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        解析幾何中的數(shù)學(xué)思想

        2021-04-15 08:18:28甘肅彭長軍
        關(guān)鍵詞:二次曲線雙曲線交點

        甘肅 彭長軍

        一、函數(shù)思想

        解析幾何中有不少問題,其中的某些點、線處在運動變化之中,這就引出了一些相互制約的量,它們之間可能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,此時用函數(shù)的思想和方法去處理非常有效.

        例1.已知拋物線y2=2x,設(shè)A(a,0)(a>0),P是拋物線上的一點,且|PA|=d,試求d的最小值.

        ∴d=|PA|

        二、方程思想

        解決直線與二次曲線的位置關(guān)系問題,最常用的方法是將直線方程與二次曲線方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),變?yōu)殛P(guān)于x(或y)的一元二次方程,然后設(shè)直線與二次曲線的交點坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),再由韋達定理,得x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2).此法最大的特點就是利用韋達定理,避免了求交點坐標(biāo),它對解決與“距離”或“中點”有關(guān)的問題特別有效.

        (1)求雙曲線C的方程;

        將①②代入,得k2=4,k=±2,∴所求Q點的坐標(biāo)為(±2,0).

        三、分類討論思想

        分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要思想,圓錐曲線中的許多問題都涉及分類討論.分類問題的解題步驟一般為:①確定分類的對象和標(biāo)準(zhǔn);②進行合理的分類;③逐類逐級討論;④歸納各類結(jié)果.

        例3.已知x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈[0,2π),就θ的取值討論方程是何種曲線及曲線的位置特征.

        解:(1)當(dāng)θ=0時,方程變?yōu)閤2=1,即x=±1,此時方程的曲線是平行于y軸且距y軸為1的兩條平行直線;

        (7)當(dāng)θ=π時,方程變?yōu)閤2=-1,無實數(shù)解,此時方程的曲線不存在;

        四、等價轉(zhuǎn)化思想

        1.對于直線與二次曲線的位置關(guān)系問題,可轉(zhuǎn)化為直線方程與曲線方程的公共解的個數(shù)問題,于是可利用一元二次方程在給定區(qū)間上有無實數(shù)解的充要條件求解.

        例4.已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4,在下列各種情況下求實數(shù)k的取值范圍.

        (1)直線l與雙曲線C沒有公共點;

        (2)直線l與雙曲線C有兩個公共點;

        (3)直線l與雙曲線C只有一個公共點;

        (4)直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點;

        (5)直線l與雙曲線C的左支有兩個公共點;

        (6)直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點.

        解:將y=kx-1代入雙曲線x2-y2=4,得(1-k2)x2+2kx-5=0,

        (3)直線l與雙曲線C只有一個公共點?方程(1-k2)x2+2kx-5=0只有一個實數(shù)根,

        2.對于與圓錐曲線的焦半徑有關(guān)的一類最值問題,可通過圓錐曲線的定義將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,從而利用平幾知識使問題得到快速解決.

        ( )

        3.對于“圓錐曲線上的點到與其相離的直線的距離的最大值或最小值問題”,可通過將直線平移使其與圓錐曲線相切,從而將最大(小)值轉(zhuǎn)化為(切)點到已知直線的距離或平移前后兩直線間的距離.

        解:設(shè)與直線x+2y+18=0平行的直線l的方程為x+2y+m=0,即x=-(2y+m),將其代入橢圓方程,得25y2+16my+4m2-36=0.當(dāng)直線l與橢圓相切時,有Δ=0,即m=±5.

        4.對于“在直線上求一點使其到直線外兩定點距離之和最小(兩定點在直線同一側(cè))或距離之差最大(兩定點在直線兩側(cè))”的一類問題,可通過對稱性將其轉(zhuǎn)化為三點共線問題,從而快速求解.

        例7.求滿足下列條件的點及最大值、最小值:

        (1)已知點A(-3,5),B(2,15),試在直線l:3x-4y+4=0上找一點P,使|PA|+|PB|最小,并求出最小值;

        (2)已知點A(-3,5),B(0,4),試在直線l:3x-y-1=0上找一點Q,使||QA|-|QB||最大,并求出最大值.

        解:(1)由[3×(-3)-4×5+4]×(3×2-4×15+4)>0知A,B兩點在直線l的同側(cè).

        (2)易知A,B兩點在直線l的兩側(cè),點B(0,4)關(guān)于l的對稱點為B′(3,3),∴直線AB′的方程為2x+y-9=0.

        五、數(shù)形結(jié)合思想

        例8.已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4,在下列各種情況下求實數(shù)k的取值范圍.

        (1)直線l與雙曲線C沒有公共點;

        (2)直線l與雙曲線C只有一個公共點;

        (3)直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點;

        (4)直線l與雙曲線C的左支有兩個公共點;

        (5)直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點;

        (6)直線l與雙曲線C有兩個公共點.

        圖1

        圖2

        圖3

        圖4

        (5)如圖4,當(dāng)直線l從l1繞點P(0,-1)順時針旋轉(zhuǎn)到l2時,直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點,∴-1

        以上就是解析幾何中的五種常見的數(shù)學(xué)思想,若能靈活運用,則會大大提高學(xué)習(xí)效率!

        1.對于能建立函數(shù)關(guān)系的問題,首先考慮函數(shù)思想,若不能求解,則轉(zhuǎn)換思路,另辟蹊徑.

        2.對于涉及直線與圓錐曲線相交所產(chǎn)生的求中點弦所在直線的方程或弦的中點的軌跡方程的問題時,常常采用“點差法”求解,此時只需設(shè)出交點的坐標(biāo)而無需求出,就可巧妙地表達出直線的斜率,通過將直線的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系,這樣既減少了運算量又能快速解決問題.

        3.對于某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標(biāo)、用距離公式計算長度的方法來解;但也可以利用一元二次方程,使相關(guān)的點的同名坐標(biāo)為方程的根,由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系.后者往往計算量小,解題過程簡潔.

        4.對于等價轉(zhuǎn)化,要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的,才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果.否則(非等價轉(zhuǎn)化),就要對結(jié)論進行必要的修正.

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