江蘇省鎮(zhèn)江中學(212017) 寧 成

河北省和縣第一中學(054400) 景瑞強

波利亞曾說過“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘問題的各方面,使得通過這道題就像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域”.課本是學生學習的生長點, 也是考試的重要來源.蘇教版高中數(shù)學課程教科書第4 版必修2 第106 頁有這樣一道習題:

已知直線l與直線l1:2x?y+2=0 和l1:2x?y+4=0的距離相等,求直線l的方程.

題目不難, 可以這樣去求解.顯然l1//l2, 所以l//l1//l2, 設直線l的方程為2x ?y+λ= 0, 由題意可得:所以直線l的方程為2x ?y+ 1 = 0.此問題可推廣到一般形式: 若已知直線l與直線l1:Ax+By+C1= 0 和l2:Ax+By+C2= 0(C1/=C2) 的距離相等, 不難得出直線l的方程為Ax+By+

對于這類問題, 到兩條平行線距離相等的直線, 也就是兩條直線的中間位置(對稱軸), 實際上就是x,y系數(shù)不變, 常數(shù)項恰為兩條直線常數(shù)項的平均數(shù).或者說, 這條直線恰好是兩條直線“求和”2Ax+2By+C1+C2= 0, 即Ax+By+

解完后,筆者腦海中一次浮現(xiàn)一個疑問,如果兩條直線不平行,那么兩條直線“相加”或者“相減”會得到什么樣的情況呢? 是否是兩條相交直線的對稱軸呢?

以直線l1: 2x ?y ?3 = 0 和l2:x ?6y+5 = 0 為例,兩直線“相加”得到3x ?5y+2 = 0,通過GGB 軟件觀察似乎不是期望的角平分線,得到是過直線l1和l2交點的某一條直線.事實上,如果我們單純的讓直線“相加”,得到的是2x ?y ?3+λ(x ?6y+5)=0,也就是相交直線系方程嘛!

那么也就是說, 直線3x ?5y+ 2 = 0 是過直線l1: 2x ?y ?3 = 0 和l2:x ?6y+ 5 = 0 的交點沒有錯,但是由直線l1和l2中x,y的系數(shù)確定的.

接下來, 筆者嘗試通過直線中x,y的系數(shù)來研究這三條直線什么關系? 顯然, 我們可通過直線方程中x,y的系數(shù)確定出直線的法向量! 我們知道若直線的方程為Ax+By+C=0,其中A,B不同時為0,則向量a=(B,?A)是直線的一個方向向量,n=(A,B)是直線的一個法向量.

例設點P(x0,y0)是直線上一點,且直線的一個法向量為n=(A,B),求直線的方程.

解: 設直線上任一點M(x,y),則由于即A(x ?x0)+B(y ?y0)=0,整理可得Ax+By+(?Ax0?By0)=0.

我們可以利用直線的法向量可以輕松驗證兩不重合的直線平行重合的充要條件:l1:A1x+B1y+C1= 0,法向量n1= (A1,B1),l2:A2x+B2y+C2= 0, 法向量n2=(A2,B2)

接下來, 借助于直線的法向量來理解直線“相加”,以直線l1: 2x+y ?3 = 0的法向量是n1= (2,1) 和l2:x ?6y+ 5 = 0 的法向量是n2= (1,?6)為例,直線3x ?5y+2 = 0 的法向量是n=n1+n2=(2+1,1?6)=(3,?5),如圖.

顯然,我們得到兩條直線l1和l2“相加”后得到的直線的“意義”,即過l1和l2的交點,且法向量是l1和l2的法向量的和向量! 推廣到一般形式:l1:A1x+B1y+C1= 0,法向量n1=(A1,B1),l2:A2x+B2y+C2=0,法向量n2=(A2,B2)直線l:(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)=0,法向量n=(A1+A2,B1+B2)=n1+n2.

顯然,直線l過直線l1和l2的交點.再此可以設想,如果改變直線的法向量,使得兩條直線法向量的模相等,那么這兩個向量的和恰好平分向量的夾角!

于是操作:l1: 2x+y ?3 = 0 的法向量是n1= (2,1),|n1|=√l2:x ?6y+ 5 = 0 的 法 向量是n2= (1,?6),|n2|=所以改直線l1方程為l1:= 0, 法向量是n1=

同理改直線l2方程為l2:法向量是n2=顯然|n1|=|n2|, 我們令兩直線方程“相加”, 得到直線如圖.

