屈海軍，楊 森

（1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇徐州221011；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)材料學(xué)院，遼寧阜新123000）

在現(xiàn)代科技飛速發(fā)展的背景下，工業(yè)4.0越來(lái)越被人們所重視，工業(yè)機(jī)械化、自動(dòng)化的程度得到了不斷提升，給人們的工作和生活帶來(lái)便利［1］。機(jī)械臂作為當(dāng)下工業(yè)生產(chǎn)中重要的機(jī)械化與自動(dòng)化相結(jié)合設(shè)備，已被人們應(yīng)用于包含貨物搬運(yùn)、物流倉(cāng)儲(chǔ)以及設(shè)備制造等在內(nèi)的多個(gè)生活領(lǐng)域［2-3］。機(jī)械臂的廣泛應(yīng)用，減輕了人們的勞動(dòng)量，降低了人們?cè)诠ぷ髦械氖軅L(fēng)險(xiǎn)。隨著人們生活質(zhì)量的不斷提高，人們對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制的準(zhǔn)確度要求也越來(lái)越高，期望通過(guò)控制其運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)一些精密的工作［4］。對(duì)此，人們展開(kāi)了對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制的研究。

經(jīng)過(guò)研究，當(dāng)前出現(xiàn)了形式各異的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制方法。例如：Tenreiro 等［5］提出了一種基于分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階矩陣冪的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡控制方法，將控制信號(hào)解釋為沿軌跡規(guī)劃系統(tǒng)傳播的時(shí)空波，對(duì)其進(jìn)行控制。文獻(xiàn)［6］提出了一種tan型勢(shì)壘lyapunov 函數(shù)來(lái)處理時(shí)變和迭代變化的約束要求，采用迭代學(xué)習(xí)控制更新律來(lái)學(xué)習(xí)迭代不變系統(tǒng)的不確定性，并采用魯棒方法來(lái)補(bǔ)償?shù)蜁r(shí)變執(zhí)行器的故障和干擾，以控制運(yùn)動(dòng)軌跡。文獻(xiàn)［7］設(shè)計(jì)了一種中微子模糊PID控制器用于控制機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)t（真）、i（不確定性）和f（假）隸屬度函數(shù)確定先決變量的隸屬度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的控制。這些控制方法雖然能實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制，但在控制過(guò)程中的準(zhǔn)確度和平穩(wěn)度不高。

因此，本文在對(duì)冗余自由度機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析后，在二型隸屬函數(shù)的基礎(chǔ)上，定義了二型模糊集和區(qū)間二型模糊集，并利用其設(shè)計(jì)了區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)。通過(guò)區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)，構(gòu)造了區(qū)間二型模糊PID 控制器，利用遺傳算法選擇其參數(shù)，以對(duì)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)二型模糊遺傳控制器的控制效果，采用其對(duì)鋸齒和正弦目標(biāo)軌跡進(jìn)行跟蹤，通過(guò)觀察跟蹤軌跡分析其控制效果。

1 冗余自由度機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)分析

冗余自由度機(jī)械臂，是指具有比執(zhí)行給定任務(wù)所需的額外自由度的機(jī)械臂［8］。這種冗余自由度是執(zhí)行所需任務(wù)的一個(gè)重要特征，有助于提高其工作時(shí)的靈活度。圖1 為具有旋轉(zhuǎn)和棱柱冗余度的5自由度冗余機(jī)械臂結(jié)構(gòu)［9］。

圖1 具有旋轉(zhuǎn)和棱柱冗余度的5自由度冗余機(jī)械臂示意圖Fig.1 Schematic diagram of 5-DOF redundant manipulator having rotational and prismatic redundancy

從圖1 可見(jiàn)，5 自由度機(jī)械臂具有p-r-r-r-p結(jié)構(gòu)，即第 1 和第 5 關(guān)節(jié)為棱柱關(guān)節(jié)，而第 2、第 3 和第4 關(guān)節(jié)為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。棱柱關(guān)節(jié)沿垂直Z軸移動(dòng)，而旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)在X-Y（水平）平面內(nèi)移動(dòng)。這保證了機(jī)械臂在Z軸上的柔順性。

