周文書(shū)， 駱培業(yè)

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 大連116600)

1 引 言

(1)

估計(jì)式(1)的重要意義在于它給出了余項(xiàng)Rk(p)收斂于零的一個(gè)速率.文[7]給出的估計(jì)式(1)的證明也相當(dāng)初等，僅用到了如下不等式(見(jiàn)文[7]引理1)：

實(shí)際上，這個(gè)不等式可以被改進(jìn)(見(jiàn)下文引理2).

基于這個(gè)不等式及Taylor展開(kāi)公式，本文進(jìn)一步改進(jìn)了估計(jì)式(1)，得到了如下結(jié)果：

定理1設(shè)p為常數(shù)且p>1，則有

(2)

注1 定理1蘊(yùn)含如下結(jié)果：

特別有

可見(jiàn)，定理1中結(jié)果是估計(jì)式(1)的一個(gè)改進(jìn).

注2 設(shè)p為常數(shù)且p>2.利用定理1可得到如下結(jié)果：

(3)

實(shí)際上，對(duì)估計(jì)式(2)兩端同時(shí)求和，然后利用如下恒等式:

有

2 定理1的證明

定理1的證明基于如下兩個(gè)引理.

引理1設(shè)p為常數(shù)且p>1，a，b是正數(shù)且滿足a<1

證對(duì)任意x≥1，令

當(dāng)x>1時(shí)， 有

因此，f(x)在(1，+∞)上是嚴(yán)格單調(diào)增加的，故f(x)>f(1). 證畢.

引理2設(shè)p為常數(shù)且p>1，則有

證令

則

對(duì)任意x∈(0，1)，由引理1知

故f′(x)>0，?x∈(0，1)，于是

另一方面，由Taylor展開(kāi)公式知

所以

證畢.

定理1的證明如下：

證對(duì)任意n∈，在引理2中取得

兩邊同乘以n1-p，得

上式兩端同時(shí)關(guān)于n從k+1到+∞求和，得

證畢.

3 結(jié) 論

致謝感謝文獻(xiàn)[7]給予本文的重要啟示.