□ 代婧宇 郜舒竹

等號（=）是一個簡潔的、明晰的、人人熟知的數(shù)學符號，任何一個等式中都有它的存在，如1=1，1+1=2，y=x+1，等等。按道理，教師和學生都應該非常熟悉等號的意義。然而，部分學生、教師對等號（=）的理解存在片面性，誤以為它只具有單方面“運算”的意義而沒有等價、相等關系的意義。

一、操作性認識

等式是使用等號表示兩個數(shù)學表達式呈等價、相等關系的數(shù)學陳述，其中，等號當屬最重要的符號之一。小學生在一年級學習等號（=）概念時，它被定義為“等于”，如4=4，讀作4等于4。到了四、五年級，小學生學習簡易方程（含有未知數(shù)的等式），教師發(fā)現(xiàn)學生總是將未知數(shù)單獨寫在等號的右邊去尋求答案。例如，在做這道看圖列式題（見圖1）時，有學生列出來的方程是這樣的：（126-98）÷3=x。

圖1 五年級方程的看圖列式習題

可以發(fā)現(xiàn)，這種方程的形式與“1+1=2”這類等號左邊是表達式、右邊是答案的算術式高度相似，簡單來說，它屬于一種“算術式方程”。小學生沿用了之前的經(jīng)驗，書寫方程采用特殊的形式：左邊有兩個或者多個項，右邊是結果，中間是一個連接符號——等號。方程也被學生視為算術問題，他們賦予等號操作性的解釋，把等號看作一種求得算術結果的標志物。

“將等號看作一種算術運算的操作性符號，而不是代表等價關系的符號”這一觀點與麥克尼爾（Nicole M.McNeil）和阿里巴里（Martha W.Alibali）在2005年研究中得出的三到五年級學生對等號的定義的認識是一致的。許多學生將等式中等號前所有的數(shù)字相加求答案，看到“=”就聯(lián)想到“總數(shù)”或“寫答案”。?？思{（Falkner）等人在研究一至六年級學生對等式“8+4=□+5”的求解后得出結論，學生提供的答案相當于將等號理解為“求結果”，再次表明了學生所持的“等號是操作性符號”的觀點。事實上，等號表示的是表達式雙方的等價、相等關系。那么，為什么學生會產(chǎn)生“等號是操作性符號”的誤解呢？

綜合來看，學生產(chǎn)生這一誤解的原因主要有兩種。第一種，“將等號視為操作性符號”的觀點是小學生早期算術訓練的產(chǎn)物，他們難以在不同情境下靈活運用等號。第二種，學生甚至不少數(shù)學教師對等號的意義了解不夠，對等號的概念產(chǎn)生誤解，缺乏對等號關系性意義的認識。如果教師意識到方程中的等號表示等價的關系，那么困難便迎刃而解。

從古至今，數(shù)學符號發(fā)生了一系列的演變才被最終確定，等號并不只有“算術運算結果”這一操作性意義。為此，就需要對歷史上等號意義的多樣性有所認識。

二、意義多樣

20 世紀之前，人們認為等號擁有五種不同的意義。1591 年，弗朗西斯（Francis Vieta）用等號表示算術差（arithmetical difference），作為兩個自然數(shù)相減之后的差的符號；1638 年，笛卡爾（René Descartes）①勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596—1650），法國哲學家、數(shù)學家、物理學家。他對現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展做出了重要的貢獻，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西方現(xiàn)代哲學思想的奠基人之一，是近代唯物論的開拓者，他提出了“普遍懷疑”的主張。他的哲學思想深深影響了之后的幾代歐洲人，并為歐洲的“理性主義”哲學奠定了基礎。在《幾何》中用“=”表示加號或減號，即“±”，等號就相當于現(xiàn)在的“+”或“-”；約翰（Johann Caramuel）使用“=”作為小數(shù)的分界線，如“102=857”相當于現(xiàn)在的“102.857”；1706 年，帕里修斯（G. H.Paricius）把“=”“：”和“-”作為通用符號用于分隔解決算術問題過程中出現(xiàn)的數(shù)字；迪洛朗（Dulaurens）和賴厄（Reyher）用“=”表示平行線（現(xiàn)在用“‖”），這也造成了當時代數(shù)語言的混亂。最終，等號被確定為表示相等關系的符號，在數(shù)學中被普遍采用。