圖中，機(jī)械臂在Z軸和水平平面上都有額外的連桿，使其成為了具有額外自由度的機(jī)械臂，因此，其屬于冗余自由度機(jī)械臂的范疇；q1、q2、q3、q4、q5為位移d或角度θi（i=2，3，4）的廣義坐標(biāo)；l1、l2、l3、l4、l5為連桿長(zhǎng)度；lc1、lc2、lc3和lc4分別是從質(zhì)心到第 1、第2、第3 和第4 鏈路原點(diǎn)的長(zhǎng)度。5 自由度冗余機(jī)械臂的鏈路變換為［10］

式 中 ：s2=sinθ2；s23=sin(θ2+θ3)；s234=sin(θ2+θ3+θ4)；c2=cosθ2；c23=cos(θ2+θ3)；c234=cos(θ2+θ3+θ4)。

通過(guò)式（1）可得出冗余機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

基于能量守恒原理的拉格朗日方程，是推導(dǎo)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的一種常用方法。拉格朗日函數(shù)為

式中：拉格朗日函數(shù)值L為動(dòng)能與勢(shì)能P(q)之差。

為了確定機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，將拉格朗日函數(shù)代入歐拉-拉格朗日方程中可得

式中：qi為關(guān)節(jié)變量的廣義位移或角度矢量為關(guān)節(jié)變量的廣義速度矢量；τi為力或力矩的廣義矢量。

修正拉格朗日方程后，可得冗余度機(jī)械臂扭矩與連桿位置關(guān)系的動(dòng)力學(xué)模型

式中：τ為廣義力矢量；M（q）為慣性矩陣為與科里奧利力矢量有關(guān)的矩陣分別為關(guān)節(jié)位置矢量、速度矢量和加速度的分量；G（q）為重力矢量為關(guān)節(jié)摩擦力矢量。

2 二型模糊遺傳控制器的設(shè)計(jì)

式中：x為主變量；在每個(gè)x∈X處，u為Jx中的次變量，次隸屬函數(shù)的域?yàn)閤的主隸屬度；Jx為x的主隸屬度。

(x，u)為次隸屬度的振幅，(x，u)的支集可視為的不確定性足跡：

將FOU()用上隸屬函數(shù)(x，u)和下隸屬函數(shù)(x，u)為

嵌入?yún)^(qū)間二型模糊集為

區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)由模糊化器、規(guī)則、推理機(jī)、解模糊器和減速機(jī)多個(gè)模塊組成。在區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)中，輸入和輸出之間的映射可以表示為從精確輸入到精確輸出。

模糊化器用于將清晰的輸入轉(zhuǎn)換為0型、1型或區(qū)間二型模糊集。而在區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)中，有3種模糊化結(jié)果，即0型模糊化、1型模糊化和二型區(qū)間模糊化。通過(guò)模糊化器可將一個(gè)清晰的輸入信息x=（x1，x2，…，xp）T轉(zhuǎn)換為區(qū)間二型模糊集A~x。

區(qū)間二型模糊集A~x可視為多輸入單輸出量Ri的p維隸屬函數(shù)：

減速機(jī)是區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)輸出處理的重要部分。一般二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心計(jì)算較為困難，但區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)為了計(jì)算其質(zhì)心，提出了一種迭代方法。區(qū)間二型模糊集的質(zhì)心是區(qū)間一型模糊集，因此，計(jì)算質(zhì)心將得到兩個(gè)點(diǎn)，即左端點(diǎn)和右端點(diǎn)。