因為考慮兩直線的法向量模較大, 為了追求視覺效果,我們再次修改直線,直線l1:2x+y?3=0 的法向量是n1=直線l2方程為0, 法向量是兩直線方程“相加”,得到直線法向量是如下圖(左),同樣,我們借助于向量減法的意義,可以得到兩條直線“相減”仍可以得到直線l1:2x+y ?3=0 和l2:x ?6y+5=0 的一個角平分線所在的直線如下圖(右)示.以下我們證明這一結論.

先證明一個簡單結論:兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 0,且A21+B21=A22+B22,即兩直線的法向量的模相等,|n1|=|n2|.則兩直線的角平分線,即對稱軸為(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2) = 0 和(A1?A2)x+(B1?B2)y+(C1?C2)=0.

證明: 設(x,y) 是直線l1和l2角平分線的任意一點, 由角平分線上的點到角兩邊的距離相等, 所以因為所以|A1x+B1y+C1|=|A2x+B2y+C2|, 即A1x+B1y+C1=±(A2x+B2y+C2), 此即為直線(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)=0 和(A1?A2)x+(B1?B2)y+(C1?C2)=0,得證.

對于一般情況, 兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 0, 我們取λ=得到兩直線新的方程l1:A1x+B1y+C1= 0,l2:λA2x+λB2y+λC2= 0,顯然(λA2)2+(λB2)2=即兩直線的法向量的模相等, 由以上結論可得, 兩直線的角平分線, 即對稱軸為(A1+λA2)x+ (B1+λB2)y+ (C1+λC2) = 0 和(A1?λA2)x+(B1?λB2)y+(C1?λC2)=0.

對于求夾角的角平分線直線方程, 只需根據(jù)實際情況(位置或者斜率),取舍即可!

我們再來看一道題目:

例1 已知ΔABC的三邊所所在直線的方程分別為lAB: 4x ?3y+ 10 = 0,lBC: 12x+ 5y ?15 = 0,lAC: 5x ?12y ?5 = 0,求ΔABC內角角平分線所在直線的方程.

求兩直線的角平分線,實際上就是兩直線的對稱軸,由此聯(lián)系,能否用這種方法解決一條直線關于另一條直線的對稱直線呢? 先通過一道具體題目來看:

例2求直線2x+y?4=0 關于直線AB:3x+4y?1=0 對稱的直線l的方程.

解: 設直線l的方程為Ax+By+C= 0, 不妨設A2+B2= 22+ 12= 5, 所以有(2± A)x+ (1±B)y+ (?4± C) =m(3x+ 4y ?1),m /= 0.不妨設(2+A)x+(1+B)y+(?4+C)=m(3x+4y ?1).

上式對?x,y ∈R 恒成立,則有2+A=3m,1+B=4m,?4+C=?m,解得A=3m?2,B=4m?1.由A2+B2=22+12= 5,即A2+B2= (3m ?2)2+(4m ?1)2= 5?或0(舍),所以,所以直線l方程為=0,即2x+11y+16=0.

以上方法推廣到一般形式:

求直線A1x+B1y+C1=0 關于直線Ax+By+C=0對稱的直線l的方程.

解: 設直線的方程為A2x+B2y+C2= 0 , 不妨設所以有:(A1±A2)x+(B1±B2)y+(C1±C2)=m(Ax+By+C),m/=0,不失一般性.取(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)=m(Ax+By+C),對?x,y ∈R 恒成立,則有A1+A2=mA,B1+B2=mB,C1+C2=mC,解得A2=mA?A1,B2=mB?B1,由即= (mA ?A1)2+(mB ?B1)2,即(A2+B2)m2?2(A1A2+B1B2)m+所以m=或0(舍) , ∴所求直線方程為(mA ?A1)x+ (mB ?B1)y+ (mC ?C1) = 0, 其中m=

中學數(shù)學教材中的例(習)題凝聚了幾代專家、學者的集體智慧和結晶,看似平淡無奇的課后習題,往往隱藏著深遠的研究意義,也是包括高中在內的大型考試理論源頭,深入研究,往往有著意想不到的.從全方位、多角度對這些習題的探究,讓我們變中求進、進中求通,通中求簡,開闊視野,拓展思維,從而跳出“題海”、觸類旁通,進入一個嶄新的天地.

以上是筆者對直線“相加”、“相減”分析的淺顯的思考,與讀者交流.