進入20 世紀以后，萊特（G.S.Light）在1980 年提出了等號的六種不同的相等意義。第一種是有條件的數(shù)字上的相等（conditionally numerically equal），比如 3x-2=7x-6，只有當x=1 時，等式才成立，再如x2+4y2-4x+8y+8=0，此等式出現(xiàn)了兩個條件，只有當x=2、y=-1時，等式才成立。第二種是無條件的數(shù)字上的相等（unconditionally numerically equal）。第三種是完全相似（exact similar），萊特認為世界上沒有完全相似的兩種東西。第四種是相同（identical），萊特希望“相同”只具有下面這種語句的含義：昨晚在廚房里跑來跑去的老鼠和今天早上在陷阱里的老鼠一模一樣，這區(qū)別于“完全相似”。第五種是等價（equivalent），比如：1 元=1 元，在等號的交換性和等價性的基礎上，一張舊的1元紙幣和一張新的1元紙幣是等價的，盡管它們的顏色、外觀和序列號都不一樣。最后一種，等號還可以表示“是”的意思，有些等式中的“=”可以用符號“→”代替，可以翻譯為“成為”，也可以解釋為“執(zhí)行左邊運算的結果是右邊的表達式”。

1983年，弗賴登塔爾（H.Freudenthal）②弗賴登塔爾（H.Freudenthal，1905—1990），國際上極負盛名的荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家。弗賴登塔爾指導、推動和親身參與了荷蘭的數(shù)學教育改革實踐，并對20世紀國際數(shù)學課程的改革與發(fā)展做出了重大貢獻。斷言，在數(shù)學中，相等符號的使用通常是一個定義問題，例如代數(shù)表達式：①x2+2x+1=（x+1）2；②x2+2x+1=0。在第①種情況下，等號意味著所有x的值都是相等的，而在第②種情況下，它意味著等式中的x只有一個值。同年，巴魯?shù)希ˋrthur J.Baroody）和金斯伯格（Herbert P.Ginsburg）提出了多種觀點共存的可能性，消除“等號”的操作觀是不可能也是不可取的，應該拓寬對相等的看法，使之包含一種關系的意義。保羅（Paul Shoecraft）在1989 年提出“等號”意味著“和……一樣（is the same as）”，應該把等式中的“等號”解釋為一個關系，用于比較兩個實體。例如在8=3+5 中，8 和3+5 是一樣的。他還建議教師使用蹺蹺板、盤式天平、數(shù)學天平等幫助學生理解此意義。1998年，在保羅的這一觀點的基礎上，一些研究人員試圖塑造孩子們遇到等號的話語情境，例如采用相同的語言，將等號讀作“是和……一樣的”。2004年，麗貝卡（Rebecca L.Mann）提出，教師應該幫助學生認識到等號是代表等價和平衡的符號，在教學過程中引入了蹺蹺板和平衡標尺等幫助學生理解。2006 年，心理學家麥克尼爾（Nicole M.McNeil）得出研究結論：把等號解釋成一個信號來執(zhí)行它之前的運算，學生把“等號”視為“位置指示符”。瓊斯（Ian Jones）和普拉特（Dave Pratt）在2012 年認為學生應該使用等號的“關系意義”和“替換意義”這兩種不同的意義來解決算術難題。等號左邊的內(nèi)容可以被等號右邊的內(nèi)容替換掉，在方程中也可由數(shù)值代替未知數(shù)。

喬治（George Boggs）等研究人員還考慮到“=”在數(shù)學以外的環(huán)境（特別是社交、媒體和廣告場景）中的意義。以不同的語言和文化為背景，人們通過概念整合使用“等號”。從隱喻的角度來看，如果源域是數(shù)學領域，那么可以映射的目標域就包括結果、價值、狀態(tài)等等。

