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        高階Lagrange中值定理“中值點”的漸近性

        2021-05-07 09:25:12苑倩倩路振國任立順
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
        關(guān)鍵詞:中值鄰域高階

        苑倩倩, 路振國, 任立順

        (1.信陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 信陽464000; 2.信陽師范學(xué)院 教務(wù)處,河南 信陽464000;3.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 周口466000)

        1 引 言

        自1982年B. Jacabson[1]和A. G. Azpeitia[2]提出積分中值定理及Taylor公式“中值點”的漸近性以來,許多數(shù)學(xué)工作者開始研究各種微積分中值定理“中值點”的漸近性,相繼有許多研究成果.如文獻(xiàn)[3-8]討論了積分中值定理“中值點”的漸近性,其中張寶林[3]推廣了B. Jacabson[1]的結(jié)論,得到了積分第一中值定理“中值點”ξx必滿足:

        楊彩萍等在文獻(xiàn)[5]中得到了推廣的積分第一中值定理“中值點”ξx必滿足:

        文獻(xiàn)[9-20]討論了各種微分中值定理“中值點”的漸近性,其中李元中、馮漢橋在文獻(xiàn)[9]中得到了關(guān)于高階Larange中值定理“中值點”的漸近性,“中值點”ξ滿足:

        李治遠(yuǎn)在文獻(xiàn)[19]中討論了幾類初等函數(shù)的拉格朗日中值定理中值點的確定方法,并給出了從低階到高階可導(dǎo)函數(shù)的拉格朗日中值點的漸近性.這些對高階中值公式“中值點”的漸近性研究中,f(n+1)(a)≠0是定理成立的關(guān)鍵性條件,當(dāng)f(n+1)(a)=0或f(n+1)(a)不存在時,至今沒有見到更好的結(jié)果.本文將借助Stirling數(shù)這個工具,從

        (i)f(n+1)(a)不存在;

        (ii)f(n+i)(a)=0(i=1,2,3,…,m-n-1),而f(m)(a)不存在,

        兩個方面來討論高階Lagrange中值定理“中值點”的漸近性.

        2 幾個引理

        引理1設(shè)f(x)在點a的某鄰域內(nèi)n階可導(dǎo),記

        若存在0<α<1, 使得

        f(x)=Pn(x)+g(x)(x-a)n+α,

        進(jìn)而

        f(x)=Pn(x)+l(x-a)n+α+o((x-a)n+α)=Pn(x)+(l+o(1))(x-a)n+α,

        因f(x)在點a的某鄰域內(nèi)有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則g(x)(x-a)n+α在點a的該鄰域內(nèi)也有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且(g(x)(x-a)n+α)(n)=f(n)(x)-f(n)(a).下證

        因為

        所以

        引理2[21]?m,n∈+,有

        其中S(m,n)稱為Stirling數(shù).

        引理3設(shè)

        則?α>1,有

        S(α,n)=S(α-1,n-1)+nS(α-1,n),

        且S(α,1)=1,S(α,0)=0.

        證?α>1,

        S(α-1,n-1)+nS(α-1,n)

        =S(α,n).

        引理4[22](Lagrange高階微分中值定理) 設(shè)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則?x∈U(x0),存在ξ∈U(x0),使得

        (1)

        3 主要結(jié)果

        定理1設(shè)f∶[a,b]→具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(n+1)(a)不存在,若存在0<α<1,使得

        證因為

        由引理1知:存在函數(shù)g(x),使得

        f(x)=Pn(x)+g(x)(x-a)n+α,

        (2)

        又因為

        f(n)(x)=f(n)(a)+(g(x)(x-a)n+α)(n),

        所以

        (3)

        由引理2知

        所以(2)式變?yōu)?/p>

        (4)

        由引理4的(1)式知,(3)與(4)相等.即

        (5)

        因為x→a+時,ξ→a+,所以,(5)式兩邊當(dāng)x→a+時,利用引理1得

        (6)

        定理2設(shè)f∶[a,b]→R具有n+k階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(n+i)(a)=0(i=1,2,…,k),f(n+k+1)(a)不存在.若存在0<α<1,使得

        則?x∈(a,b),存在滿足引理4的ξ∈(a,x), 使得

        證由引理1可得,f(x)在點a處n階Taylor展式為

        (7)

        將f(n)(x)及(7)式代入引理4中的(1)式,并利用引理2得

        (8)

        (9)

        由(8)式及(9)式得

        (10)

        因ξ∈(a,x),所以x→a+時,有ξ→a+, (10)式兩邊當(dāng)x→a+時,有

        由文獻(xiàn)[13]知

        所以

        (11)

        推論1設(shè)f在[a,b]上連續(xù),在點a處不可導(dǎo),若存在0<α<1,使得

        (12)

        推論2設(shè)f∶[a,b]→具有n+k階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(n+k+1)(a)不存在,若存在0<α<1,使得

        則對任意x∈(a,b),n階Taylor中值點ηx∈(a,x)滿足

        證由定理2的證明知

        推論3設(shè)f在點a具有m-1階導(dǎo)數(shù),且f(i)(a)=0(i=1,2…,m-1),f(m)(a)不存在.如果存在0<α<1,使得

        注 (i) 推論1是文獻(xiàn)[3]結(jié)論的推廣,是文獻(xiàn)[4]當(dāng)g(x)=1時的結(jié)論.

        (ii) 推論2是文獻(xiàn)[13]定理1的結(jié)果.

        下面結(jié)合一個具體的例子來驗證文中結(jié)論的正確性.

        由定理1知

        所以中值點的的漸近估計式為

        (13)

        所以中值點的的漸近估計式為

        (14)

        接下來,利用Lagrange高階微分中值公式來檢驗定理的正確性.

        由于

        當(dāng)n=2時,利用Lagrange高階微分中值公式(1), 得

        (15)

        此時(14)式中的中值點ξ的漸近估計式滿足(15)式.

        當(dāng)n=3時,利用Lagrange高階微分中值公式(1), 得

        (16)

        此時(13)式中的中值點ξ的漸近估計式滿足(16)式.定理1及定理2結(jié)論的正確性得以驗證.

        4 結(jié) 論

        本文在已有的關(guān)于高階Lagrange中值定理“中值點”漸近性研究的基礎(chǔ)之上,利用Stirling數(shù)研究了當(dāng)f(n+1)(a)=0或f(n+1)(a)不存在時,高階Lagrange微分中值定理的“中值點”的漸近性,并給出了漸近性估計式.與利用Lagrange高階微分中值公式求解相比,本文中給出的求解方法更簡便.

        致謝在此對相關(guān)參考文獻(xiàn)給予本文的啟發(fā)與思考,以及審稿人給出的寶貴建議表示衷心的感謝!

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