北京 王志偉

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據分析.課堂教學中要落實和發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)，就要創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，通過直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，形成理性思維和科學精神.

一、創(chuàng)設情境激發(fā)興趣，培養(yǎng)思維的積極性

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》在教學實施建議部分指出“基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學的本質，創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流”.可以說興趣是學生形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的非智力因素中的核心因素，因此在教學中要以學生為本，通過挖掘教材中的興趣因素，并在情境中提出問題，引導學生在問題解決的過程中促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

例如：在開始學習數(shù)列一章時，可以先向學生講述一個故事.古印度有一個國王酷愛象棋，一天他把象棋大師叫到跟前，贊揚一番后要重賞他，“你想要什么，我就給你什么”.象棋大師說：“金銀財寶我不要，只想要一些麥子回家充饑”.國王說：“你要多少？”大師說：“不多，在棋盤的第一個格里放1粒，第二個格里放2粒，第三個格里放4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，按規(guī)律把棋盤放滿就行啦.”國王一聽這還不容易，招呼糧食大臣盡快給他麥子.大臣回去一算嚇了一跳，全國的糧食都給他，也不夠他要的.大臣報告國王，國王也大吃一驚.同學們，小小的棋盤為什么會裝下那么多麥子呢？要想知道原因請學好數(shù)列一章.

經過這樣引導，同學們情緒高漲，課堂氣氛活躍.以學生感興趣，又有一定的趣味性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題入手，可以迅速集中學生的注意力，并且顯得十分生動、有魅力，學生的興趣異常濃厚，有利于啟發(fā)學生的思維，培養(yǎng)他們思維的積極性.

二、巧用解題后的反思，訓練思維的嚴密性

荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力.”課程標準要求教師引導學生總結出一些具有針對性的學習方式，促進學生學會學習，這就要求教師在教學中，要逐步培養(yǎng)學生的反思意識，在數(shù)學活動過程中不斷對數(shù)學具體知識、內容、包含的思想、觀念、解題思路、解題策略等進行回顧、思考、總結評價和調節(jié)，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考、做出判斷.

方法一：巧用錯誤解法，請學生比較.對于作業(yè)、練習中存在的普遍問題，讓學生進行甄別，讓學生用自己的理解發(fā)現(xiàn)并反駁錯誤，加深對問題的理解，避免錯誤再次發(fā)生.

例如：人教A版新教材必修2第73頁習題7.1中復習鞏固第2題：當實數(shù)m取什么值時，復數(shù)(m2-5m+6)+(m2-3m)i是下列數(shù)？(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).

這個題目很簡單，但由于學生剛剛接觸復數(shù)的概念，有可能考慮的不周全，比如對于第(3)問，有些同學就是直接令實部等于0然后求得m的值，結果顯然是錯誤的，這個題目就應該讓學生進行仔細甄別，加深理解，一開始就留下深刻印象，純虛數(shù)不僅實部等于0，同時虛部不等于0，所以一定要去掉使虛部也為0的m的值，這是學生很容易犯的錯誤.

方法二：列舉相似問題進行比較，舉一反三.在教學中，可以把相似類型的題目編成一組，讓有過實踐的學生進行積極思考，拓展性的思維也就從這里培養(yǎng)起來了.數(shù)學知識本身具有系統(tǒng)性和層次性.在單元復習課或總復習課中，精心設計一些習題題組，把相關的內容有機聯(lián)系起來，保持知識的連貫性，并且使知識的應用隨著題目的聯(lián)系而逐步展開.

例如：在復習圓錐曲線中橢圓這一部分內容時，考試說明要求為：掌握橢圓標準方程及其幾何性質，會根據所給條件畫橢圓，了解橢圓的一些實際應用.我們設計題組目標為：熟練掌握橢圓定義、標準方程，熟悉并會求幾何性質中的有關量，能根據所給條件運用待定系數(shù)法求橢圓標準方程，會應用橢圓定義解決有關問題.可設置如下題組：第一組復習基礎知識和基本方法.

③若△ABC兩頂點A，B坐標分別為(-3,0),(3,0)，而周長為20，則點C的軌跡是________；

讓學生獨立完成后，對其進行重點評講，指出所應用的知識點、基本方法和基本數(shù)學思想，對學生存在的問題進行評析，最后與學生一起歸納總結.然后再布置第二套題組，鞏固消化前面內容同時加進適當?shù)木C合題，進一步提高能力.如：

③P是橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值；

因此，利用題組把復習中講—練—講變?yōu)榫殹v—練，使學生在主動探索中鞏固消化了所學知識，更進一步達到了應有的教學目標.

三、通過一題多解，訓練思維的發(fā)散性

數(shù)學學科教學的一個重要任務就是“增強學生的創(chuàng)新意識和科學精神”，這要求大力發(fā)展學生的發(fā)散性思維，引導學生根據已有信息，從不同角度、不同方面思維，從多方面尋求多樣性答案.為了發(fā)展學生發(fā)散性思維，教師在教學中，可以有意的設計一些一題多解的教學環(huán)節(jié).通過對同一個問題，采用不同方法求解，拓寬學生思路，起到加大思維空間的效果，這是訓練思維發(fā)散能力的常用手段.

