（南京理工大學 電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094）

引言

光學平面面形的相對測量結果受干涉儀參考平晶面形精度的影響，絕對檢驗技術能夠分離出參考平晶的面形誤差，實現(xiàn)平晶面形的高精度檢測。G.Schulz 和J.Schwider 最早提出了三平板互檢法，獲取一條直徑方向上的絕對面形分布[1]，韓森等人在此基礎上增加一次旋轉(zhuǎn)測量，得到全面形分布[2]。三平板互檢法在測量過程中需要更換參考鏡，操作不便。繼而發(fā)展出兩平板絕對檢驗方法，主要包括偽剪切法[3-5]、旋轉(zhuǎn)平移法[6-10]及兩平板三面互檢法[11-12]。Keenan 提出偽剪切方法，平移待測鏡得到絕對面形偏差，再通過積分得到絕對面形分布，但是在平移過程中容易引入額外傾斜，無法重建待測波面的離焦和像散項[3]。Fujimoto 提出旋轉(zhuǎn)平移法，在偽剪切方法的基礎上增加一次旋轉(zhuǎn)測量，重建了像散項誤差，仍然不能恢復離焦項[6]。徐晨等人提出了兩平晶三面互檢的絕對檢驗方法，通過提前測量測試平晶的折射率非均勻性，結合Zernike 多項式得到絕對面形低頻分布[11]。在此基礎上，孫文卿分別從空域和頻域使用圖像旋轉(zhuǎn)算法和快速傅里葉變換方法解算波面，此時圖像旋轉(zhuǎn)算法集中于低頻波面的求解[12]。

本文采用基于N次圖像旋轉(zhuǎn)法的兩平晶三面互檢方法，對平晶的三維絕對面形進行求解，結果中包含了中頻波段的面形誤差。推導了算法的理論誤差，仿真計算了虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)和算法精度之間的關系，通過優(yōu)化旋轉(zhuǎn)角度和增加虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)，降低了算法誤差，提高了算法精度。分析了旋轉(zhuǎn)角度、像素錯位和平晶折射率非均勻性誤差對檢測精度的影響。

1 原理

圖1給出了兩平晶三面互檢法測量原理，平晶Ⅰ為參考平晶，平晶Ⅱ為測試平晶，這4次干涉測量可以用以下方程式表示：

式中：Mn(n=1,2,3,4)為測得的波面數(shù)據(jù)；δ(x,y)表示平晶Ⅱ折射率非均勻性導致的偏差；n表示光學元件的折射率；[?]?表示將波面繞光軸z旋轉(zhuǎn) ?角。

圖1 兩平晶三面互檢法的原理圖Fig.1 Schematic of two-flat crystal three-sided mutual test method

通常情況下，任意一個圓形光學元件的三維波面誤差函數(shù)都能分解為旋轉(zhuǎn)不變項和旋轉(zhuǎn)變化項[13]，將（1）式中的波面函數(shù)分解為旋轉(zhuǎn)不變項和旋轉(zhuǎn)變化項2 部分，此時根據(jù)（1）式的前3 項旋轉(zhuǎn)不變項方程，可以直接求解出待測平晶絕對面形中的旋轉(zhuǎn)不變項。

對于面形中的旋轉(zhuǎn)變化項，可以采用N次圖像旋轉(zhuǎn)法求解。N次圖像旋轉(zhuǎn)法是基于Evans 提出的旋轉(zhuǎn)平均法的思想[14]，構造遞推公式，利用M3和M4兩次測量數(shù)據(jù)，對旋轉(zhuǎn)變化項進行N次虛擬旋轉(zhuǎn)。其中，等效最小旋轉(zhuǎn)角度φ為實際旋轉(zhuǎn)角度?與360°的最大公約數(shù)，虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)

定義旋轉(zhuǎn)變化項序列Pj(0 ≤j≤N)，其中P0為M3的旋轉(zhuǎn)變化項，P1為M4的旋轉(zhuǎn)變化項，并利用迭代法構造出該計算序列的遞推公式：

式中：[?]θ表示波面數(shù)據(jù)中與旋轉(zhuǎn)角度θ有關的旋轉(zhuǎn)變化項，將待測波面C的旋轉(zhuǎn)變化項Cθ用極坐標Zernike 多項式表示（m≠0），并對前N項進行疊加平均：

使用歐拉公式對其中的余弦項和正弦項進行化簡求和，當m≠kN(k=1,2,3······)時，（3）式中的余弦求和項與正弦求和項均為0，只剩下kNθ項，并記作CkNθ，因此旋轉(zhuǎn)平均的結果可以記作：

