謝祥云

(五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén)529020)

1 引 言

從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史來(lái)看，線性代數(shù)歷史悠久，我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》就有解方程的記載. 但是以現(xiàn)代形式呈現(xiàn)的線性代數(shù)學(xué)和19世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的抽象代數(shù)學(xué)是密不可分的，線性代數(shù)的兩大重要的工具行列式和矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展有力地推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展.笛卡爾在建立坐標(biāo)系后，將代數(shù)方法和幾何觀點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，給代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題鋪平了道路.

我們知道，馮·諾依曼體系下的計(jì)算機(jī)技術(shù)處理現(xiàn)實(shí)生活中的非線性問(wèn)題都是通過(guò)線性逼近來(lái)解決， 在一定程度上說(shuō)線性問(wèn)題在數(shù)學(xué)問(wèn)題中是相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，也是浩瀚的數(shù)學(xué)理論海洋中應(yīng)用得最完美的一門(mén)數(shù)學(xué)理論.所以線性代數(shù)是大學(xué)非數(shù)學(xué)類(lèi)工科和管理科學(xué)類(lèi)專業(yè)最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一，是數(shù)學(xué)二級(jí)學(xué)科代數(shù)學(xué)中較為基本的內(nèi)容.

由于線性代數(shù)它以變換為核心，以矩陣為工具，以學(xué)會(huì)解線性方程組為基本呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)課程.它的抽象性是不言而喻的，老師如何教，學(xué)生如何學(xué)都是很多學(xué)者感興趣研究的事，這方面的文獻(xiàn)也多，例如[1-9，11-16].本文根據(jù)筆者在地方高校三十多年學(xué)代數(shù)，教代數(shù)的經(jīng)歷，在分析地方工科院校線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，認(rèn)為地方工科院校線性代數(shù)教學(xué)應(yīng)該強(qiáng)化幾何化背景.基于此我們以下從幾個(gè)方面去談地方工科院校線性代數(shù)教學(xué)，目的是為了學(xué)生更好地理解和掌握這門(mén)數(shù)學(xué)工具.

2 地方工科院校線性代數(shù)教學(xué)的現(xiàn)狀分析

從1977年恢復(fù)高考后中國(guó)高等教育大背景為本文論點(diǎn)的時(shí)間起點(diǎn)，談線性代數(shù)教學(xué)，主體不外是學(xué)生、教師、教材、學(xué)時(shí)以及教學(xué)方法等幾個(gè)方面.根據(jù)百度數(shù)據(jù)，截至2019年6月15日，全國(guó)高等學(xué)校共計(jì)2956所，其中：公辦本科院校817所，民辦本科院校417所.除軍事院校外，根據(jù)教育部大的分類(lèi)，這些本科高校分為教育部直屬高校，各部委和地方共建的高校和地方高校，從數(shù)量上看地方高校占大多數(shù)且很大一部分是按照教育部要求以應(yīng)用型人才培養(yǎng)為根本目的的.但是地方應(yīng)用型高校線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)在總體現(xiàn)狀是重理論，輕應(yīng)用；重理論體系的完整性，輕產(chǎn)出為導(dǎo)向的工程實(shí)踐；重公理體系下的教材建設(shè)，輕幾何體系的教學(xué)設(shè)計(jì)；重傳統(tǒng)課堂，輕新技術(shù)的應(yīng)用.具體表現(xiàn)為：

(i)學(xué)生.改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)的高等教育從千軍萬(wàn)馬過(guò)獨(dú)木橋的錄取率在百分之十幾的精英教育發(fā)展到現(xiàn)在錄取率達(dá)百分之八十多的大眾教育，需要線性代數(shù)教學(xué)的國(guó)民全日制學(xué)歷教育學(xué)生的類(lèi)型發(fā)展為四個(gè)層次，也即通常所說(shuō)的一本、二本、三本(獨(dú)立學(xué)院)和職業(yè)技術(shù)學(xué)院的?？茖哟?，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和水平差異非常大. 隨之而來(lái)的高校教學(xué)理念、方法和手段等都將有所改變.大多數(shù)地方高校學(xué)生對(duì)抽象的問(wèn)題的接受力和理解力偏弱，在現(xiàn)行的高考體制下，他們更關(guān)注知識(shí)的掌握，創(chuàng)新教育和創(chuàng)新思維沒(méi)有形成一種氛圍和時(shí)尚，很多學(xué)生總希望老師是多講解、多復(fù)習(xí)、劃重點(diǎn)，目的是為了通過(guò)考試，至于為什么學(xué)關(guān)心得不夠.

