，n)=S(α-1，n-1)+nS(α-1，n)，

且S(α，1)=1，S(α，0)=0.

證?α>1，

S(α-1，n-1)+nS(α-1，n)

=S(α，n).

引理4[22](Lagrange高階微分中值定理) 設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則?x∈U(x0)，存在ξ∈U(x0)，使得

(1)

3 主要結(jié)果

定理1設(shè)f∶[a，b]→具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(n+1)(a)不存在，若存在0<α<1，使得

證因?yàn)?/p>

由引理1知:存在函數(shù)g(x)，使得

f(x)=Pn(x)+g(x)(x-a)n+α，

(2)

又因?yàn)?/p>

f(n)(x)=f(n)(a)+(g(x)(x-a)n+α)(n)，

所以

(3)

由引理2知

所以(2)式變?yōu)?/p>

(4)

由引理4的(1)式知，(3)與(4)相等.即

(5)

因?yàn)閤→a+時(shí)，ξ→a+，所以，(5)式兩邊當(dāng)x→a+時(shí)，利用引理1得

(6)

定理2設(shè)f∶[a，b]→R具有n+k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(n+i)(a)=0(i=1，2，…，k)，f(n+k+1)(a)不存在.若存在0<α<1，使得

則?x∈(a，b)，存在滿足引理4的ξ∈(a，x)， 使得

證由引理1可得，f(x)在點(diǎn)a處n階Taylor展式為

(7)

將f(n)(x)及(7)式代入引理4中的(1)式，并利用引理2得

(8)

(9)

由(8)式及(9)式得

(10)

因ξ∈(a，x)，所以x→a+時(shí)，有ξ→a+， (10)式兩邊當(dāng)x→a+時(shí)，有

由文獻(xiàn)[13]知

所以

(11)

推論1設(shè)f在[a，b]上連續(xù)，在點(diǎn)a處不可導(dǎo)，若存在0<α<1，使得

(12)

推論2設(shè)f∶[a，b]→具有n+k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(n+k+1)(a)不存在，若存在0<α<1，使得

則對(duì)任意x∈(a，b)，n階Taylor中值點(diǎn)ηx∈(a，x)滿足

證由定理2的證明知

推論3設(shè)f在點(diǎn)a具有m-1階導(dǎo)數(shù)，且f(i)(a)=0(i=1，2…，m-1)，f(m)(a)不存在.如果存在0<α<1，使得

注 (i) 推論1是文獻(xiàn)[3]結(jié)論的推廣，是文獻(xiàn)[4]當(dāng)g(x)=1時(shí)的結(jié)論.

(ii) 推論2是文獻(xiàn)[13]定理1的結(jié)果.

下面結(jié)合一個(gè)具體的例子來驗(yàn)證文中結(jié)論的正確性.

由定理1知

所以中值點(diǎn)的的漸近估計(jì)式為

(13)

所以中值點(diǎn)的的漸近估計(jì)式為

(14)

接下來，利用Lagrange高階微分中值公式來檢驗(yàn)定理的正確性.

由于

當(dāng)n=2時(shí)，利用Lagrange高階微分中值公式(1)， 得

即

(15)

此時(shí)(14)式中的中值點(diǎn)ξ的漸近估計(jì)式滿足(15)式.

當(dāng)n=3時(shí)，利用Lagrange高階微分中值公式(1)， 得

即

(16)

此時(shí)(13)式中的中值點(diǎn)ξ的漸近估計(jì)式滿足(16)式.定理1及定理2結(jié)論的正確性得以驗(yàn)證.

4 結(jié) 論

本文在已有的關(guān)于高階Lagrange中值定理“中值點(diǎn)”漸近性研究的基礎(chǔ)之上，利用Stirling數(shù)研究了當(dāng)f(n+1)(a)=0或f(n+1)(a)不存在時(shí)，高階Lagrange微分中值定理的“中值點(diǎn)”的漸近性，并給出了漸近性估計(jì)式.與利用Lagrange高階微分中值公式求解相比，本文中給出的求解方法更簡(jiǎn)便.

致謝在此對(duì)相關(guān)參考文獻(xiàn)給予本文的啟發(fā)與思考，以及審稿人給出的寶貴建議表示衷心的感謝！