廣東省中山市遠洋學校(528403) 陳曉明

廣東省中山市民眾中學(528441) 楊良畏

1 教學困惑分析

有理數(shù)乘法難教原因就是說不清楚“負負得正”這個法則,或者說生活中沒有較好的情境去解說這個法則.人教版教材曾嘗試用“蝸牛爬行”的情境,一只蝸牛沿直線爬行,它現(xiàn)在的位置恰好在l上的點O.如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向右(左)爬行,3 分鐘后(前)它在什么位置.顯然,對于剛上初一的學生來說,要理解這個情境是很困難的,第一種方式本質(zhì)上是用一個有理數(shù)知識建模解決實際問題的過程,涉及到時空因素,而且“時”包括未來、現(xiàn)在和過去,“空”包括左右兩個方向, 這種情境對于初一學生來說很復雜,對抽象思維能力要求較高,反而對學習造成干擾.

在教學中, 很多教師為了讓學生發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘法法則,創(chuàng)設了生活化的數(shù)學情境, 作為一面旗幟來引導學生學習法則.筆者在教學前也詢問了許多有經(jīng)驗的教師, 如何處理這個問題? 大多數(shù)教師都不能很好的用引例說明這個問題, 即便能舉出個例子勉強說明負數(shù)乘正數(shù)和正數(shù)乘負數(shù)的例子, 但負數(shù)乘負數(shù)這個就沒有較好生活實例能夠解釋清楚, 至少不是那么容易讓學生理解.“負負得正”的教學是“世界性難題”, 能夠把它說清楚確實很困難.史寧中教授在文獻[1] 中提出: 從“任何數(shù)與零相乘均等于零”出發(fā), 推算如下: 0 = (?1)×0 = (?1)×[(?1) + (+1)] =(?1)×(?1)+(?1)×(+1)=(?1)×(?1)+(?1).

第三個等號是用到了乘法的分配律, 第四個等號是負數(shù)乘正數(shù), 根據(jù)小學規(guī)定乘法是數(shù)自身連加的縮寫類比得到.從減法定義可知, 只有(?1)+(+1) 才能等于0, 所以,(?1)×(?1) = +1.但是,我們知道乘法分配律應該是在乘法法則之后才加以擴充學習的,以前小學只是非負數(shù)的基礎上學習乘法分配律,所以這種教法也是有瑕疵的.但這種想法給予我們一種思考,那就是若按照這種思路走下去,我們規(guī)定的“負負得正”它是合理的,這種創(chuàng)造使得乘法運算從自然數(shù)集拓展到有理數(shù)集,不僅保持運算結果的統(tǒng)一性,還保留了相應的乘法交換律、結合律和乘法對加法的分配律.實際上,符號法則“負負得正”是一種數(shù)學創(chuàng)造,為的是在保持數(shù)學算術運算律的條件下使運算能和諧自如,它是不能“證明”的.在數(shù)學發(fā)展史上,經(jīng)過很長一段時間數(shù)學家才認識到這一點.負數(shù)的乘法運算,尤其是負數(shù)與負數(shù),是超越經(jīng)驗的,用任何具體的例子來解釋都有很大的局限性.因此,我們教師只需要簡單的說明這種法則是合理的,這是一種規(guī)定性的結果.基于此, 很多教材舍棄了這種“勻速直線運動狀況分析”情境教學模式,選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”.現(xiàn)在最新版的人教版教材就是采用歸納推理教學模式,舍棄以前的“蝸牛爬行”情境教學模式.

2 人教版教材處理有理數(shù)乘法解析

最新人教版教材舍棄“勻速直線運動狀況分析”情境教學模式,選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”.對于這種取舍,筆者認為教材編委也是經(jīng)過深思熟慮的,讀者不難發(fā)現(xiàn)人教版最新教材, 從有理數(shù)的概念到運算法則和運算律,始終堅持“歸納式”呈現(xiàn)內(nèi)容.這樣做的目的,主要是為了體現(xiàn)以數(shù)學知識發(fā)展過程為載體進行“思維的教學”這一數(shù)學課程的核心任務,使學生在學習過程中,不僅學會知識,而且受到研究問題的思想方法訓練, 從而培養(yǎng)學生的思維能力,逐步發(fā)展獨立解決問題的能力.

教材在處理有理數(shù)乘法之前就已經(jīng)釋放出信息, 讓學生對數(shù)學乘法有初步了解.在學習有理數(shù)加減法后,人教版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上冊第26 頁習題1.3 第12 題: 計算(?2) + (?2), (?2) + (?2) + (?2),(?2)+(?2)+(?2)+(?2),(?2)+(?2)+(?2)+(?2)+(?2).