(ii)教師.通過(guò)幾十年的發(fā)展，高校教師隊(duì)伍發(fā)生了翻天覆地的變化，較發(fā)達(dá)地區(qū)地方本科院校教師隊(duì)伍中百分之三十多以上都具有了博士學(xué)位，碩士博士學(xué)位教師占比達(dá)70%以上，教師的科研水平是毋庸置疑的.問(wèn)題是各地方高校對(duì)本科教學(xué)本質(zhì)上的重視程度表現(xiàn)不一，課堂教學(xué)的地位沒(méi)有得到應(yīng)有的提高，教學(xué)質(zhì)量不高；本科及本科以上高校教師重科研、輕教學(xué)探索與實(shí)踐的現(xiàn)象普遍存在，因?yàn)榇蠹叶记宄虒W(xué)上花功夫不是很快能見(jiàn)效的，不如寫(xiě)幾篇SCI論文評(píng)職稱實(shí)惠，因此教師的注意力和精力難免就轉(zhuǎn)移到非教學(xué)科研上.需要特別指出的是不是科研能力強(qiáng)的老師就是一個(gè)懂教學(xué)的教師，這要有個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，也即如何將最新的科研成果轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)，這需要花時(shí)間研究與實(shí)踐的.我們也看到有一批老師在積極關(guān)注線性代數(shù)教學(xué)，提出了很多好的建議和方法[2-16， 24]，但不可否認(rèn)教師中讀PPT，照本宣科，不關(guān)注實(shí)際，不講授線性代數(shù)的背景不是一個(gè)小群體.

(iii)教材.現(xiàn)在大學(xué)生無(wú)疑是幸福，只要愿意學(xué)習(xí)，市場(chǎng)和圖書(shū)館給予他們非常多的選擇.關(guān)鍵是在具體的教學(xué)活動(dòng)中老師們能否因材施教，因材選教，老師所在學(xué)校大的教學(xué)環(huán)境等都會(huì)影響課堂教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)效果.關(guān)于教材主要有三種類(lèi)型：其一，大家都清楚，1977年恢復(fù)高考后的二十多年里，線性代數(shù)(高等代數(shù))的教材大部分還是沿襲前蘇聯(lián)的教育教學(xué)模式的教材，高度關(guān)注線性代數(shù)的抽象理論，教材的編寫(xiě)顧及知識(shí)體系的完整性，不太關(guān)注知識(shí)在工程實(shí)踐中的具體應(yīng)用，代表性的教材有北大版的《高等代數(shù)》(已經(jīng)出了第四版)[18]和同濟(jì)大學(xué)的《線性代數(shù)》(已經(jīng)出了第六版)[19]， 這些教材影響了幾代人，現(xiàn)在仍然是大部分地方高校的首選教材. 其二，近二十年來(lái)隨著我國(guó)改革開(kāi)放，大量西方教材引入國(guó)內(nèi)，而幾十年來(lái)計(jì)算機(jī)軟硬件的飛速發(fā)展，線性代數(shù)重要應(yīng)用擴(kuò)大到了愈來(lái)愈多的新領(lǐng)域， 同時(shí)也受到數(shù)學(xué)建模在國(guó)內(nèi)開(kāi)展的影響，人們對(duì)工科線性代數(shù)的教學(xué)在掌握必要理論的同時(shí)，更加關(guān)注知識(shí)的應(yīng)用，不過(guò)分強(qiáng)調(diào)知識(shí)體系的完整性，將線性代數(shù)的大量計(jì)算和運(yùn)算技巧的數(shù)學(xué)專門(mén)化知識(shí)交給了機(jī)器去完成，如陳懷琛教授編寫(xiě)的《實(shí)用大眾線性代數(shù)(MATLAB版)》[17]，也有一些學(xué)者對(duì)基于MATLAB三維線性代數(shù)實(shí)踐教學(xué)開(kāi)展一些實(shí)踐[4-7，12].其三，從學(xué)生能更好地理解線性代數(shù)，以幾何背景開(kāi)展幾何化的線性代數(shù)教學(xué)[2-4，11-12]. 從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)，學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)可以類(lèi)比現(xiàn)實(shí)的幾何空間.在教材編寫(xiě)上也做了一些嘗試，特別是數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)，將高等代數(shù)與空間解析幾何融合為一本教材，一門(mén)課合并講授[13，20，21].

