萬安華
(中山大學 數(shù)學學院,廣州510275)
高等數(shù)學是高校本科非數(shù)學類專業(yè)的一門重要基礎課.教師如何在課堂教學中傳授數(shù)學思想與數(shù)學方法是值得深入研究的課題[1].在高等數(shù)學的課堂教學中,選取富有啟發(fā)性的例題進行適當?shù)难油?,有利于培養(yǎng)同學們的創(chuàng)新思維能力[2]. 教師將每年的全國大學生數(shù)學競賽試題及時引入相關章節(jié)的課堂教學中,并且通過綜合運用數(shù)學方法將競賽題進行多角度的延拓,不僅加強了例題的新穎性,也極大地激發(fā)了同學們的學習熱忱.
引言中這道競賽題中出現(xiàn)了兩個底和指數(shù)互換位置的冪指函數(shù)[f(x)]g(x)和[g(x)]f(x). 對于一般的冪指函數(shù)u(x)v(x)(u(x)>0,u(x)不恒為1),可將其轉(zhuǎn)化為u(x)v(x)=ev(x)lnu(x),由此來理解和處理冪指函數(shù)相關的數(shù)學問題. 當u(x)v(x)→1(在自變量x的某種變化趨勢下)時,運用等價無窮小代換et-1~t(t→0)[3], 可得
u(x)v(x)-1=ev(x)lnu(x)-1~v(x)lnu(x).
再進一步地推廣為更加廣泛的情形
因此只需考慮最后一種推廣情形,前面的幾種情形均可作為其特例而導出.其次,擬對冪指函數(shù)[f(x)]g(x)和[g(x)]f(x)的底作推廣,可考慮一般的
綜上分析,可將第一種推廣思路和第二種推廣思路結(jié)合起來,直接考慮包括了上述兩種推廣方向的一般情形
最后,還將考慮一般情形的
這一類型包括了
為特例,而此特例又包括了
為其特殊情況.
下面展開對上述幾種推廣情形的具體分析,并導出相應的結(jié)果.
設f(x),g(x),Φ(x),Ψ(x),φ(x),φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,
一方面
另一方面
因此
(1)
特例1設f(x),g(x),Φ(x),Ψ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,
(2)
注1 引言中的競賽題即為特例1在Φ(x)=f(x),Ψ(x)=g(x)時的特殊情況,由(2)式即得
(3)
特例2設f(x),g(x),φ(x),φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,
(4)
由特例2,可以得到下面的推論.
(5)
證由特例2,立即可得
因此
(6)
注2 作為(6)式的直接應用,卻可以得到一個更一般的結(jié)論,即對于任意的實數(shù)λ≠(lna)-1,有
進一步地,還可以由特例2推出比推論1更為廣泛的如下結(jié)論成立.
推論2設f(x),g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,f(x)≠g(x),且
4、整地改土:由于項目區(qū)為沙質(zhì)土,土壤有機質(zhì)含量低,需要對土地進行全面整治,通過人工施肥、深耕等措施,提高土地生產(chǎn)力。
(7)
證在特例2中令φ(x)=[g(x)]s(x),φ(x)=[f(x)]t(x),則c=ad.由(4)式可得
因此
以下是推論2的幾個特例:
(iii) 推論2 中當s(x)=fr(x),t(x)=gr(x)(其中r是任意實數(shù))時,首先由(4)式可得
接下來,由(7)式,立即可以得到
(8)
推論3設f(x),g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,f(x)≠g(x),且
(9)
由推論3,立即可以得到以下結(jié)果:
設f(x),g(x),Φ(x),Ψ(x),φ(x),φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,
一方面
另一方面
因此
(10)
由上面的(10)式,立即可以得到以下特例.
特例3設f(x),g(x),Φ(x),Ψ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,
(11)
特例4設f(x),g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,
則
(12)
本文對最近第十二屆全國大學生數(shù)學競賽(非數(shù)學類)預賽中的一道試題從多個角度進行了延拓與縱深推廣,拓展了教學內(nèi)容.在高校數(shù)學課程教學中,恰當?shù)匾肱c授課章節(jié)內(nèi)容貼合的數(shù)學競賽題,豐富了數(shù)學課堂的例題庫.教學中對數(shù)學競賽題進行延伸性改編,不但激發(fā)了同學們的學習熱忱和積極參與競賽的熱情,而且?guī)椭送瑢W們學會去發(fā)現(xiàn)新問題、綜合運用數(shù)學方法解決問題,由此提升了創(chuàng)新思維與科研能力.
致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.