董俊超

(煙臺(tái)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山 煙臺(tái)264005)

1 引 言

簡單隨機(jī)抽樣是抽樣調(diào)查課程中最簡單的一種抽樣方法，因?yàn)槠湓趯?shí)踐中操作簡單，所以使用最為廣泛.關(guān)于它的定義一般有兩個(gè)：一個(gè)是基于全樣本過程(whole sample procedure)的抽樣(見下文定義1)，另一個(gè)是基于逐個(gè)抽取不放回過程(draw-by-draw without replacement procedure)的抽樣(見下文定義2).關(guān)于這兩個(gè)定義的關(guān)系, 國內(nèi)一般的教科書及一些專著，比如馮士雍等[1],杜子芳[2]，孫山澤[3]的著作中都略有論述.本文的目的則是更詳盡地討論它們的關(guān)系，說明在一定意義下，它們是等價(jià)的；在另外的意義下，它們是不等價(jià)的；同時(shí)指出也可以有其它的方法來實(shí)現(xiàn)簡單隨機(jī)抽樣.

另外需要指出的一點(diǎn)是，在一般的《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教課書中所說的抽樣方法是放回的簡單隨機(jī)抽樣，而在抽樣調(diào)查課程中所說的抽樣方法要多很多.現(xiàn)在越來越多的人都在用抽樣調(diào)查的方法來研究實(shí)際問題，比如孫華娟等[4]，胡良劍等[5]就用抽樣調(diào)查方法來研究問題.

2 變概率抽樣可作為簡單隨機(jī)抽樣的例子

為了下面敘述的方便，把馮士雍等[1]著作中的定義敘述如下:

定義2[1]從總體的N個(gè)單元中，逐個(gè)不放回地抽取單元，每次抽取到尚未在樣本(未入樣)中的任何一個(gè)單元的概率都相等，直到抽足n個(gè)單元為止，這樣所得的n個(gè)單元組成一個(gè)簡單隨機(jī)樣本.

為了區(qū)分定義1與定義2，不妨稱定義1中的簡單隨機(jī)抽樣為基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機(jī)抽樣；定義2中的簡單隨機(jī)抽樣為基于逐個(gè)抽取不放回過程(draw-by-draw without replacement procedure)的簡單隨機(jī)抽樣.

一般的統(tǒng)計(jì)學(xué)課程中考慮的是無序樣本，只要樣本的分布是一樣的，這樣的抽樣就認(rèn)為是等價(jià)的.因此從這個(gè)意義上講，由于基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機(jī)抽樣(定義1)與基于逐個(gè)抽取不放回過程(draw-by-draw without replacement procedure)的簡單隨機(jī)抽樣(定義2)所得的樣本分布是一樣的，可以說這兩個(gè)定義是等價(jià)的.這個(gè)在在馮士雍等[1]中已有說明.

但是從另外意義上來講，抽樣調(diào)查不僅要考慮樣本的分布，還要考慮抽樣過程的設(shè)計(jì)，因?yàn)槔贸闃舆^程所包含的信息可以設(shè)計(jì)出更好的估計(jì)量.這個(gè)在著作[1]中的第五章中就有論述，更詳盡的論述可參看MURTHY[6]及DES R[7].定義1得到的是一個(gè)無序樣本，它只說明了最終的樣本分布，而不包含抽樣的過程；而定義2得到的是一個(gè)有序樣本(盡管我們不考慮它的順序)，它不僅包含抽樣的過程，還有與定義1有相同的樣本分布.定義2包含的信息比定義1包含的信息要多，所以在這個(gè)意義下，不能說定義1與定義2是等價(jià)的.

為了更清楚地說明這一點(diǎn), 不妨借助于變概率抽樣(varying-probability sampling) 這個(gè)概念來說明變概率抽樣也可以實(shí)現(xiàn)定義1中的簡單隨機(jī)抽樣.關(guān)于變概率抽樣，文獻(xiàn)中并沒有給出精確的說法, 只有一個(gè)比較籠統(tǒng)的說法，比如在戈文達(dá)拉玉盧[8]中略有介紹.為了下面說話方便, 給出一個(gè)精確性的定義：

定義3在由N個(gè)單元組成的總體中，逐個(gè)從總體當(dāng)中抽取單元(可以是放回抽樣也可以是不放回抽樣)；如果至少有一次在抽取尚未在樣本中的單元時(shí)，它們被抽到的概率不都相等，直到抽足n個(gè)單元為止，則這樣的一種抽樣方法稱為變概率抽樣(varying-probability sampling).