(iv)學(xué)時(shí).在地方高校，一般的工科專業(yè)線性代數(shù)為2-3學(xué)分，學(xué)時(shí)在32-54不等，32學(xué)時(shí)的地方高校在傳統(tǒng)的教學(xué)課堂利用傳統(tǒng)的教材，一般是講授不完整后繼的工科相關(guān)課程的教學(xué)需求的全部?jī)?nèi)容.

(v)教學(xué)法.選一本適合自己教學(xué)對(duì)象的教材就像是拿到了一個(gè)好的劇本，能否變成一臺(tái)好戲還要看有沒(méi)有好的導(dǎo)演和演員.這臺(tái)教學(xué)大戲從教師的角度看，就是有沒(méi)有好的教學(xué)法.如何上好一堂數(shù)學(xué)課，仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智.總的來(lái)說(shuō)需要老師用心教學(xué)，關(guān)注學(xué)生的反映和接受能力，實(shí)時(shí)調(diào)整教學(xué)方式，以學(xué)生為中心，以教學(xué)產(chǎn)出為導(dǎo)向.現(xiàn)實(shí)中，往往是不盡人意的，上課用出版社提供的做好的PPT，對(duì)著PPT講一遍，甚至極少板書(shū)，布置幾道練習(xí)，一次課就過(guò)去了.由于是大班上課，作業(yè)可能都不改或改極少一部分，最后一張閉卷考試卷，平時(shí)和期末考試占一個(gè)比例學(xué)生成績(jī)出來(lái)，一門(mén)課也就結(jié)束了.特別是很多職業(yè)技術(shù)學(xué)院選擇的教材也是基于公理體系下的線性代數(shù)教材，學(xué)生學(xué)了一些名詞，學(xué)完了不知道怎么用.可喜的是人們已經(jīng)在逐步探索創(chuàng)新教學(xué)模式，例如加開(kāi)了線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)課，將現(xiàn)代教育技術(shù)應(yīng)用于現(xiàn)代課堂等等.

3 重新梳理線性代數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)

要找到一個(gè)好的針對(duì)地方工科院校學(xué)生的線性代數(shù)教學(xué)法，首先必須弄清楚線性代數(shù)的知識(shí)體系和形成的背景.我們知道，大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)教學(xué)內(nèi)容由多項(xiàng)式理論和線性代數(shù)構(gòu)成，除了一些更加專業(yè)的空間理論和矩陣論外，其他教學(xué)內(nèi)容和工科專業(yè)線性代數(shù)幾乎一致，不外是工科線性代數(shù)弱化了數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)的教學(xué)要求而已.現(xiàn)在教科書(shū)大部分都是按照行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、二次型、歐式空間這樣的知識(shí)體系來(lái)布陣，需要說(shuō)明的是關(guān)于線性空間(歐式空間)的公理化定義大部分工科教材均簡(jiǎn)化為向量空間非公理化處理或者沒(méi)有引入.這樣布局從知識(shí)形成的歷史角度當(dāng)然有它的道理，同時(shí)在講授知識(shí)時(shí)需要合理引用，講授知識(shí)A，需要B，當(dāng)然B就得在前面先行講授.實(shí)際上線性代數(shù)的知識(shí)體系主要從以下三個(gè)方面構(gòu)建.