傳統(tǒng)的時(shí)域PID控制器可以描述為［12］

式中：kp、kd、ki分別為比例、微分、積分系數(shù)；e（t）為實(shí)際值與期望值之差。

傳統(tǒng)PID 控制器具有含3 個(gè)輸入和7 個(gè)隸屬函數(shù)的規(guī)則庫(kù)，可以得到7×7×7條規(guī)則［13］，即343。該規(guī)則庫(kù)相當(dāng)大，計(jì)算起來(lái)非常困難。因此，本文提出了如圖2所示的區(qū)間二型模糊PID控制器。

圖2 區(qū)間二型模糊PID控制器框圖Fig.2 Block diagram of interval two type fuzzy PID controller

由于高斯隸屬函數(shù)是光滑的、在所有點(diǎn)上都是非零的非線性函數(shù)，因此，選擇其作為區(qū)間二型模糊PID控制器的隸屬函數(shù)。誤差e、誤差變化ce和控制輸出cv，分別定義為期望關(guān)節(jié)矢量和實(shí)際生成關(guān)節(jié)矢量之間的差、誤差信號(hào)的導(dǎo)數(shù)和誤差信號(hào)的積分。e、ce和cv的話語(yǔ)域的最小值和最大值分別為－1和1。為了使控制器達(dá)到最佳性能，設(shè)計(jì)了如表1所示的規(guī)則庫(kù)，用于區(qū)間二型模糊PID控制器。

本系統(tǒng)涉及物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域，是指一種基于物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)的室內(nèi)微型健康環(huán)境監(jiān)測(cè)分析系統(tǒng)。系統(tǒng)采用物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)對(duì)房間內(nèi)外的溫度、甲醛傳感器、PM2.510數(shù)據(jù)進(jìn)行識(shí)別、記錄、存儲(chǔ)，并形成房間內(nèi)外環(huán)境數(shù)據(jù)分析報(bào)告和圖例，實(shí)時(shí)獲取居室環(huán)境情況。同時(shí)利用網(wǎng)絡(luò)物聯(lián)網(wǎng)服務(wù)器集數(shù)據(jù)采集、匯集為一體，可以獨(dú)立記錄單點(diǎn)居室數(shù)據(jù)，也可做為匯聚層收集多個(gè)居室，跨區(qū)域居室的數(shù)據(jù)，有效了解城市不同區(qū)域環(huán)境情況，提供環(huán)境大數(shù)據(jù)分析參考依據(jù)。未來(lái)還可以利用家居設(shè)備設(shè)施的智能化實(shí)現(xiàn)進(jìn)行實(shí)時(shí)管理居室環(huán)境。

表1 區(qū)間二型模糊PID控制器的規(guī)則庫(kù)Tab.1 Rule base of interval two type fuzzy PID controller

表1 中，用NB（負(fù)大）、NM（負(fù)中間值）、MS（負(fù)?。?、ZE（零）、PS（正?。?、PM（正中間值）和PB（正大）表示輸入輸出隸屬度函數(shù)。

從圖2 可見(jiàn)，區(qū)間二型模糊PID 控制器可視為一個(gè)關(guān)于三輸入的函數(shù)：

式中：Se、Sce、Scv為比例因子，初始值可通過(guò)遺傳算法獲取。

遺傳算法是一種模擬人類基因進(jìn)化的方法，其通過(guò)選擇、交叉、變異3個(gè)過(guò)程來(lái)獲取最優(yōu)解［14］。

在選擇階段，個(gè)體i被選中的計(jì)算過(guò)程為

式中：fi為個(gè)體i的適應(yīng)度值；n為種群中的個(gè)體總數(shù)。

完成交叉階段后，遺傳算法便進(jìn)入變異階段。在變異階段通過(guò)計(jì)算變異概率px來(lái)提高其搜索能力，以獲取最優(yōu)解：

式中：m為（0，1）間的任意數(shù)；fmax、fx分別為最大適度值和變異個(gè)體x的適度值。

將區(qū)間二型模糊PID 控制器的比例因子視為遺傳算法的初始群體，接著通過(guò)遺傳算法的選擇、交叉和變異3個(gè)階段，便可獲取最優(yōu)值。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用Matlab/Simulink 作為仿真環(huán)境，對(duì)本文所設(shè)計(jì)的二型模糊遺傳控制器（Two Type Fuzzy Genetic Controlle，TTFGC）及傳統(tǒng) PID 控制器（Traditional PID Controller，TPIDC）進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，以對(duì)TTFGC的控制性能進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 鋸齒軌跡跟蹤