例如：(2015·北京卷文·20)已知橢圓C:x2+3y2=3.過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率；

(Ⅱ)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；

(Ⅲ)試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由.

此題前兩問屬于中低檔題，第三問屬于難題，對于第三問有幾種不同解法.解法1：直接證明直線BM的斜率等于1，恒等變形技巧性極強，考生難以駕馭.解法2：轉化成kBM-1=0，則大大降低了計算難度，雖然只是一小步變化但思維的轉換并不容易.解法3：做一步圖形轉化，略解如下：

欲證BM∥DE,由平行線截線段成比例定理，只需證AD∶DB=AE∶EM

所以BM∥DM.

這樣，弄通、弄懂一道題，就會解出一類題，避免了題海戰(zhàn)術，讓學生在掌握數(shù)學知識內在聯(lián)系的過程中，享受數(shù)學的相似美，提高學生歸納、概括的能力.

四、注重概念教學，訓練思維的深刻性

課程標準指出數(shù)學教學就是要“引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界”，這就要求學生數(shù)學思維的抽象程度、邏輯水平及思維活動達到一定的深度，能夠對事物進行深刻理解并善于抓住事物的本質規(guī)律，在思維活動中，能深入細致地考慮問題，探索解決問題的途徑.

例如：人教A版新教材必修1，2.2基本不等式的教學，就可以設計以下問題：

此案例的問題情境貼近生活，給學生創(chuàng)設了一個觀察、聯(lián)想、抽象、概括、數(shù)學化的過程，在這樣的實際問題情境下，學生會想學、樂學、主動學.教學實踐證明，問題情境教學是提高課堂質量的有效途徑之一.在數(shù)學課堂教學中，教師靈活處理教學過程中出現(xiàn)的各種問題，精心創(chuàng)設各種教學問題情境，能夠培養(yǎng)學生的學習興趣，激發(fā)學生的求知欲望，調動學生學習的積極性和主動性，促使學生以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)問題，總結規(guī)律，提高學生運用知識解決實際問題的能力，同時又使課堂教學豐富多彩，生動活潑.這樣，對概念多提幾個問題，不僅可以幫助學生全面而準確地掌握概念，克服思維的表面化，而且能夠引導學生善于觀察問題，深刻地思考問題，從而實現(xiàn)思維的深化.

五、基于變式訓練，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性

課程標準指出數(shù)學教學就是要促進學生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，創(chuàng)新性思維是指人在探尋事物變化規(guī)律過程中產生出的新的見解或方法等思維活動，是建立在一般性思維的基礎之上的，是長期開放式培養(yǎng)與訓練的結果.這就要求在教學活動中通過引導學生自主閱讀、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等多種形式的教學方式，不斷引導和鼓勵學生敢于質疑、敢于探究，敢于大膽地發(fā)表新見解.在課堂教學中，創(chuàng)設變式教學情境，靈活運用變式教學是培養(yǎng)和發(fā)展學生創(chuàng)新思維的重要載體.在教學過程中，運用變式教學，可以為學生提供自由、和諧、互相尊重的學習氛圍，有利于促進學生萌發(fā)嘗試新事物的勇氣，并在輕松的心態(tài)下學會從失敗中總結經驗，為成功奠定良好的基礎.

例如原題：求曲線y2=-4-2x上與原點距離最近的點的坐標.

變式1：在曲線y2=-4-2x上求一點M(x，y)，使它到點A(a,0)的距離最短.

將原式的特殊點(原點)改為一般的點A(a,0)，這符合由特殊到一般的認知規(guī)律，學生容易接受.

變式2：已知拋物線y2=-4-2x與直線y=kx+3沒有公共點，求k的取值范圍.

也可進一步改為：

變式3：已知拋物線y2=-4-2x與動圓(x-a)2+y2=2沒有公共點，求a的取值范圍.

這樣的變式練習，學生可以通過實驗得出，也可以通過數(shù)學方法得出，通過這樣的練習能提高學生學習數(shù)學的興趣，從而達到教學目的.

將常規(guī)題變?yōu)樘剿黝}，是設計變式題的又一途徑.由常規(guī)題演變的探索題，對學生來說更具創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性.總之，教師在習題的設計過程中要充分考慮題組的自身特點，從學生的角度去思考問題，習題設計要由淺入深，由易到難，由具體到抽象，由特殊到一般，層層深入，步步啟發(fā)，既要注意題與題之間的連貫性，連接的趣味性，題目的針對性和開放性，同時要保持知識的網絡性和整體性.不同的題組，有著各自不同的功能，精心設計的題組在教學中發(fā)揮著不可替代的作用，對于提高教學效率、培養(yǎng)學生的能力、提高學生的數(shù)學素養(yǎng)起著重要作用，也是優(yōu)化課堂教學的一種途徑.