(i)代數(shù)觀點(diǎn).在前面說(shuō)過(guò)，線性代數(shù)歷史悠久，在日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和和范德蒙(Van der monde)奠定了行列式理論之后，并在進(jìn)一步發(fā)展的同時(shí)，1849-1900年左右，德國(guó)數(shù)學(xué)家雅各比(Jacobi)、在英國(guó)數(shù)學(xué)家剴萊 (Arthur Cayley)、法國(guó)數(shù)學(xué)家若當(dāng) (Jordan， Camille)、英國(guó)數(shù)學(xué)家希爾維斯特 (Sylevester)、德國(guó)數(shù)學(xué)家佛洛賓紐斯 (Frobeniws) 以及德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecher)和英國(guó)數(shù)學(xué)家道奇生(Dodgson) 等人推動(dòng)下，矩陣?yán)碚撔纬?有了矩陣重要的工具，線性代數(shù)中的線性方程組、線性空間的線性變換等理論得益重新構(gòu)建.以矩陣代數(shù)為核心構(gòu)建線性代數(shù)理論體系，進(jìn)一步成為環(huán)論和代數(shù)的具體模型.線性代數(shù)理論就是矩陣?yán)碚摚€性方程組是矩陣，解方程組就是矩陣的初等變換；行列式是矩陣的賦值，是賦值代數(shù)的部分；有限線性空間的線性變換表示；線性變換；二次型；歐式空間正交變換等均可以用特定的矩陣表示，從而線性代數(shù)問(wèn)題均化為矩陣代數(shù)問(wèn)題.我們傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材就是沿用這一體系發(fā)展形成的.

(ii)幾何觀點(diǎn).生活中有一個(gè)詞：變化.從數(shù)學(xué)的角度看到這個(gè)詞首先想到的是幾何.例如拿著一塊橡皮泥把它拉長(zhǎng)，如果用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)那就是映射.變化的特例是變換，數(shù)學(xué)表述就是自身的映射.一般的變換是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，例如大氣運(yùn)動(dòng)等.如何用簡(jiǎn)單的變換來(lái)逼近復(fù)雜的變化，這是科學(xué)研究的基本方法之一.對(duì)于變換而言簡(jiǎn)單的就是線性變換了.談及線性變換，首先得給它們構(gòu)建一個(gè)承載體，那就是向量空間，這是一個(gè)帶有二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，講授的線性代數(shù)可以將它看成一維、二維和三維幾何空間推廣到復(fù)數(shù)集上的 維向量空間，當(dāng)然歐式空間和酉空間都是這空間上考慮了度量而已.有了 維向量空間和基于它上的線性變換，線性代數(shù)理論體系的大幕就可以開(kāi)啟了.矩陣是線性變換的表示形式，線性方程組的求解問(wèn)題是向量空間一組向量的線性相關(guān)性問(wèn)題，矩陣的特征向量是在向量空間中尋求在特定線性變換下保持穩(wěn)定方向的向量組而已.在這樣的幾何觀點(diǎn)下，行列式就不是顯得特別重要了，僅僅是一種輔助工具而已.這里可以參考兩本書(shū)，一本是哈爾莫斯(P. Halmos)1942 年出版的著作《有限維向量空間》[23]，另一本是謝爾登.阿克斯勒(Sheldon Axler)著的《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》[22]，該書(shū)林開(kāi)亮教授在《數(shù)學(xué)文化》雜志上給了特別推薦[24].

(iii)公理化觀點(diǎn).在工科的線性代數(shù)教材中，為了講清楚一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)，都會(huì)在前期內(nèi)容中用一節(jié)的篇幅講授向量空間，同時(shí)給出基，維數(shù)以及坐標(biāo)的概念，大家注意的是這里的 維向量空間是現(xiàn)實(shí)三維空間的推廣，是定義在實(shí)數(shù)域上，沒(méi)有引入抽象的空間，一些學(xué)時(shí)多點(diǎn)的工科教材在后面給出一個(gè)抽象空間的介紹.實(shí)際上20 世紀(jì)30 年代，在庫(kù)默、哈密爾頓和諾特的工作下，首先構(gòu)建數(shù)域 (進(jìn)一步推廣到一般域或體)上的向量空間， 在此基礎(chǔ)上定義線性變換以及線性變換的矩陣表示，將線性代數(shù)公理化，形成了一個(gè)完整的理論體系.在這個(gè)理論體系中，數(shù)域上一個(gè)非空集合由加群和數(shù)乘運(yùn)算以及八條公理決定的抽象的線性空間定義就非常重要了，在這樣抽象空間上構(gòu)建的線性代數(shù)體系即為公理化體系.這種從具體概念抽象出來(lái)的公理化方法，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生掌握線性代數(shù)的理論體系是非常有用的.