當忽略kNθ項誤差時，可以得到待測波面的旋轉(zhuǎn)非對稱部分，其中kNθ項與旋轉(zhuǎn)次數(shù)N密切相關，即N次圖像旋轉(zhuǎn)法的理論誤差。將求解的旋轉(zhuǎn)不變項和旋轉(zhuǎn)變化項相加，得到待測平晶的絕對面形分布。

2 仿真分析

本文以150 mm 口徑平晶的實測表面數(shù)據(jù)作為原始波面數(shù)據(jù)，對N次圖像旋轉(zhuǎn)法進行仿真計算，將原始波面記為A、B和C，根據(jù)兩平晶三面互檢法的測量步驟，翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)和疊加運算后得到4次測量結果，并根據(jù)N次圖像旋轉(zhuǎn)算法進行求解。

根據(jù)現(xiàn)有文獻可知[15]，在平晶絕對檢驗中旋轉(zhuǎn)角度常取54°，此時等效最小旋轉(zhuǎn)角為18°，圖像虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)為20次，原始波面、計算波面及計算波面與原始波面點對點相減得到的殘差波面的PV、RMS值由表1給出。計算波面的PV值和RMS值數(shù)據(jù)也與原始波面基本一致，殘差波面的PV值為2 nm，僅為原始波面PV值的3.33%；殘差波面的RMS值為0.179 nm，僅為原始波面RMS值的4.15%。

表1 兩平晶三面互檢中旋轉(zhuǎn)角度為54°時的各波面數(shù)據(jù)Table1 Wavefront data at 54 ° rotation angle of two-flat crystal three-sided mutual test nm

盡管54°被論證為光學實驗中采用Zernike 多項式法進行面形恢復的最佳角度[16]，但是N次圖像旋轉(zhuǎn)法的理論誤差kNθ項與旋轉(zhuǎn)次數(shù)密切相關，虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)越多，算法的理論計算精度越高，本文將針對N次圖像旋轉(zhuǎn)法中的虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)N進行仿真分析。

N次圖像旋轉(zhuǎn)法中的旋轉(zhuǎn)次數(shù)與等效最小旋轉(zhuǎn)角有關，根據(jù)等效最小旋轉(zhuǎn)角的定義，旋轉(zhuǎn)次數(shù)的取值范圍為360°的24組公約數(shù)。表2為部分旋轉(zhuǎn)次數(shù)下的殘差波面的PV值和RMS值。圖2給出了旋轉(zhuǎn)次數(shù)和殘差波面RMS值之間的關系，當旋轉(zhuǎn)次數(shù)小于40次時，殘差波面的RMS值隨著旋轉(zhuǎn)次數(shù)的增加而大幅度下降，當旋轉(zhuǎn)次數(shù)大于40次時，殘差波面的RMS值下降趨勢趨于平緩。

表2 N次圖像旋轉(zhuǎn)法的不同旋轉(zhuǎn)次數(shù)下的殘差波面數(shù)據(jù)Table2 Residual wavefront data with different rotation times nm

圖2 N次圖像旋轉(zhuǎn)法中旋轉(zhuǎn)次數(shù)與殘差波面均方根值的關系Fig.2 Relationship between rotation times and RMS of residual wavefront

圖3為旋轉(zhuǎn)角度分別為48°、54°和63°時的殘差波面，面形分布呈螺旋對稱狀，對應的虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)N分別為15次、20次和40次，隨著虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)的增加，殘差波面的RMS值逐漸下降，并且殘差波面的中高頻成分增多，符合理論誤差kNθ項的規(guī)律。同時隨著旋轉(zhuǎn)次數(shù)的增加，計算機內(nèi)的波面旋轉(zhuǎn)插值誤差不斷累積，導致邊緣誤差不斷增大，并且計算時間大幅增加，但是提高的精度有限，因此旋轉(zhuǎn)次數(shù)并不能取值過大。綜上所述，本文選取63°為優(yōu)化旋轉(zhuǎn)角度，當旋轉(zhuǎn)角度由54°優(yōu)化為63°時，圖像的虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)N由20次增加為40次，計算精度由0.179 nm 降低到0.141 nm，提高了圖像旋轉(zhuǎn)算法的精確度。

圖3 48°、54°和63°不同旋轉(zhuǎn)角度下求解的殘差波面Fig.3 Residual wavefront at different angles:48°，54° and 63°

