【摘要】離散數(shù)學(xué)是信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)必修基礎(chǔ)課程，對(duì)提高學(xué)生的抽象思維能力與邏輯推理能力有重要作用。數(shù)理邏輯是離散數(shù)學(xué)課程的重要分支，本文針對(duì)數(shù)理邏輯中的蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞的定義及相關(guān)命題的符號(hào)化進(jìn)行教學(xué)改革研究。結(jié)合蘊(yùn)涵詞的教學(xué)目標(biāo)，本文給出切實(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，其以守信美德為引入點(diǎn)，重點(diǎn)講授蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞的定義和條件語(yǔ)句的符號(hào)化。蘊(yùn)涵詞的重難點(diǎn)是掌握蘊(yùn)涵式的真值只有當(dāng)前件為真且后件為假時(shí)才為假、區(qū)分充分條件和必要條件，通過(guò)學(xué)生討論守信問(wèn)題和思政例題突破重難點(diǎn)，使學(xué)生深刻掌握該知識(shí)。

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué)? 教學(xué)改革? 思政融合? 蘊(yùn)涵詞

【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然科學(xué)基金（No. 61901218），江蘇省自然科學(xué)基金China（No. BK20190407）。

【中圖分類(lèi)號(hào)】O158-4 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）22-0021-02

一、緒論

離散數(shù)學(xué)是信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)必修基礎(chǔ)課程，含有數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論四個(gè)分支，其在計(jì)算機(jī)科學(xué)理論，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，計(jì)算機(jī)軟件和計(jì)算機(jī)應(yīng)用中具有廣泛地應(yīng)用，是它們的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，對(duì)提高學(xué)生的抽象思維能力與邏輯推理能力有重要作用。

數(shù)理邏輯與集合論是同構(gòu)關(guān)系，而代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論都是在集合論的基礎(chǔ)上構(gòu)建出來(lái)的，所以學(xué)好數(shù)理邏輯是掌握離散數(shù)學(xué)的根本。命題聯(lián)結(jié)詞，尤其是蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞，是數(shù)理邏輯的入門(mén)課程，是開(kāi)啟數(shù)理邏輯學(xué)習(xí)歷程的鑰匙，也是集合論中定義所用的描述語(yǔ)言。學(xué)好蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞，不僅可以打好推理理論的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)集合論中關(guān)系的性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí)的必備工具。但是學(xué)生一般難以理解蘊(yùn)涵詞前件為假的真值，由此無(wú)法有效地進(jìn)行后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。因此，如何令學(xué)生熟練掌握蘊(yùn)涵詞的真值表和蘊(yùn)涵詞的符號(hào)化變得至關(guān)重要。

根據(jù)習(xí)近平總書(shū)記的講話精神，高校教育要專(zhuān)業(yè)能力培養(yǎng)和思想政治工作兩手抓，培養(yǎng)有正確思想觀念、價(jià)值取向和人生態(tài)度的優(yōu)秀專(zhuān)業(yè)人才。當(dāng)今社會(huì)金錢(qián)主義、消費(fèi)主義等不良思潮盛行，高校教育更應(yīng)全方面多維度地開(kāi)展思政融合改革，以避免學(xué)生遭受消極思想影響。離散數(shù)學(xué)作為大學(xué)的先導(dǎo)課程，是培養(yǎng)人工智能、計(jì)算機(jī)、通訊等未來(lái)工程人才的必備課程，是進(jìn)行思政融合的最佳陣地，是落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)的重要抓手。因此，進(jìn)行離散數(shù)學(xué)和思政教育的融合研究刻不容緩，勢(shì)在必行。本文在蘊(yùn)涵詞的教學(xué)過(guò)程中加入了愛(ài)黨誠(chéng)信的思政元素，通過(guò)愛(ài)黨和誠(chéng)信讓學(xué)生更深刻地理解蘊(yùn)涵詞，并深受啟發(fā)。該教學(xué)改革可推動(dòng)離散數(shù)學(xué)課程和思政教育的融合的研究工作。

