胡宏昌， 王 婧

(湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石435002)

1 引 言

序貫分析法是A.Wald在二戰(zhàn)期間為滿足軍火的質(zhì)檢工作而提出的，序貫概率比檢驗是序貫分析的重要內(nèi)容之一，其成果豐富(參見文獻[1-4]).文獻[1]對序貫概率比檢驗作了較系統(tǒng)地介紹，給出了在伯努利分布和正態(tài)分布的序貫概率比檢驗，并且利用隨機游動的性質(zhì)導出序貫概率比檢驗(SPRT)的統(tǒng)計性質(zhì)；文獻[5-6]分別研究了指數(shù)分布和泊松分布中參數(shù)的序貫概率比檢驗，給出了相應(yīng)情形下序貫概率比檢驗平均樣本容量計算公式，并進行了隨機模擬.

正態(tài)分布是最重要而又非常常見的分布，由該分布可以產(chǎn)生半正態(tài)分布.關(guān)于半正態(tài)分布的研究成果雖然不能與正態(tài)分布相提并論，但還是存在一些(參見文獻[7-10])，其中文獻[9-10]給出了半正態(tài)分布的相關(guān)結(jié)論.然而，似乎沒有人研究半正態(tài)分布的序貫概率比檢驗，本文將對此進行初步探討，以便拓寬大學生在學習《概率論》和《數(shù)理統(tǒng)計學》的相關(guān)知識和視野.

2 半正態(tài)分布中參數(shù)的序貫概率比檢驗

先給出半正態(tài)分布的定義，然后用SPRT法研究半正態(tài)分布中參數(shù)的檢驗問題.

定義[7]如果隨機變量X的概率密度為

其中參數(shù)θ>0，則稱隨機變量X服從參數(shù)為θ的半正態(tài)分布，簡記為X～HN(θ).

設(shè)X1，X2，…取自總體X～HN(θ)的一個樣本，其觀測值為x1，x2，….討論如下簡單的假設(shè)檢驗問題：

H1∶θ=θ1?H2∶θ=θ2(其中不妨設(shè)0<θ1<θ2).

為此，考慮似然比統(tǒng)計量

(1)

對于給定的兩個常數(shù)A，B(0

則當λn≥B時，可得

(2)

當λn≤A時，可得

(3)

于是由(2)，(3)式可得停止法則為

(4)

3 SPRT的一些性質(zhì)

性質(zhì)1令Zi=ln(f(Xi，θ2)/f(Xi，θ1))，則存在函數(shù)h=h(θ)≠0使得E(exp{hZ1})=1.

由介值性定理容易證明下式成立

由此即可得到E(exp{hZ1})=1.

性質(zhì)2[1]若存在h=h(θ)≠0使得E(exp{hZ1})=1，則檢驗的操作特性函數(shù)的近似公式為

性質(zhì)3平均樣本容量的近似計算公式如下：

證由于EX2=θ2， EX4=3θ4(參見文獻[7])，所以

(5)

(6)

(7)

這里Eθ1τ*， Eθ2τ*由下面四種情形確定：

(8)

(9)

其中

(10)

(11)

其中

4 模擬算例

下面舉出一例將SPRT法與Neyman-Pearson檢驗法所需平均樣本容量進行比較，說明前者優(yōu)于后者.

取θ1=1.0，θ2=1.2，在給定的檢驗水平下SPRT法所需要的平均樣本容量的近似值見表1、表2及表3.

表1 Eθ1τ*的近似值

表2 Eθ2τ*的近似值

表3 Eτ*的近似值

為了說明SPRT法的優(yōu)越性，將其平均樣本容量(見表3)與使用Neyman-Pearson檢驗法時所需要的平均樣本容量n(見下表4)相比較(見表5).為此，先給出n的表達式.

表4 N-P檢驗法下的最優(yōu)樣本容量

表5 SPRT平均樣本量與N-P檢驗法的最優(yōu)樣本容量之比

由中心極限定理得

從而經(jīng)計算可得

其中uα，u1-β為標準正態(tài)分布的分位數(shù).

由表5可知，在半正態(tài)分布中，SPRT所得平均樣本量相對于N-P檢驗法最優(yōu)樣本量的占比最少約為36.28%，最多約為46.93%，占比均在35%-50%之間.序貫概率比檢驗中所得的平均樣本容量要比固定樣本容量的最優(yōu)檢驗所得的樣本量還要少得多，由此可顯現(xiàn)序貫概率比檢驗高效的特點.

5 結(jié) 論

本文考慮了半正態(tài)分布中參數(shù)的序貫概率比檢驗，主要得到了檢驗的停止法則、操作特性函數(shù)和平均樣本容量，并用模擬算例說明了序貫概率比檢驗中所得的平均樣本容量要比固定樣本容量的最優(yōu)檢驗所得的樣本量還要少得多.這些內(nèi)容將在正態(tài)分布和假設(shè)檢驗的教學中具有指導作用，拓寬高校大學生的統(tǒng)計學知識和視野.

致謝本文在參考了陳家鼎教授等十篇文獻的基礎(chǔ)上完成，采納了審稿專家的寶貴修改意見.為此，對相關(guān)作者及審稿人表示衷心的感謝！