3 實驗

使用ZYGO GPI XP型斐索干涉儀進行N次圖像旋轉(zhuǎn)法的兩平晶三面互檢實驗研究，實驗裝置如圖4所示。該干涉儀的工作波長 λ=632.8 nm，CCD的分辨率為640 pixel×480 pixel，利用擴束系統(tǒng)將干涉儀的有效口徑擴展至Ф150 mm。參考平晶為ZYGO 干涉儀自帶的標準平晶（平晶Ⅰ），測試平晶為一塊自制的融石英標準平晶（平晶Ⅱ），將平晶Ⅰ的工作面、平晶Ⅱ的2個表面分別記為A、B 和C。實驗中干涉腔用封閉罩隔離，避免氣流與溫度波動的干擾，干涉腔內(nèi)的溫度為20.2℃，濕度為51.8%，干涉腔長為80 mm。

圖4 實驗裝置圖Fig.4 Schematic diagram of experimental device

實驗過程中進行4次干涉測量，分別是：1）表面A與表面B的干涉，2）表面A與表面C的干涉，3）表面A 在平晶Ⅱ繞y軸翻轉(zhuǎn)180°后與表面C的干涉，4）表面A 在平晶Ⅱ繞z軸逆時針旋轉(zhuǎn) ?角后與表面C的干涉。具體得到的4次測量波面如圖5所示，其中第2次測量中測試光束需要透過平晶Ⅱ，圖5（b）的波面數(shù)據(jù)因為折射率非均勻性而引入波差，因此需要對待測平晶進行折射率非均勻性測量并將其消除。

圖5 兩平晶三面互檢實驗的測量波面Fig.5 Measured wavefront of two-flat crystal three-sided mutual test

在ZYGO 干涉儀上采用絕對測量法[17]對折射率非均勻性進行測量，并在測量過程中應盡量保持平晶Ⅱ的位置姿態(tài)與絕對檢驗實驗中一致，減小位置誤差對測量結果的影響。圖6為計算得到的折射率非均勻性引入的波面誤差，PV值為0.051λ，RMS值為0.005 4λ，平晶Ⅱ的厚度d為30 mm，折射率非均勻性引入的波差是光程差信息，折射率非均勻性的標準評價參數(shù)

圖6 Ф150 mm 平晶Ⅱ的折射率非均勻性波差分布Fig.6 Heterogeneity wave-aberration distribution of refractive index of Ф150 mm flat-crystal Ⅱ

將測試平晶的折射率非均勻性波差扣除后，利用基于N次圖像旋轉(zhuǎn)法的兩平晶互檢程序進行計算，得到的絕對面形分布如圖7所示。

圖7 N次圖像旋轉(zhuǎn)法恢復的的絕對面形分布圖Fig.7 Absolute surface shape distribution recovered by Nposition image rotation method

為了驗證實驗結果的準確性，提取平晶Ⅱ前表面B水平和垂直方向2條直徑上的絕對面形，與傳統(tǒng)三平晶互檢法得到的2條輪廓線上的絕對面形分布進行對比。如圖8所示，N次圖像旋轉(zhuǎn)法的正交直徑上的輪廓分布與傳統(tǒng)三平晶法結果吻合良好，輪廓的起伏走向基本一致,如表3所示，PV值偏差低于2.3 nm，RMS值偏差小于0.5 nm，證明了N次圖像旋轉(zhuǎn)法的兩平晶三面互檢方法的可靠性。

圖8 Ф150 mm 平晶水平垂直方向輪廓線上的絕對面形對比Fig.8 Comparison of absolute surface shape on horizontal and vertical profiles of Ф150 mm flat-crystal

表3 絕對檢驗恢復的Ф150 mm 平晶水平垂直輪廓線數(shù)據(jù)對比（單位：nm）Table3 Comparison of horizontal and vertical profiles data of Ф150 mm flat-crystal

4 討論

4.1 旋轉(zhuǎn)誤差

實驗過程中被測平晶進行機械旋轉(zhuǎn)時，會存在一定的旋轉(zhuǎn)角度誤差，影響旋轉(zhuǎn)角度的準確性。在理論旋轉(zhuǎn)角度63°上疊加額外的角度偏差作為實際旋轉(zhuǎn)角度，進行數(shù)值模擬分析，以實際角度下的殘差波面相對于理論角度下殘差波面的PV值和RMS值偏差作為平晶旋轉(zhuǎn)角度誤差對測量結果影響的評價指標。如圖9所示，由于存在邊緣旋轉(zhuǎn)插值誤差，PV值變化不大，但隨著旋轉(zhuǎn)角度偏差的增加，RMS值的偏差逐漸增大。當角度偏差達到1°，面形誤差的RMS值低于0.7 nm。因此旋轉(zhuǎn)角度偏差并非該兩平晶絕對檢驗算法的主要誤差源，在實驗過程中將旋轉(zhuǎn)架的機械精度控制在0.3°以內(nèi)，殘差波面的RMS值偏差低于0.2 nm，可以忽略旋轉(zhuǎn)角度誤差的影響。

