安徽 鄭福梅 祝 峰

高考中三角函數(shù)試題，多為基礎(chǔ)題和中檔題，是學(xué)生得分的重要知識版塊.主要知識點包括三角函數(shù)圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、正弦定理和余弦定理、解三角形和三角函數(shù)的應(yīng)用.在扎實基礎(chǔ)、注重技能的一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)上，二輪復(fù)習(xí)應(yīng)在學(xué)科素養(yǎng)要求下，系統(tǒng)知識、凝練思想、發(fā)展素養(yǎng)，才能與“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”的高考命題理念高度契合.選取一個恰當(dāng)?shù)膶W(xué)科素養(yǎng)視角，科學(xué)地分析、梳理和總結(jié)典型高考試題，從中獲取有用信息，將其整合應(yīng)用于二輪高考復(fù)習(xí)，使二輪復(fù)習(xí)與“試”俱進(jìn)，是二輪突破的有效之舉.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形分析、描述數(shù)學(xué)問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.本文擬在直觀視角下，分析“直角三角形中的勾股數(shù)”“知圖求式”“知式探圖”“圖象變換”“知式尋圖”“用圖探路”六類三角函數(shù)試題對學(xué)生知識、能力、思想方法，特別是直觀想象素養(yǎng)的考查要求，旨在為“三角函數(shù)”二輪專題復(fù)習(xí)過程中，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)提供鮮活的教學(xué)素材.

1.直角三角形中的勾股數(shù)

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式源于三角函數(shù)的概念，為解決“已知一個角的一個三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值”問題而產(chǎn)生.高考中以化簡、求值的形式考查，但這類問題不一定要全部利用關(guān)系式求解.借助直角三角形中的勾股數(shù)結(jié)合三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號，能夠直觀、準(zhǔn)確、快速解答這類問題.

【例1】(2020·全國卷Ⅰ理·9)已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cosα=5，則sinα=

( )

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評析：已知某角的一個三角函數(shù)值，在直角三角形中構(gòu)建恰當(dāng)?shù)墓垂蓴?shù)，結(jié)合角所在象限，能夠從圖形中直觀地看出該角的其他三角函數(shù)值.值得說明的是，數(shù)學(xué)思維不是僅僅在抽象層面展開，很多場合中是借助直觀手段展開的.

2.知圖求式

識圖能力是直觀想象素養(yǎng)的構(gòu)成要件，是考查學(xué)生直觀想象素養(yǎng)水平的一項評價指標(biāo).表現(xiàn)為能夠讀懂圖形所表述的問題內(nèi)涵，敏銳地捕捉并正確提取出問題解決的必要信息，建立圖形與數(shù)量之間的關(guān)系，探索解決問題的途徑.

由三角函數(shù)圖象求其解析式，是高考中三角函數(shù)內(nèi)容的常見題型.試題一般設(shè)置成給出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的部分圖象，由圖象所提供的諸如對稱性、單調(diào)性、特殊點等信息，確定函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù).求解過程中，學(xué)生需具備較強(qiáng)的讀圖、識圖、用圖能力.

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評析：構(gòu)建幾何直觀、利用幾何直觀，是學(xué)生具備直觀想象素養(yǎng)順次遞進(jìn)的兩個環(huán)節(jié)，這類問題不需要學(xué)生由抽象問題構(gòu)建幾何直觀，而是直接給出直觀，要求學(xué)生能夠利用圖象直接求解數(shù)學(xué)問題.由圖象讀得零點，求出ω，進(jìn)而由ω求出周期.

【例4】(2020·新高考全國Ⅰ卷(供山東省使用)·10)如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=

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綜上選擇B，C.

3.知式探圖

“以數(shù)思形”是這類問題對直觀想象素養(yǎng)考查的核心，要求學(xué)生能夠通過“數(shù)”的運算和推理，通過想象嚴(yán)密的邏輯推理與幾何直觀之間的關(guān)聯(lián)，對已知函數(shù)圖象的特征予以判斷.

其中所有真命題的序號是________.

4.圖象變換

高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生對圖象變換理論的系統(tǒng)認(rèn)識是借助三角函數(shù)完成的.包括平移、伸縮、對稱三類基本變換，三角函數(shù)圖象變換問題能夠準(zhǔn)確考查學(xué)生數(shù)與形結(jié)合的能力，要求學(xué)生能夠結(jié)合具體實例，了解y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的實際意義；借助圖象理解參數(shù)A，ω，φ，B的意義，理解參數(shù)變化對函數(shù)圖象的影響.

其中所有正確結(jié)論的序號是

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A.① B.①③

C.②③ D.①②③

評析：考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，以及學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，邏輯分析能力.

評析：要求學(xué)生能夠由圖象的變換推理出函數(shù)解析式，并研究所獲得新函數(shù)圖象的特征，即求其一條特殊的對稱軸.

5.知式尋圖

在四個選項中遴選出已知函數(shù)圖象的問題，也是高考試題中考查三角函數(shù)圖象特點的一類常見題型.此類問題以直觀想象素養(yǎng)立意，涉及正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)等知識點，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力.

【例8】(2020·浙江卷·4)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[-π,π]上的圖象可能是

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A

B

C

D

評析：兩道試題均考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.“知式尋圖”與“知圖求式”是一對相逆問題，形象的體現(xiàn)了幾何直觀與數(shù)量運算和邏輯推理相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維方式.

6.用圖探路

函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、零點等性質(zhì)在其圖象上均有直觀體現(xiàn).三角函數(shù)問題的求解過程中，在正余弦曲線、正切曲線的基礎(chǔ)上，如果能夠借助圖象變換知識，作出所研究函數(shù)的圖象，則可以利用圖象探尋問題的求解思路，或者直接得到問題的結(jié)論.

【例10】(2019·全國卷Ⅰ理·11)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論：

其中所有正確結(jié)論的編號是

( )

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

解析：因為f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故①正確.

評析：函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|的相關(guān)性質(zhì)，可以通過嚴(yán)密的邏輯推理獲得，比如命題①函數(shù)的奇偶性性質(zhì)；也可正確作出函數(shù)圖象，借助圖象直觀地發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

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A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|

解析：圖1，2，3，4分別是A，B，C，D四個選項對應(yīng)函數(shù)的圖象，可直觀地看到，符合條件的函數(shù)為f(x)=|cos2x|.

圖1

評析：在函數(shù)cos2x，sin2x，cosx，sinx圖象的基礎(chǔ)上，通過對稱變換，分別作出四個選項中函數(shù)對應(yīng)的圖象，借助圖象即可對所述問題直觀判斷.