第一，“‘加’的結果”。通常指兩個或多個輸入條件結合，共同產(chǎn)生某種結果或后果。比如“1%的靈感+99%的汗水=成功”，在這種語句中，可以將“等號”的意思推斷為收益、結果或原因。其中，加數(shù)被映射為活動，加法或加號（+）被映射為連接詞“和”等，等號（=）就被映射為合并兩個或多個活動的結果，而不是加法計算，等式的右邊給出的不是加法的“和”，而是事件的結果和后果。

第二，“簡單的結果”。在這種語句中，不需要使用“+”或其他運算符號就能表示因果關系或邏輯關系，如“少休息=多回報”“工作=賺錢”，其中，可以用箭頭“→”代替等號“=”。這種語句中都有一個明確或暗含的因果關系來表達實體間的關系，實體的情況、現(xiàn)象等分布在等號的左右兩邊。另外，這種語句也隱喻了等號的運算意義，問題在等號左邊，答案和結果在等號右邊。

第三，“定義和描述形式”。比如“No=不可以”，等號表示等價。雖然語種不同，但英文中“No”表達的意思和中文里“不可以”的意思是等價的。

第四，“評估、狀態(tài)和價值形式”。比如“豬=肥胖/貪吃/懶”，等號所傳達的相關狀態(tài)、價值、形式等只是為了表達某物或某事的狀態(tài)、價值、形式。這些類別和例子說明等號可以與語境匹配出多個適當意義，不同背景中事物之間的相似或不同之處說明了等號意義的細微差別。

綜上所述，等號（=）具有多種不同的意義。如何在眾多意義中恰當選擇，使等號適用于不同情境，值得進一步思考。

三、等價關系

“關系”就是把雙方甚至是多方連接、聯(lián)系起來進行認知的過程，是從事物之間的相互聯(lián)系中觀察和分析各種現(xiàn)象并揭示其屬性以及發(fā)展規(guī)律的一種思維方式?！?”屬于基本符號中的關系符號，理解等號的關系性意義與關系思維有關，學生可以通過專注于等式或方程中數(shù)字之間的關系來解決數(shù)字語句而不是執(zhí)行所有計算。如何利用“關系”的思維方式理解等號的多樣意義以便于人們使用呢？在此，通過總結前人研究，筆者從“關系”的角度理解等號所代表的意義，將其分為兩大類：操作性意義和互換性意義。

小學生計算通常采用操作運算形式，等號左邊是執(zhí)行運算，右邊是要得到答案的地方；在“‘加’的結果”和“簡單的結果”語句中，不管左邊擁有幾個活動和事件，右邊都包含了現(xiàn)實世界的活動及其后果。這是因為使用了數(shù)學中的算術運算模板，引用了等號（=）的操作結果意義。學生將等號定義為運算結果可能是通過描述行為過程，根據(jù)行為結果來給符號定一個概念。因此，可以將各種情境下等號用來傳達結果的意義統(tǒng)稱為等號的“操作性意義”。

等號（=）的操作性意義意味著“在這里寫下答案”，是作為“做某事”的符號，表達了“答案是……”“找到總數(shù)”的意思，可理解為執(zhí)行出現(xiàn)在等號左側的操作的“命令”，或者視為從左到右執(zhí)行計算的信息。學生只需要操作這些數(shù)字就能得到答案。小學生普遍采用的操作形式是表達式=數(shù)，即a+b=c。這是他們對于等號最基礎的理解，具有嚴格的操作性。他們只會在等號的左邊進行操作，嚴格遵循“a+b=c”這樣的形式進行計算。等號的操作性意義多見于算術中，在小學生眼中，他們相對熟悉等號的這個意義。然而，等號還具有非操作性的意義。

