萬安華

(中山大學 數(shù)學學院，廣州510275)

1 引 言

高等數(shù)學是高校本科非數(shù)學類專業(yè)的一門重要基礎課.教師如何在課堂教學中傳授數(shù)學思想與數(shù)學方法是值得深入研究的課題[1].在高等數(shù)學的課堂教學中，選取富有啟發(fā)性的例題進行適當?shù)难油?，有利于培養(yǎng)同學們的創(chuàng)新思維能力[2]. 教師將每年的全國大學生數(shù)學競賽試題及時引入相關章節(jié)的課堂教學中，并且通過綜合運用數(shù)學方法將競賽題進行多角度的延拓，不僅加強了例題的新穎性，也極大地激發(fā)了同學們的學習熱忱.

2 分析與推廣

引言中這道競賽題中出現(xiàn)了兩個底和指數(shù)互換位置的冪指函數(shù)[f(x)]g(x)和[g(x)]f(x). 對于一般的冪指函數(shù)u(x)v(x)(u(x)>0，u(x)不恒為1)，可將其轉(zhuǎn)化為u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，由此來理解和處理冪指函數(shù)相關的數(shù)學問題. 當u(x)v(x)→1(在自變量x的某種變化趨勢下)時，運用等價無窮小代換et-1～t(t→0)[3]， 可得

u(x)v(x)-1=ev(x)lnu(x)-1～v(x)lnu(x).

再進一步地推廣為更加廣泛的情形

因此只需考慮最后一種推廣情形，前面的幾種情形均可作為其特例而導出.其次，擬對冪指函數(shù)[f(x)]g(x)和[g(x)]f(x)的底作推廣，可考慮一般的

綜上分析，可將第一種推廣思路和第二種推廣思路結(jié)合起來，直接考慮包括了上述兩種推廣方向的一般情形

最后，還將考慮一般情形的

這一類型包括了

為特例，而此特例又包括了

為其特殊情況.

下面展開對上述幾種推廣情形的具體分析，并導出相應的結(jié)果.

2.1 對指數(shù)和底均作延拓后的一般情形

設f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)，φ(x)，φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，

一方面

另一方面

因此

(1)

特例1設f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，

(2)

注1 引言中的競賽題即為特例1在Φ(x)=f(x)，Ψ(x)=g(x)時的特殊情況，由(2)式即得

(3)

特例2設f(x)，g(x)，φ(x)，φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，

(4)

由特例2，可以得到下面的推論.

(5)

證由特例2，立即可得

因此

(6)

注2 作為(6)式的直接應用，卻可以得到一個更一般的結(jié)論，即對于任意的實數(shù)λ≠(lna)-1，有

進一步地，還可以由特例2推出比推論1更為廣泛的如下結(jié)論成立.

推論2設f(x)，g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，f(x)≠g(x)，且

4、整地改土：由于項目區(qū)為沙質(zhì)土，土壤有機質(zhì)含量低，需要對土地進行全面整治，通過人工施肥、深耕等措施，提高土地生產(chǎn)力。

(7)

證在特例2中令φ(x)=[g(x)]s(x)，φ(x)=[f(x)]t(x)，則c=ad.由(4)式可得

因此

以下是推論2的幾個特例：

(iii) 推論2 中當s(x)=fr(x)，t(x)=gr(x)(其中r是任意實數(shù))時，首先由(4)式可得

接下來，由(7)式，立即可以得到

(8)

推論3設f(x)，g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，f(x)≠g(x)，且

(9)

由推論3，立即可以得到以下結(jié)果：

2.2 推廣到對數(shù)函數(shù)的一般情形

設f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)，φ(x)，φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，

一方面

另一方面

因此

(10)

由上面的(10)式，立即可以得到以下特例.

特例3設f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，

(11)

特例4設f(x)，g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，

則

(12)

3 結(jié) 論

本文對最近第十二屆全國大學生數(shù)學競賽(非數(shù)學類)預賽中的一道試題從多個角度進行了延拓與縱深推廣，拓展了教學內(nèi)容.在高校數(shù)學課程教學中，恰當?shù)匾肱c授課章節(jié)內(nèi)容貼合的數(shù)學競賽題，豐富了數(shù)學課堂的例題庫.教學中對數(shù)學競賽題進行延伸性改編，不但激發(fā)了同學們的學習熱忱和積極參與競賽的熱情，而且?guī)椭送瑢W們學會去發(fā)現(xiàn)新問題、綜合運用數(shù)學方法解決問題，由此提升了創(chuàng)新思維與科研能力.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.