猜想下列各式的值: (?2)×2,(?2)×3,(?2)×4,(?2)×5.你能進一步猜想出負數(shù)乘正數(shù)的法則嗎?

初一學生在小學就已經(jīng)學過,求幾個相同加數(shù)的和用乘法.沿用這個規(guī)定,(?2)+(?2)就可以記作(?2)×2 這是根據(jù)已學經(jīng)驗,用具體到抽象的方法,猜想乘法法則.這道習題的設置,讓學生提前了解了乘法法則,雖然是一部分,但可以讓學生很容易理解“負數(shù)乘正數(shù)”這一法則.但筆者對這道題目有一些看法,筆者認為這道題目應當舍去.這是基于教材后面的編寫考慮的.

首先,這道題目會干擾我們后續(xù)有理數(shù)乘法的教學,教材對有理數(shù)乘法教學的處理是采用歸納推理的教學方法.教材構建了如下歸納過程:

觀察3×3 = 9,2×3 = 6,1×3 = 3,0×3 = 0 說規(guī)律(隨著前一個乘數(shù)逐次減1,乘積逐次遞減3).以問題“要使這個規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立,那么應有(?1)×3=____,(?2)×3 =____,(?3)×3 =____”引導學生歸納.學生可能沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律之前就已經(jīng)根據(jù)前面習題提供的經(jīng)驗,直接作出了答案.這樣就不利于我們教學設想,會打亂我們教學節(jié)奏,更不利于后面“負數(shù)乘負數(shù)”歸納教學.

其次,在這道習題里面,很容易讓學生得出2×(?2)結果,其實很多教師在習題講解時,根據(jù)乘法的交換律得出了“正數(shù)乘負數(shù)”這一有理數(shù)運算法則,也破壞了后面的有理數(shù)乘法歸納探索過程.其實,這種心急的教法也是不妥當?shù)?因為有理數(shù)乘法交換律是在有理數(shù)乘法之后.

這道題習題的存在, 確實對于我們后續(xù)教學有點影響,筆者認為編者將這道題放置在有理數(shù)加減法習題后的原因就是為了讓學生提前了解有理數(shù)乘法法則,但這應該是基于后面有理數(shù)乘法法則教學探討方式是“蝸牛爬行”的“勻速直線運動狀況分析”情境教學模式,這道習題可以幫助學生理解這種教學模式,但是在新編教材選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”教學模式下,沒有起到積極作用,反而干擾了后續(xù)有理數(shù)乘法歸納探索教學.筆者認為若舍棄“勻速直線運動狀況分析”情境教學模式,最好也將這道習題舍去,不必讓學生提前了解到有理數(shù)乘法法則,保持一點神秘感,更有利于我們后續(xù)教學,也有利于學生歸納推理能力的培養(yǎng).

3 有理數(shù)乘法的進一步思考

教師能夠?qū)⒂欣頂?shù)乘法中“負數(shù)乘負數(shù)”講清楚,是非常厲害的.筆者聽過很多教師講解“負負得正”的教學,大多數(shù)老師仍舊是采用“蝸牛爬行”的情境教學,即使現(xiàn)在教材舍去了這種教學情境,但許多老教師還是采用這種方式教學.筆者認為他們也是無奈之舉,有其他教師來聽課,不設置一點情境來講解新課,有點不接地氣,而且前面有理數(shù)加減法也是這種教學情境,視覺上學生方便理解.有一部分老師抱著這樣心理,不管學生是否理解這種情境方式,只要后面會用乘法法則解決問題就行.確實,有理數(shù)乘法法則能夠講清楚是很困難的,但是學生用起來卻一點都不陌生;有理數(shù)加減法教起來很容易,但做題時,學生很容易弄錯符號,尤其是加減混合運算時候.