4 牢固樹(shù)立線性代數(shù)的幾何觀

通過(guò)第二部分分析，我們認(rèn)為對(duì)于地方工科院校線性代數(shù)的教學(xué)，為了給學(xué)生有一個(gè)良好的幾何直觀，牢固樹(shù)立線性代數(shù)的幾何觀是非常重要的.笛卡爾坐標(biāo)系的建立，在一定程度上說(shuō)，代數(shù)與幾何得到統(tǒng)一和協(xié)調(diào).

(i)幾何觀下教材處理.現(xiàn)在正式出版的地方工科院校線性代數(shù)教材基于幾何觀編寫(xiě)的不多，除非在學(xué)時(shí)能保證的學(xué)校采用線性代數(shù)與空間解析幾何合編的教材.這樣就需要老師在傳授線性代數(shù)時(shí)正確處理好現(xiàn)有的教材.

① 行列式處理.在幾何觀點(diǎn)下行列式就沒(méi)那么重要了，可以作為線性代數(shù)理論獨(dú)立存在，但是在現(xiàn)有的環(huán)境下行列式不講似乎改革步伐大了一些，作為基礎(chǔ)課不太可取，但是可以淡化它，畢竟大學(xué)一年級(jí)學(xué)生剛上學(xué)這門(mén)課的第一章就拋出行列式和行列式的定義，被打得暈頭轉(zhuǎn)向，嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣.近來(lái)看到了改革成果，例如另一版的同濟(jì)大學(xué)編線性代數(shù)教材將行列式就放在第二章來(lái)講[10].

② 強(qiáng)化線性變換在線性代數(shù)的核心作用.很多人學(xué)完了線性代數(shù)后掌握了一堆的概念和名詞，不知道知識(shí)體系的關(guān)聯(lián)和主次.不可否認(rèn)在線性代數(shù)中矩陣很重要，從代數(shù)的角度它是核心的，但是從幾何的角度它是變換的附屬物.在我們樹(shù)立了變換的核心地位之后，向量空間的引入和介紹就越早越好.在處理教材時(shí)建議按照以下的順序.

平面與空間 ?n維向量空間與歐式(或向量)空間(Ⅰ) ? 線性變換與保距變換 ? 矩陣 ?n維向量空間與歐式(或向量)空間(Ⅱ)(向量的線性相關(guān)性、正交、向量空間的基于坐標(biāo)等) ? 線性方程組 ? 行列式 ? 線性變換的特征值與特征向量 ? 二次型當(dāng)然，每個(gè)老師可以按照原來(lái)的教材講授，只不過(guò)心中要有幾何的這條線.

(ii)幾何觀下教學(xué)分析.幾何觀下線性代數(shù)教學(xué)目的就是希望通過(guò)直觀的圖形，圖像來(lái)理解抽象的線性代數(shù)理論.實(shí)際上線性代數(shù)理論處處都有幾何背景.

① 如果用低于三維的現(xiàn)實(shí)空間為幾何模型的話，三維以下的線性代數(shù)就是空間解析幾何的簡(jiǎn)化版，求解線性方程組就是求空間平面或平面直線的交點(diǎn)(線)，線性變換就是空間矢量的變換，特別的是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)等正交變換.

② 當(dāng)向量空間的維數(shù)超過(guò)3維后，可以用三維來(lái)類(lèi)比，也即有超平面，超級(jí)旋轉(zhuǎn)等，學(xué)生是可以理解和接受的.