圖9 旋轉(zhuǎn)角度偏差和面形精度誤差的關系Fig.9 Relationship between rotation angle deviation and surface shape accuracy error

4.2 像素錯位誤差

如圖10所示，當待測平晶具有一定楔角時，測量過程中的光線發(fā)生偏折，在測量平晶折射率非均勻性時，數(shù)據(jù)存在一定的像素錯位。偏折距離d可近似表示為d≈L(n?1)β，其中L為待測平晶后表面到反射平晶的距離，n為待測平晶的折射率，β為待測平晶的楔角。實驗中150 mm 口徑的待測平晶的楔角為15′，根據(jù)干涉圖像素量換算后，偏折距離應小于1個像素，像素分辨率約為0.323 mm/pixel，則控制L小于148 mm 即可。因此在對待測平晶進行折射率非均勻性測量時，只要控制待測平晶與反射平晶的距離，像素錯位不會對測量結果造成影響。

圖10 折射率非均勻性測量過程中光線偏折示意圖Fig.10 Schematic diagram of deflection of light ray during measuring refractive index heterogeneity

4.3 平晶折射率非均勻性誤差

在兩平晶三面互檢實驗中，待測平晶折射率非均勻性波差與待測波面的旋轉(zhuǎn)不變項的求解有關，將折射率非均勻性波差的旋轉(zhuǎn)不變分量記作δr(x,y)，待測波面的旋轉(zhuǎn)不變項可以表示為

因此折射率非均勻性引入的算法誤差為δr(x,y)/2n，以150 mm口徑平晶為例，折射率非均勻性引入的波差的旋轉(zhuǎn)不變項的PV值為8.59 nm，引入算法誤差的PV值為2.86 nm，通過數(shù)值仿真分析平晶折射率非均勻性誤差對算法的影響。

仿真波面為150 mm 平晶實驗表面數(shù)據(jù)作為原始波面數(shù)據(jù)，PV值為32.45 nm，RMS值為3.41 nm，設平晶厚度為30 mm，光學平晶折射率非均勻性的標準評價參數(shù) (?n)max=1.08×10?6。將原始波面數(shù)據(jù)進行翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)和疊加運算后得到4次測量結果。不考慮折射率非均勻性誤差時，直接對測量數(shù)據(jù)進行求解，得到的殘差波面如圖11（a）所示。表4給出了PV值和RMS值；考慮平晶折射率非均勻性誤差時，將折射率非均勻性引入的波差扣除后，得到的計算波面和殘差波面如圖11（b）所示，表5給出了PV值和RMS值；圖11（c）為兩者殘差波面的差值，即折射率非均勻性引入的算法誤差，其PV值為2.67 nm，RMS值為0.52 nm，與理論誤差 δr(x,y)/2n相符。

圖11 兩平晶三面互檢仿真中有無折射率非均勻性誤差時的殘差波面Fig.11 Residual wavefront with or without refractive index heterogeneity error

表4 不考慮折射率非均勻性誤差時仿真過程中的各波面數(shù)據(jù)（單位：nm）Table4 Wavefront data without refractive index heterogeneity error

表5 考慮折射率非均勻性誤差時仿真過程中的各波面數(shù)據(jù)（單位：nm）Table5 Wavefront data with refractive index heterogeneity error

當測試平晶的折射率非均勻性的標準評價參數(shù)(?n)max<1×10?6時，引入的算法誤差的PV值小于2.67 nm，當對折射率非均勻性引入的波差進行測量并扣除后，殘差波面的PV值由3.36 nm 降低至1.86 nm，RMS值由0.54 nm 降低到0.13 nm，能有效提高算法求解的精度。

5 結論

基于N次圖像旋轉(zhuǎn)法的兩平晶三面互檢方法通過4次實驗測量，在計算機內(nèi)對波面進行N次虛擬旋轉(zhuǎn)，求解得到被測光學平晶的絕對面形分布，滿足中頻波面的檢測需求。本文結果表明試件旋轉(zhuǎn)角度取63°，虛擬旋轉(zhuǎn)次數(shù)N取40次，在保證求解效率的同時，算法精度達到最高。150 mm口徑平晶的實驗結果和傳統(tǒng)三平晶互檢法結果吻合，RMS值偏差小于0.5 nm。對實驗誤差源進行分析，結果表明當平晶旋轉(zhuǎn)角度偏差控制在0.3°以內(nèi)，RMS值偏差低于0.2 nm。當平晶折射率非均勻性標準評價參數(shù) (?n)max<1×10?6時，折射率非均勻性引入的算法誤差的PV值小于2.7 nm。