文獻[2] 提出區(qū)別于教材的教法, 在自然數(shù)集上, 乘數(shù)是數(shù)自身連加的縮寫.對于“乘數(shù)是負數(shù)”情形, 從負數(shù)的意義入手, 負數(shù)與正數(shù)表示相反意義的量, 乘數(shù)為正數(shù)時表示“有理數(shù)自身的連加”, 那么乘數(shù)為負數(shù)時就可以表示“被乘數(shù)自身的連減”.如4×(?3)表示3 個4 連減, 即4×(?3) =?4?4?4 =?12;(?4)×(?3)表示3 個?4連減, 即(?4)×(?3) =?(?4)?(?4)?(?4) = 12 這種解釋也讓人眼前一亮,確實是比較好的一種解釋,這種理解是基于“正數(shù)和負數(shù)表示相反意義的量”的理解.但是這種解釋是不符合數(shù)學運算定義的法則.這種定義是不嚴謹?shù)?n個數(shù)定義一種運算, 只需(n ?1)運算符號連接起來.如a×a×b×n×e×y這6 個字母相乘, 只用5 個“×”, 而不是文獻中的×a×a×b×n×e×y這種情形,而且這種表達是錯誤的, 再如后續(xù)學習的微積分運算符號是不能隨意將“∫”置前.基于此, 4×(?3) 表示3 個4 連減, 應當是4×(?3)=4?4?4 若表示4×(?3)=?4?4?4 則第一數(shù)應表示的是“負4”而不是“減4”.就算這種解釋牽強通過,但對于初一學生來說是非常抽象和混亂的,尤其的運算符號和正負號的混亂.所以,筆者不建議這種方式去進行教學,若真的進行這種教學,筆者認為不一定有學生能夠像文中作者所說那樣,學生能夠理解和發(fā)現(xiàn)這種算法,筆者認為這是難度很高的,一線教師應該清楚這一點.

筆者在觀摩有理數(shù)乘法教學時, 發(fā)現(xiàn)有很多教師, 選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”這一教學模式.新教師基本也是采用歸納法進行引入教學.筆者在這里發(fā)現(xiàn)一個有趣的教學現(xiàn)象, 當執(zhí)教教師將觀察算式展示如下: (?3)×3 =____, (?3)×2 =____, (?3)×1 =____,(?3)×0 =____,(?3)×(?1) =____,(?3)×(?2) =____,(?3)×(?3)=____.

學生不僅回答了前面4 個式子的答案,而且也回答了后面3 個式子的答案.教師問學生是如何知道答案的,學生的回答出乎意料,又在意料之中,學生說是根據(jù)“負負得正”得到后面三個式子的答案,因為很多學生在預習課本后或者在輔導班培訓后早就知道了有理數(shù)的乘法法則.這種教學方式就會顯得尷尬,沒有按照老師的問題設計意圖走,這也是很多新教師遇到的尷尬情境,尤其是在公開課時候會影響課堂效果.其實,這種錯誤并不能怪我們學生先知先覺有理數(shù)乘法法則,我們常說教師是導演,學生演的方向錯誤,基本上是我們教師導的問題.若稍微改變一下,效果就不一樣,學生思路肯定會按照我們問題設計意圖走.

4 有理數(shù)乘法法則歸納推理教學細節(jié)處理

下面構建如下課堂歸納過程:

展示3×3 = 9,2×3 = 6,1×3 = 3,0×3 = 0,后面的式子千萬不要展示出來,如果展示出來,學生很有可能就不會按照教師思路走,很有可能根據(jù)有理數(shù)乘法法則說出答案,這是我們不希望聽到的,此時教師要體現(xiàn)導演的作用,引導學生按照我們提供的方向走,讓學生觀察式子,說規(guī)律(隨著前一個乘數(shù)逐次減1,乘積逐次遞減3).當學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,教師再展示(?1)×3 =____,要使這個規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立,那么(?1)×3 =?3 就順其自然出來了,注意以設問方式進行,引導學生歸納得出結果.順著這個思路,應有(?1)×3=?3,(?2)×3=?6,(?3)×3=?9.

同樣的方式處理“負數(shù)乘正數(shù)”后,指出:“從算式左右各數(shù)的符號和絕對值兩個角度觀察上述算式,可以歸納: 正數(shù)乘正數(shù),積為正數(shù);正數(shù)乘負數(shù),積是負數(shù);負數(shù)乘正數(shù),積是負數(shù).積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.”這其實同之前有理數(shù)加減法類似,先確定符號,然后再確定結果的絕對值.

利用上面歸納的結論計算下面的算式: (?3)×3=____,(?3)×2=____,(?3)×1=____,(?3)×0=____,此時有一個關鍵點,如前面一樣,不要急于展示式子(?3)×(?1)=____,(?3)×(?2) =____, (?3)×(?3) =____, 否則學生會按照他的“負負得正”立馬給出答案.教師應當引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,再一個一個的千呼萬喚始出來,最后引導學生歸納: 負數(shù)乘負數(shù),積為正數(shù),乘積的絕對值等于各數(shù)絕對值的乘積.

這樣做的目的就是阻止學生根據(jù)前面習題提供的經(jīng)驗,以防直接作出了答案.這樣利于我們教學設想,學生會按照我們教學節(jié)奏,層層遞進,最終歸納發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘法法則.