二、蘊(yùn)涵詞的教學(xué)設(shè)計(jì)

在蘊(yùn)涵詞的課程任務(wù)中，教學(xué)的重難點(diǎn)是如何讓學(xué)生理解并掌握前件為假時(shí)蘊(yùn)涵詞的真值，并對(duì)生活化的蘊(yùn)涵語(yǔ)句進(jìn)行正確地符號(hào)化。教學(xué)前要做好學(xué)情分析，離散數(shù)學(xué)一般開(kāi)設(shè)在大學(xué)伊始，而且數(shù)理邏輯部分一般在離散數(shù)學(xué)的前端，蘊(yùn)涵詞是學(xué)好數(shù)理邏輯的必備條件。因此，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯，難免出現(xiàn)不理解不消化的情況，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生克服重難點(diǎn)，徹底掌握蘊(yùn)涵詞的重點(diǎn)內(nèi)容。

本教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，融合愛(ài)黨誠(chéng)信等思政元素，以期突破教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生能很好地掌握本節(jié)內(nèi)容。具體的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

（一）復(fù)習(xí)命題的相關(guān)概念

命題既是上節(jié)課內(nèi)容，又是蘊(yùn)涵詞的學(xué)習(xí)載體，因此，掌握命題的相關(guān)概念是學(xué)習(xí)蘊(yùn)涵詞的必備條件。為了讓學(xué)生更好地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，應(yīng)復(fù)習(xí)命題的相關(guān)概念。首先，復(fù)習(xí)命題的定義：非真即假的陳述句。該陳述句的判斷結(jié)果稱(chēng)為命題的真值，真值為真或假。真值為真的命題稱(chēng)為真命題，真值為假的命題稱(chēng)為假命題。其次，復(fù)習(xí)命題的表示方法：用小寫(xiě)英文字母p， q， r， s， …，表示命題。最后，強(qiáng)調(diào)命題的相關(guān)概念是學(xué)習(xí)蘊(yùn)涵詞所必須的基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)復(fù)習(xí)讓學(xué)生回顧和鞏固相關(guān)知識(shí)，打牢基礎(chǔ)。

（二）以“他是一個(gè)守信的人么”引發(fā)學(xué)生討論

學(xué)生學(xué)習(xí)蘊(yùn)涵詞的重難點(diǎn)在于如何理解前件為假時(shí)整個(gè)蘊(yùn)涵式的真值卻為真。為了讓學(xué)生更輕松地掌握該知識(shí)點(diǎn)，以學(xué)生的生活舉例：“××說(shuō)：如果我的離散數(shù)學(xué)考年級(jí)第一，那么我請(qǐng)所有同學(xué)吃冰淇淋”，那如果他沒(méi)有考年級(jí)第一，而且不請(qǐng)所有同學(xué)吃冰淇淋，是否表示他仍然是個(gè)守信的人呢？以此為主題，引發(fā)學(xué)生討論。結(jié)合學(xué)生討論的結(jié)果，引出結(jié)論。按照常理來(lái)講，我們認(rèn)為××仍然是誠(chéng)信的人，因?yàn)樗蟮臈l件并未達(dá)到。我們以是否誠(chéng)信作為蘊(yùn)涵式真值的取值，從而引出蘊(yùn)涵詞的定義和真值表。

（三）蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞的相關(guān)定義

結(jié)合自然語(yǔ)言常見(jiàn)的“如果……那么……”語(yǔ)句，給出蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞的定義：設(shè)p， q為兩個(gè)命題，復(fù)合命題“如果p， 則q”稱(chēng)作p與q的蘊(yùn)涵式，記作p→q，并稱(chēng)p是蘊(yùn)涵式的前件，q為蘊(yùn)涵式的后件， →稱(chēng)作蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞，讀作p蘊(yùn)含q.規(guī)定：p→q為假當(dāng)且僅當(dāng)p為真q為假，即蘊(yùn)涵式的真值情況見(jiàn)下表。

