江蘇省南京市板橋中學(210039) 紀明亮

幾何是初中數(shù)學的重點和難點,有的時候為一道幾何題苦思冥想很久還是無法解答,有時為一道幾何題能巧妙的作出一種輔助線使問題解決而感到欣喜若狂,那么幾何題究竟為何這樣難以駕馭? 其實幾何題看似變幻莫測,但每道題都是有章可循的,可從中抽象出基本模型,抓住基本模型就可以抓住幾何題的本質,方能以不變應萬變,“十字”模型就是一類重要的幾何模型,但此種幾何模型的研究并不多,本文對“十字”模型做了一些思考和研究,并將思考和研究的結果與大家分享.

1 模型分析

(1)正方形中“十字”模型1

如圖1, 在正方形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、CD、BC、AD上的點, 若EF⊥GH于點O, 結論:EF=GH.

證明: 如圖1, 過點E、G分別作EN⊥CD、GM⊥AD于N、M, 則∠ENF= ∠GMH= 90°,EN⊥GM于點P,EN=GM則∠EPG= 90°.由EF⊥GH于點O, 則∠EOG= 90°.由∠EPG+∠NEF= ∠MGH+∠EOG,則∠NEF= ∠MGH, 故ΔEFN∽= ΔGHM(ASA), 則EF=GH.

圖1

圖2

(2)正方形中“十字”模型2

如圖2, 在正方形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、CD、AB、BC上的點, 若EF⊥GH于點P, 結論:

證明: 過點F作FQ⊥AB于Q, 則∠EQF= 90°, 則∠EQF= ∠B, 由EF⊥GH于點P, 則∠GPE= 90°, 則∠GPE= ∠B, ∠QEF+ ∠EGP= ∠BHG+ ∠EGP則∠QEF= ∠BHG, 故ΔQEF∽ΔBHG, 則即

(3)矩形中“十字”模型

如圖3, 在長方形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、CD、BC、AD上的點, 若EF⊥GH于點O, 結論:

證明: 如圖3, 過點E、G分別作EN⊥CD、GM⊥AD于N、M,則∠ENF= ∠GMH= 90°,EN⊥GM于點P,則∠EPG= 90°, 由EF⊥GH于點O, 則∠EOG= 90°,由∠EPG+ ∠NEF= ∠MGH+ ∠EOG, 則∠NEF=∠MGH,故ΔEFN∽ΔGHM,則

圖3

圖4

“十字”模型是以線段“垂直”為基礎,在正方形、矩形里構建直角三角形,再借助“垂直”關系證明所構建的直角三角形全等或相似得到相應的邊之間的數(shù)量關系,這是對“垂直”這一條件作用的升華,使其在解題中發(fā)揮更大作用.那么什么題目符合“十字”模型?“十字”模型在解題中的關鍵作用是什么? 下面通過幾道題目回答這兩個問題.

2 模型應用

題1如圖4, 在等腰RtΔABC中, ∠ACB= 90°,AC=BC= 4, 點D是BC中點,CE⊥AD于點F, 交AB于點E,求CE的長.

分析: 因為CE⊥AD于點F,且ΔABC是等腰直角三角形,這是正方形中的“十字”模型1,可根據此模型作輔助線構建圖形解題.

圖5

解如圖5, 以CA、CB為鄰邊構造正方形ACBG,延長CE交BG于點H.由四邊形ACBG是正方形,則∠ACD= ∠CBH= 90°,AC//BG,由BC=4,點D是BC中點, 則CD= 2.在RtΔACD中根據勾股定理, 可得AD=由CE⊥AD于點F,則∠AFD= 90°,則∠CAD+∠ACF=90°, 由∠ACF+ ∠BCH= 90°, 則∠CAD= ∠BCH,再 由AC=CB, 故RtΔACD∽= RtΔCBH(ASA), 則CH=AD=BH=CD= 2(“十字”模型) .由AC//BG,故ΔACE∽ΔBHE,則則即CE=

點評: 幾何計算一般采用勾股定理(建方程)、三角形相似、三角函數(shù)、等積法等方法, 而題中CE不在直角三角形中,則不能直接用勾股定理和三角函數(shù)求解,其所在三角形在原圖中也很難找到與之相似的三角形,等積法也很難行得通,這就需要作輔助線,那么輔助線如何作? 這里“CE⊥AD于點F,且ΔABC是等腰直角三角形”就是突破口,這是正方形中“十字”模型1 的典型特征,由此引領本題如何作輔助線構建圖形解題.

變式1如圖6, 在等腰RtΔABC中, ∠ACB= 90°,AC=BC= 4, 點D、M分別是BC、AC上的點, 且滿足BD=CM= 1,CE⊥DM于點F,交AB于點E,求CE的長.

分析: 因為“CE⊥DM于點F,且ΔABC是等腰直角三角形,點D、M分別是BC、AC上的點”,這是正方形中的“十字”模型2,可根據此模型構建圖形解題.