利用TPIDC 和TTFGC 對(duì)鋸齒軌跡進(jìn)行跟蹤實(shí)驗(yàn)，通過(guò)觀察其跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，評(píng)價(jià)其對(duì)目標(biāo)軌跡的跟蹤效果。TPIDC 和TTFGC 對(duì)鋸齒軌跡跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同方法對(duì)鋸齒軌跡跟蹤的結(jié)果Fig.3 Results of different methods for tracking sawtooth trajectory

通過(guò)觀察圖3（a）和圖3（c）可見(jiàn)，TPIDC 和TTFGC 對(duì)鋸齒軌跡的跟蹤結(jié)果都還好。通過(guò)對(duì)比圖3（b）和圖3（d）可以發(fā)現(xiàn)：TTFGC 對(duì)鋸齒軌跡跟蹤的局部誤差比TPIDC 對(duì)鋸齒軌跡跟蹤的局部誤差?。欢以谡麄€(gè)局部誤差的觀察過(guò)程中，TPIDC對(duì)鋸齒軌跡跟蹤的局部誤差，比較TTFGC對(duì)鋸齒軌跡跟蹤的局部誤差超調(diào)次數(shù)多，波動(dòng)幅度也較大。在TPIDC 和TTFGC 對(duì)鋸齒軌跡跟蹤的局部誤差中，其最大偏差分別為8.18 mm和2.21 mm?？梢?jiàn)，TTFGC 對(duì)鋸齒軌跡的跟蹤效果比TPIDC 的跟蹤效果好，整個(gè)跟蹤過(guò)程更為穩(wěn)定和準(zhǔn)確。

3.2 正弦軌跡跟蹤

TPIDC 和TTFGC 對(duì)正弦軌跡的跟蹤結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同方法對(duì)正弦軌跡跟蹤的結(jié)果Fig.4 Results of different methods for tracking sinusoidal trajectory

對(duì)比兩種方法對(duì)正弦軌跡的跟蹤結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，其均能跟蹤目標(biāo)軌跡。但對(duì)各方法跟蹤軌跡的局部誤差進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，TTFGC 的跟蹤誤差比TPIDC 的跟蹤誤差更小，而且誤差的波動(dòng)程度也更小。在局部誤差的觀測(cè)時(shí)間內(nèi)，TTFGC 的最大誤差為4.98 mm，TPIDC的最大誤差為8.64 mm。由此表明，TTFGC 能準(zhǔn)確地跟蹤正弦目標(biāo)軌跡，而且跟蹤誤差較小，跟蹤過(guò)程較為平穩(wěn)。說(shuō)明TTFGC 能夠?qū)θ哂嘧杂啥葯C(jī)械臂進(jìn)行更好的運(yùn)動(dòng)控制。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)5 自由度冗余機(jī)械臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，明確5 自由度冗余機(jī)械臂的鏈路變換過(guò)程，得出冗余機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，進(jìn)而建立冗余度機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)二型模糊集及區(qū)間二型模糊集進(jìn)行了定義，并在此基礎(chǔ)上建立區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)。以區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)為依據(jù)，構(gòu)建了區(qū)間二型模糊PID 控制器，并利用遺傳算法選擇參數(shù)，用以對(duì)冗余自由度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行控制。通過(guò)二型模糊遺傳控制器對(duì)鋸齒目標(biāo)軌跡以及正弦目標(biāo)軌跡的跟蹤結(jié)果表明：其能夠控制冗余自由度機(jī)械臂較為準(zhǔn)確、平穩(wěn)地按照期望軌跡運(yùn)動(dòng)。