③ 矩陣是代數(shù)的，但是它是線性變換的表現(xiàn)形式.矩陣相加是兩個(gè)位置平行的變換的疊加，兩個(gè)矩陣相乘是先后兩個(gè)變換合成的表現(xiàn)矩陣，例如：將一個(gè)向量旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針45度是一個(gè)變換，它對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣 ；接著對(duì)它再旋轉(zhuǎn)30度，它對(duì)用旋轉(zhuǎn)矩陣 .結(jié)果向量被旋轉(zhuǎn)了75度，這一變換就是前面兩個(gè)變換的合成，這個(gè)合成的變換表現(xiàn)矩陣稱為與乘積.這樣解釋矩陣乘法能很好解釋學(xué)生對(duì)矩陣乘法定義的疑惑.

④ 求解線性方程組就是討論一組超平面的位置關(guān)系.

⑤ 矩陣的特征向量就是在給定的坐標(biāo)系下(固定基)這個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換作用在它上面使得它的像就是它本身放大或縮小倍的向量.

⑥ 向量組的柯西-施密特正交化實(shí)際上由通過(guò)待定系數(shù)確定一個(gè)和它倆在一個(gè)“平面”上和垂直的向量，再通過(guò)找一個(gè)向量使得它同時(shí)垂直于，重復(fù)這個(gè)過(guò)程，這樣學(xué)生是容易理解，不會(huì)死記硬背.

⑦ 二次型化簡(jiǎn)就類(lèi)似于二次曲線和二次曲面的通過(guò)坐標(biāo)軸變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式.

總之，一切皆是幾何.本部分最后需要說(shuō)明的是行列式不論從歷史發(fā)展的軌跡和實(shí)際計(jì)算都看不到幾何的痕跡，當(dāng)然如果說(shuō)空間三個(gè)向量的混合積的值恰好是一個(gè)三階行列式的值，這不是行列式的幾何意義，而是幾何“撞見(jiàn)”了它.

5 強(qiáng)化線性代數(shù)的實(shí)用性

當(dāng)前全國(guó)地方高校都在大力推進(jìn)基于OBE理念下的工程認(rèn)證工作，OBE理念的核心就一句話：以學(xué)生為中心，以產(chǎn)出為導(dǎo)向，持續(xù)改進(jìn).作為地方高校，特別是教育部應(yīng)用型本科轉(zhuǎn)型試點(diǎn)的高校，工科基礎(chǔ)課的線性代數(shù)應(yīng)該是工程認(rèn)證十二條的第一條工程知識(shí)的基礎(chǔ)，它明確表示工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是能夠?qū)?shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程基礎(chǔ)和專業(yè)知識(shí)用于解決復(fù)雜工程問(wèn)題.這給教師提出了行動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)：地方應(yīng)用型本科高校工科學(xué)生不是為了學(xué)數(shù)學(xué)而學(xué)線性代數(shù)的，學(xué)線性代數(shù)是為了工程實(shí)踐服務(wù)，我們的教學(xué)要和工程應(yīng)用密切結(jié)合起來(lái)，強(qiáng)化線性代數(shù)的實(shí)用性，適當(dāng)?shù)碚擉w系的完整性，充分利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算機(jī)的普及，將計(jì)算的事盡量交給計(jì)算機(jī)去做，把課堂上教授各類(lèi)計(jì)算技巧的時(shí)間省下來(lái).現(xiàn)今很多高校在線性代數(shù)教學(xué)中用MATLAB安排了課內(nèi)實(shí)驗(yàn)課，同時(shí)和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)緊密聯(lián)系起來(lái)，如同陳懷琛教授在《實(shí)用大眾線性代數(shù)》[25]前言中所說(shuō)：讓線性代數(shù)“實(shí)用化”、“現(xiàn)代化”和“大眾化”.“實(shí)用化”指為工科的后續(xù)課程及未來(lái)工程的需求為標(biāo)準(zhǔn)安排內(nèi)容，“現(xiàn)代化”指的是用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題，不依靠筆算，“大眾化”指采用了最少、最淺而又足夠的理論，使推理能力不太強(qiáng)的學(xué)生和有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)但多年不接觸數(shù)學(xué)的工程師都能接受，便于向大眾普及.