等號一般在等式中出現(xiàn)，它維持著等式兩邊表達式的等價關系。數(shù)學之外，“定義和描述形式”“評估、狀態(tài)和價值形式”等語句都生動地描述了多種不同事物之間的關系，等號連接著的事物雙方在一定語義背景下是等價的。比如一張舊的1 元紙幣和一張新的1元紙幣等價，工作和掙錢等價……不管是數(shù)學領域之內(nèi)還是數(shù)學領域之外，本質(zhì)上都采用了等號的一種特殊用法和意義，在不同事物間建立左邊表達（式）等價于右邊表達（式）的聯(lián)系，描述了對象之間在一定程度上的相同性或互換性。這里，將此等號意義統(tǒng)稱為等號的“互換性意義”。等號的“互換性意義”說明兩個對象間可以互換（對稱），一個對象可以和自身互換（自反），對象間還可以進行傳遞互換。

等價，強調(diào)的是一種關系，在數(shù)學中表示等號兩邊的表達式有相同的值，這其中還含有平衡（balance）的觀點。等號兩邊的值相同，不僅指等號兩邊是相同的數(shù)，還包括等號兩邊看起來很不一樣，是不同的組合，但看似不同的組合，數(shù)量可能仍然具有同等的價值。比如：2+3=4+1。從感官上看，等號兩邊的數(shù)字是不一樣的；從意義上來看，聯(lián)想到涉身活動，2+3表示的意思可以是一個箱子中原來有2個蘋果，后來又放進去了3個蘋果，而4+1表示的意思是一個箱子中原來有4個蘋果，后來又放進去了1 個蘋果，2+3 和4+1 這兩個式子所代表的意義也不一樣。但是若把兩個式子聯(lián)系起來，從這些不同中尋找相同就會發(fā)現(xiàn)，2+3的計算結果是5，4+1的結果也是5，兩個式子在數(shù)值上相同，等價關系就成立了。

互換，指等號沒有左右之分，等號兩邊的內(nèi)容彼此可以互相交換。如，2+3=4+1可以寫成4+1=2+3，二者意義不變。

等號還能與變量一起用來描述或表達關于數(shù)字之間關系的事實。比如：3x+3=4x+2。根據(jù)等式的性質(zhì)可以得出x等于1，當x=1 時，等式中看似不同的兩個表達式構成等價關系，使得等號左邊表達式的值和等號右邊表達式的值一樣。學生對于“等號”的等價關系觀，是學習方程的基礎。理解等價性要求理解等號兩邊的表達式的值是相同的，學生要能夠從不同的兩件或多件事實中尋找相同的部分去建立等價關系。

處于掌握等號互換性意義水平的學生，能夠在等號的右邊進行操作或者不操作，能理解“c=a+b或a=a”的形式，具有靈活的操作性觀點。比如說計算21+30，可以知道21=20+1、20+1=1+20、20+30=50、50+1=51，由這幾個算式的等號左右兩邊進行替換得出，21+30=51。在方程中，數(shù)值和未知數(shù)可相互替換。比如，將i2=-1 理解為替換規(guī)則，即在所有方程中i2都可以被-1 替換，反過來也是一樣，在所有方程中-1都可以被i2替換。學生在掌握“a+b=c”之后，又進一步習得了“c=d+e”，根據(jù)替換原則能夠得出“a+b=d+e”的基本等價關系形式。掌握等號的互換性意義是小學高年級學生運用等價關系處理方程和不等式的基礎。

事實上，以“關系”的眼光來看，等號的操作性意義同樣屬于一種關系性意義，它暗示了等號兩邊的因果關系。如1+1=2，因為有1+1，所以有了2。

總的來說，等號的操作性意義和互換性意義同為等號的關系性意義，前者暗示了等號兩邊的因果關系，后者突出了等號兩邊的等價關系。

四、關系思維

因果關系，是前一個事件（即“因”）和后一個事件（即“果”）之間的作用關系，其中后一事件被認為是前一事件的結果。一般來說，一個事件是很多原因綜合產(chǎn)生的結果，而且原因都發(fā)生在較早時間點，而該事件又可以成為其他事件的原因。等價關系，描述的是兩個事件或對象在一定程度上的相同性，它們之間是自反的、對稱的、傳遞的。等號的操作性意義在語句中所暗示的等號前后的因果關系是有先后順序的，“因”在前，“果”在后。然而，等號的互換性意義所暗示的等號兩邊的等價關系是不區(qū)分先后和左右的?；Q性意義比操作性意義更進一步詮釋了等號。因此，等號的操作性意義和互換性意義這兩個屬概念，雖都包含在關系性意義這個種概念之下，但“操作性”和“互換性”呈并列不相容的關系（如圖2）。