可以發(fā)現(xiàn)，該真值表與討論是否誠(chéng)信的結(jié)論完全一致。在這里，要注意強(qiáng)調(diào)p→q 的邏輯關(guān)系： q為 p 的必要條件。但是要令學(xué)生明白p和q可以是毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩個(gè)命題，這點(diǎn)不同于自然語(yǔ)言。在自然語(yǔ)言中，前件和后件需要滿足一定的邏輯關(guān)系，但是數(shù)理邏輯中，研究更關(guān)注的符號(hào)和真值情況，而非兩者之間的邏輯關(guān)系，p和q只要是命題即可。

此外，可簡(jiǎn)要介紹古代和中世紀(jì)蘊(yùn)涵思想的研究發(fā)展歷程，并推薦擴(kuò)展閱讀書(shū)籍以激發(fā)學(xué)生的研究興趣，并培養(yǎng)學(xué)生的科研精神。

（四）命題符號(hào)化

符號(hào)化是指將自然語(yǔ)言符號(hào)寫(xiě)為形式語(yǔ)言，方便進(jìn)行演算和證明，是將自然語(yǔ)言處理成數(shù)理邏輯中的語(yǔ)言的有力工具。給出蘊(yùn)涵式符號(hào)化的步驟：找到必要條件，寫(xiě)成蘊(yùn)涵式的后件;找到充分條件，寫(xiě)成蘊(yùn)涵式的前件。

此處的教學(xué)難點(diǎn)是在有些自然語(yǔ)言中很難區(qū)分充分條件和必要條件。具體地講，如果p發(fā)生，那么q必然發(fā)生，p是q的充分條件，符號(hào)化為p→q;如果p不發(fā)生，那么q必然不發(fā)生，p是q的必要條件，符號(hào)化為q→p。常見(jiàn)的難點(diǎn)是“只要p就q”寫(xiě)成p→q，但是“只有p才q”寫(xiě)成q→p。為了令學(xué)生深刻理解兩類(lèi)語(yǔ)句之間的區(qū)別，本課給出例句“只有社會(huì)主義才能救中國(guó)”，“只要中國(guó)共產(chǎn)黨振臂一呼，人民群眾就會(huì)跟隨響應(yīng)”，結(jié)合共產(chǎn)黨建黨歷史和淮海戰(zhàn)役，學(xué)生能切實(shí)地理解兩者之間的區(qū)別，并引導(dǎo)學(xué)生的愛(ài)國(guó)愛(ài)黨思潮。

（五）符號(hào)化學(xué)生討論的主題和相關(guān)例題，給出結(jié)論

針對(duì)討論的主題：“××說(shuō)：如果我的離散數(shù)學(xué)考年級(jí)第一，那么我請(qǐng)所有同學(xué)吃冰淇淋”，令p：我的離散數(shù)學(xué)考年級(jí)第一，q： 我請(qǐng)所有同學(xué)吃冰淇淋，那么這句話可以符號(hào)化p→q。那他沒(méi)有考年級(jí)第一，而且不請(qǐng)所有同學(xué)吃冰淇淋意味著p，q同時(shí)為假，根據(jù)蘊(yùn)涵式的定義，p→q為真命題，那么在數(shù)理邏輯中，認(rèn)為該句仍是真命題，那么也可以認(rèn)為他是守信的。

此外，結(jié)合復(fù)雜的復(fù)合命題的例句，通過(guò)提問(wèn)、雨課堂等多樣方式考查學(xué)生是否掌握。若學(xué)生仍不理解，要重申蘊(yùn)涵詞的學(xué)習(xí)重難點(diǎn)，詢問(wèn)學(xué)生的盲點(diǎn)，并在課堂上立即解決疑問(wèn)，積極推進(jìn)授課任務(wù)的完成。