6 它山之石

地方應(yīng)用型本科高?；A(chǔ)課教學(xué)除了學(xué)生掌握必要的基礎(chǔ)理論，核心的問(wèn)題還是在于教會(huì)學(xué)生如何在工程實(shí)踐中去使用，對(duì)此這些年很多高校都在積極的開(kāi)展討論，筆者所在的學(xué)校也不例外.2013年作者帶隊(duì)去丹麥奧爾堡大學(xué)學(xué)習(xí)考察他們的PBL(Problem Based Learning)教學(xué)法[25]，該教學(xué)法就是圍繞工程中的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生在指導(dǎo)老師的幫助下，通過(guò)采用小組討論的形式，收集資料，解決問(wèn)題，以期望培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力.這種教學(xué)思想和基于OBE理念的工程認(rèn)證實(shí)踐非常吻合.奧爾堡大學(xué)位于丹麥第三大城市奧爾堡，是丹麥第四大擁有博士授予權(quán)的高校，是PBL教學(xué)法在全校實(shí)踐，普及最完全的高校，也是PBL理論研究的領(lǐng)頭高校，他們培養(yǎng)人才的定位是現(xiàn)場(chǎng)工程師.例如海洋勘探相關(guān)專業(yè)入學(xué)開(kāi)始就告訴學(xué)生你們將來(lái)畢業(yè)后需要做什么，會(huì)設(shè)計(jì)出一系列問(wèn)題，假若有一個(gè)問(wèn)題是海里輸油管道的鋪設(shè)以及管道漏油檢測(cè)問(wèn)題，學(xué)生會(huì)分成幾個(gè)小組針對(duì)這個(gè)問(wèn)題在老師的指導(dǎo)下開(kāi)展學(xué)習(xí)、討論，當(dāng)然現(xiàn)場(chǎng)是有地下油管的實(shí)物或模型.在學(xué)習(xí)中需要到什么知識(shí)就學(xué)習(xí)和補(bǔ)充什么知識(shí).他們數(shù)學(xué)課程的教學(xué)啟迪著我們：對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)解決學(xué)生所學(xué)專業(yè)復(fù)雜工程中需要什么數(shù)學(xué)就教他們什么數(shù)學(xué)，不去過(guò)分強(qiáng)調(diào)知識(shí)體系的完整性，更不會(huì)出現(xiàn)老師不了解專業(yè)的需求自說(shuō)自畫(huà)，一股腦拋給學(xué)生.

7 結(jié) 論

數(shù)學(xué)是人類(lèi)表達(dá)現(xiàn)實(shí)的超現(xiàn)實(shí)語(yǔ)言，大量的數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)在還沒(méi)有辦法在現(xiàn)實(shí)中找到它的直接應(yīng)用，線性代數(shù)這樣“簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)”可以說(shuō)是當(dāng)今用得最好的數(shù)學(xué)之一.每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者均受過(guò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，在具體的教學(xué)實(shí)踐中強(qiáng)調(diào)知識(shí)體系的完整性已經(jīng)滲透到我們教學(xué)“不由自主”的行動(dòng)中，怕學(xué)生沒(méi)有學(xué)完整會(huì)影響后繼課程學(xué)習(xí)以及研究生入學(xué)考試.但往往或略了具體教學(xué)對(duì)象，這個(gè)對(duì)象未來(lái)的目標(biāo)地位是什么.筆者認(rèn)為，在本文中就地方院校特別是應(yīng)用型轉(zhuǎn)型實(shí)踐的地方高校，在具體的線性代數(shù)教學(xué)中，不應(yīng)該過(guò)多關(guān)注線性代數(shù)知識(shí)的系統(tǒng)性和完整性，應(yīng)更多關(guān)注學(xué)生所學(xué)專業(yè)在工程中的應(yīng)用；不過(guò)分強(qiáng)調(diào)理論推導(dǎo)過(guò)程和各類(lèi)運(yùn)算技巧，將計(jì)算的交給計(jì)算機(jī)完成；針對(duì)地方高校學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力相對(duì)偏弱，強(qiáng)調(diào)在幾何背景下組織線性代數(shù)教學(xué).

致謝感謝審稿人對(duì)本文提出的很好的修改意見(jiàn).