圖2 等號的操作性和互換性的關系

等號的操作性意義和互換性意義在多數(shù)情況下是共同應用的（如圖3）。

圖3 操作性意義和互換性意義共同應用的過程

1+1 的運算結果是2（因為有1+1，所以有 2），2+0的運算結果是2（因為有2+0，所以有2），0+2的運算結果是2（因為有0+2，所以有2），2=2（自反），所以2+0=0+2，經(jīng)過對稱交換，0+2=2+0、0+2=2，所以2=2+0，1+1和2+0的值相同，所以1+1=2+0，顯示了等價關系的傳遞性。

在小學階段，等號通常以在等式的末尾，后面只有一個數(shù)的形式出現(xiàn)。對于只含有數(shù)的“a+b=□”形式的式子，例如2+5=7，學生認為等號充當?shù)氖恰拔恢弥甘痉保ú僮餍砸饬x），這種想法是正確的。但是，對于等號兩邊都含有數(shù)的等式和含有未知數(shù)的等式（方程）來說，等號充當互換性符號的角色，只看重等號的操作性意義是不夠的。等式中，等號兩邊的表達式的值相等，滿足等價關系，等號就不能只是在等式的末尾出現(xiàn)?；氐轿恼麻_頭，根據(jù)學生所列出的（126-98）÷3=x這樣的“算術式方程”，可以明確學生并沒有接受“等號”由操作性到互換性的角色轉變，沒有靈活運用等號的不同意義，式子中的等號還只是充當運算符號，所列式子當然是不準確的。事實上，把x放在等號末端沒有實質(zhì)性意義。

小學數(shù)學教師要想傳授等號的等價關系意義，首先要做的就是培養(yǎng)學生關于等號的關系符號的意識。小小的等號不僅僅是一個指向運算結果的操作符號，同時也是表達等價關系的符號，甚至更傾向于表達多方的等價關系。教師在教學過程中應向學生滲透等號的互換性意義，引導學生意識到等號表示的是兩邊相等，而不只是指導他們計算結果和寫答案。

不管是通過“關系”思維對“等號”的多樣意義進行分析和歸類，還是認識“等號”的關系性意義，都分別進行了同中求異、異中求同的思維過程。同中求異，從相同中看到不同；異中求同，從不同中識別相同。利用數(shù)學中與等號相關的知識發(fā)展“關系”思維，就可以發(fā)展學生異中求同、同中求異的能力。比如用“關系”看待“平行”這個詞語。據(jù)《新華漢語詞典（在線）》所記載，“平行”的基本解釋為：平面上兩條直線、空間的兩個平面或空間的一條直線與一平面之間不相交時的關系?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》中的“圖形與幾何”部分規(guī)定了“平行線”的概念：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。在數(shù)學以外的語句中，也有平行思維，指從不同的方向尋求互不干擾、互不沖突的方法來解決問題的思路。物理領域中還有平行宇宙，指從某個宇宙中分離出來，與原宇宙平行存在著的既相似又不同的其他宇宙。雖然“平行”所處的領域、語境、描述對象等都不一樣，但是，通過異中求同就可以發(fā)現(xiàn)，這些“平行”都有相同的特性：描述事物雙方之間互不相交，它們之間的關系是平行的。學生學習平行線段的記憶點不在于兩條線一模一樣，而在于不管兩條線的粗線、大小、長短有多不一樣，只要它們永不相交，沒有公共點，那就滿足“平行”的條件，它與“相交”相對。凡此都體現(xiàn)出關系思維及其在數(shù)學理解中的重要性。