（六）課堂小結(jié)，布置作業(yè)

在課程的最后，總結(jié)本節(jié)內(nèi)容，尤其強(qiáng)調(diào)本課的重難點(diǎn)。通過(guò)反復(fù)講授蘊(yùn)涵詞的真值表和符號(hào)化方法，以春風(fēng)化雨般滋養(yǎng)滲透學(xué)生，從而讓學(xué)生更深入全面地掌握本節(jié)課的內(nèi)容。另外，給出作業(yè)文檔和擴(kuò)展閱讀資料。作業(yè)應(yīng)針對(duì)教學(xué)重難點(diǎn)設(shè)計(jì)豐富的內(nèi)容，并根據(jù)學(xué)生掌握的程度給出難度分布合理的作業(yè)。針對(duì)積極鉆研的同學(xué)，可讓其閱讀蘊(yùn)涵詞的中內(nèi)外發(fā)展過(guò)程，切實(shí)體會(huì)定義定理從無(wú)到有，從有到優(yōu)的研究過(guò)程，從而內(nèi)化稱(chēng)自己的研究路徑，初步掌握科研的基本步驟，為國(guó)家輸送更高品質(zhì)的科研人才。

（七）引出等價(jià)聯(lián)結(jié)詞

通過(guò)留疑問(wèn)：“如果兩個(gè)條件互為充分必要條件，那應(yīng)該怎么表示呢”，讓學(xué)生思考這種情況如何通過(guò)蘊(yùn)涵詞表示，從而在下節(jié)課時(shí)可以順勢(shì)引出等價(jià)聯(lián)結(jié)詞。并讓學(xué)生尋找生活是否存在等價(jià)關(guān)系，那是否滿足互為充分必要條件。以生活為引，讓學(xué)生理解離散數(shù)學(xué)實(shí)際遍布生活的各個(gè)角落，學(xué)好離散數(shù)學(xué)不僅能用于鉆研科研難題，更能回饋在生活中。

三、小結(jié)

本文以離散數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容蘊(yùn)涵詞為研究?jī)?nèi)容，結(jié)合愛(ài)黨誠(chéng)信等思政因素，給出了具體的教學(xué)設(shè)計(jì)文稿。本設(shè)計(jì)首先通過(guò)課堂討論引發(fā)學(xué)生的激烈討論，從而活躍課堂，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。其次，本設(shè)計(jì)通過(guò)愛(ài)黨的思政例題讓學(xué)生更好地掌握蘊(yùn)涵式的真值表，并感悟中國(guó)在中國(guó)共產(chǎn)黨的領(lǐng)導(dǎo)下的砥礪前行，繁榮昌盛，從而突破蘊(yùn)涵詞這節(jié)內(nèi)容的重難點(diǎn)，更加深刻地掌握本節(jié)內(nèi)容。最后，本教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)留疑問(wèn)和增加擴(kuò)展閱讀材料，啟發(fā)學(xué)生自動(dòng)思考，去鉆研生活中的離散數(shù)學(xué)難題和相關(guān)科研難題，從而培養(yǎng)了學(xué)生的科研精神，具有很強(qiáng)的操作性，有助于培養(yǎng)具有縝密的邏輯思維能力和高道德品質(zhì)的專(zhuān)業(yè)性人才。本教學(xué)改革充分考慮了學(xué)生的學(xué)情，突破了教學(xué)重難點(diǎn)，并結(jié)合思政元素以期為國(guó)家培養(yǎng)具備愛(ài)國(guó)愛(ài)黨的家國(guó)情懷的信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)人才。

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作者簡(jiǎn)介：

周玉倩（1989年-）女，漢族，河南新鄉(xiāng)人，講師，研究生（博士），研究方向?yàn)殡x散數(shù)學(xué)教學(xué)改革。