圖6

圖7

解如圖7, 以CA、CB為鄰邊構造正方形ACBG,并延長CE交BG于點H.由四邊形ACBG是正方形, 則∠ACB= ∠CAG= 90°,BC//AG, 由BC= 4,BD= 1, 則CD= 3, 在RtΔCDM中 根 據 勾 股定 理得DM=由CE⊥DM于點F, 則∠CFD= 90°, 則∠CDF+ ∠FCD= 90°, 并由∠FCD+ ∠ACH= 90°, 可得∠ACH= ∠CDF, 故ΔACH∽ΔCDM, 則可 得CH=由BC//AG,故ΔBEC∽ ΔAEH, 則= 3, 則

點評: 本題情況和題1 類似,CE的長度很難求出,需要作輔助線,構建圖形.同樣這里“CE⊥AD于點F,且ΔABC是等腰直角三角形”,顯然這是正方形中“十字”模型,通過構造出正方形,發(fā)現(xiàn)這是正方形中的“十字”模型2,根據這個模型,將所求線段化歸到三角形中利用相似關系求出.

變式2如圖6, 在等腰RtΔABC中, ∠ACB= 90°,AC=BC=4,點D在BC上的點(不與點B、C重合),點M在AC邊上,滿足BD=CM,CE⊥DM于點F,交AB于點E,求的值.

分析: 因為CE⊥DM于點F,且ΔABC是等腰直角三角形,這是正方形中的“十字”模型2,可根據此模型構圖解題.

解如圖7, 以CA、CB為鄰邊構造正方形ACBG,延長CE交BG于點H.由四邊形ACBG是正方形, 則∠ACB= ∠CAG= 90°,且BC//AG.設BD=CM=x,由BC= 4,則CD= 4?x,在RtΔCDM中根據勾股定理得DM=由CE⊥DM于點F,則∠CFD= 90°,則∠CDF+∠FCD= 90°,再由∠FCD+∠ACH=90°,則∠ACH=∠CDF,故ΔACH∽ΔCDM, 則即則CH=由BC//AG, 故ΔBEC∽ ΔAEH, 則即, 則CE=

點評: 本題是變式1 當中問題的一般化,D、M都是動點,但任滿足BD=CM,從變式1 可以發(fā)現(xiàn)CE=DM,那么本題中關鍵就是求出CE、DM的數(shù)量關系,如果僅從原有圖形思考很難有所進展,顯然要作輔助線構圖,這與變式1的模型相同,也是正方形中的“十字”模型2,可根據此模型構建圖形,由于D、M都是動點,可設BD=CM=x,便于求出CE、DM的數(shù)量關系,解決問題.

變式3如圖8,在ΔABC中,AB=AC,∠ABC=60°,點D在AB邊上(不與點A、B重合),點E在AC邊上,滿足CE=AD,過點A作AH⊥DE于點F,交BC于點H,求值.

分析: 因為“點D在AB邊上(不與點A、B重合),點E在AC邊上AH⊥DE于點F,且ΔABC是等邊三角形,”,這是矩形中“十字”模型,可根據此模型將問題劃歸到矩形中借助矩形中“十字”模型來解決問題.

圖8

圖9

解如圖9, 以BC為邊, 點A對邊上一點構造矩形BCSR, 延長DE交BE、CR于M、P, 過點M, 作MN⊥CS于點N, 在CS上取點Q, 使EP=EQ, 過點A作AG⊥BC于點G.由于AG⊥BC于點G, 則AG⊥MN, 則∠OMN= ∠OAF, 由于MN⊥CS于點N,則∠MNP= 90°, 則∠MNP= ∠AGH, 則ΔMNP∽ΔAGH, 則由AG//CS, 則∠AOD= ∠EPQ.由EP=EQ,則∠EPQ= ∠EQP,則∠AOD= ∠EQP.由∠DAO= ∠ECQ= 30°,AD=CE,故ΔDAO∽= ΔECQ(AAS),則OD=EQ,則OD=EP.由OM=OP,則OD+MD=OE+EP,即MD=OE,則MD+EP=OD+OE, 則DE=

點評: 本題和變式2 類似,也是動點問題中求邊的比值,直接求非常困難, 因此要依托于圖形, 而點D在AB邊上(不與點A、B重合),點E在AC邊上AH⊥DE于點F,且ΔABC是等邊三角形,這是矩形中“十字”模型,則根據此模型構造出矩形和直角三角形,再根據圖形關系求出值.

3 結語

在解題中模型的作用實際上是解題思路的引領,每一種模型都可以推導出確定的結果,借助模型能更好的發(fā)現(xiàn)題目中的規(guī)律, 能透過現(xiàn)象看本質.在幾何問題中有的條件(圖形)給的非常隱晦,很難明白其用意,不知如何轉化,那么問題就難以解決,像以上四道題,每道題都給了“垂直”,而“垂直”是“十字”模型的必要條件,這樣可以試用“十字”模型構建圖形,通過“十字”模型引領輔助線作法,巧妙構圖,化難為易,將四道題都解決了.