定義3實(shí)際上就是與定義2相對立的概念, 即不滿足定義2的概念我們稱為定義3(在不放回抽樣時(shí)). 下面將說明，變概率抽樣也可以滿足定義1.

用pi表示逐個(gè)抽樣抽取第一個(gè)樣本單元時(shí)，第i個(gè)單元被抽到的概率；用pj|i表示抽取第二個(gè)樣本單元時(shí)，在第1次抽到第i個(gè)單元的條件下第2次抽到第j個(gè)單元時(shí)的概率；其它記號(hào)以此類推.

現(xiàn)考慮一個(gè)從由N=4個(gè)單元組成的總體中，抽取容量為n=2的一個(gè)樣本,pi及pj|i(i,j=1,2,3,4;i≠j)的定義分別見表1及表2.

表1 pi的值

表2 pj|i的值

顯然上面定義的抽樣是一個(gè)變概率抽樣，因?yàn)闊o論是抽取第1個(gè)樣本單元還是抽取第2個(gè)樣本單元，抽取它們的概率并不都相等；現(xiàn)計(jì)算任意一個(gè)樣本{i,j}被抽中的概率p(i,j)：

p(i,j)=pipj|i+pjpi|j，i≠j;i,j=1,2,3,4.

分別計(jì)算之，比如

注1 定義2只是定義1的一個(gè)實(shí)現(xiàn)；變概率抽樣也可以是定義1的一個(gè)實(shí)現(xiàn).

3 進(jìn)一步的討論

對于抽樣設(shè)計(jì)，除了前面提到的全樣本方法(whole sample procedure)，逐個(gè)抽取不放回方法(draw-by-draw without replacement procedure)外；還有逐個(gè)抽取放回方法(draw-by-draw with replacement procedure).逐個(gè)抽取放回抽樣也可以實(shí)現(xiàn)定義1的簡單隨機(jī)抽樣，見SAMPFORD M R[9], 不再討論.

表3 總體容量N=6樣本容量n=3的一個(gè)抽樣分布

π12=P{1,2,3}+P{1,2,4}+P{1,2,5}+P{1,2,6}=0.04+0.03+0.04+0.09=0.2，

注2 不等概率抽樣(定義4)也可以有與滿足定義1抽樣一樣的性質(zhì)(限于一階矩及二階矩).

由此，不妨給出簡單隨機(jī)抽樣的更具一般性的(廣義)定義：

4 結(jié)束語

本文給出了變概率抽樣(定義3)以及廣義簡單隨機(jī)抽樣(定義5)的定義.指出了不僅基于逐個(gè)抽取不放回過程(draw-by-draw without replacement procedure)的簡單隨機(jī)抽樣(定義2)可以實(shí)現(xiàn)基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機(jī)抽樣(定義1)，而且變概率抽樣(定義3)也可以實(shí)現(xiàn)基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機(jī)抽樣(定義1)；基于一階矩及二階矩，不等概率抽樣(定義4)也可以實(shí)現(xiàn)基于全樣本過程(whole sample procedure)的簡單隨機(jī)抽樣(定義1).但變概率簡單隨機(jī)抽樣在實(shí)際當(dāng)中很難操作，它只是一個(gè)理論結(jié)果，實(shí)際當(dāng)中的簡單隨機(jī)抽樣還是用定義2所確定的簡單隨機(jī)抽樣.本文的結(jié)論只是對簡單隨機(jī)抽樣理論的一個(gè)補(bǔ)充，希望對有關(guān)人員有所裨益.

致謝作者非常感謝審稿專家提出的寶貴意見，使得本文的論述更加清晰，準(zhǔn)確.