黃閩海

（福建技術(shù)師范學(xué)院 電子與機(jī)械工程學(xué)院，福建 福州 350300 ）

GeoGebra是一款動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,將圖形、代數(shù)和數(shù)據(jù)表動(dòng)態(tài)結(jié)合，由于其界面的簡(jiǎn)潔性、易操作性、動(dòng)態(tài)可視性，現(xiàn)已在世界各地的課堂上得到越來越廣泛的應(yīng)用，取得了豐碩的成果.源于以上諸多優(yōu)點(diǎn)，GeoGebra（以下簡(jiǎn)寫為GGB）在電磁學(xué)理論的教學(xué)演示、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、仿真實(shí)驗(yàn)、輔助解題等方面所具有的優(yōu)越性值得深入研究[1].

傳統(tǒng)的電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)，通常采用手工方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，存在描點(diǎn)不準(zhǔn)確、繪圖比例不當(dāng)?shù)热秉c(diǎn)，造成人為誤差，導(dǎo)致所得結(jié)果的精度不理想，難以滿足實(shí)驗(yàn)的要求[2-3].本文基于GGB 軟件，在電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)前，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行預(yù)演，將電場(chǎng)、磁場(chǎng)物理量的表達(dá)式轉(zhuǎn)換成形象直觀的幾何曲線；在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理階段，利用GGB 的繪圖功能將試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合成圖形，并從擬合圖形中獲取相關(guān)物理量的數(shù)學(xué)方程，從而方便將理論數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性.通過GGB 軟件的輔助，可極大地減小實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理難度，節(jié)約計(jì)算時(shí)間，更準(zhǔn)確地繪制出電、磁場(chǎng)分布曲線.

1 GeoGebra 應(yīng)用于靜電場(chǎng)等勢(shì)面的測(cè)量實(shí)驗(yàn)

1.1 靜電場(chǎng)的理論依據(jù)

靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng).兩根長(zhǎng)同軸圓柱面間的電勢(shì)分布是靜電場(chǎng)描繪的經(jīng)典實(shí)驗(yàn).由電磁場(chǎng)理論可知，恒定電流的電場(chǎng)和相應(yīng)的靜電場(chǎng)的空間形式是一致的[4].只要電極電勢(shì)不變，電極形狀一定，空間介質(zhì)均勻，在任意考察點(diǎn)，均有U恒定=U靜電或E恒定=E靜電[5].基于此，以同軸圓柱間的“靜電場(chǎng)”來研究電勢(shì)分布（圖1）.半徑為a 的圓柱導(dǎo)體A 和半徑為b 的圓柱殼導(dǎo)體B 同軸放置，分別帶等值異號(hào)電荷，A 和B 間為真空，由高斯定理可知，其電場(chǎng)線沿徑向由A 向B 輻射分布，其等勢(shì)面為一簇同軸圓柱面.因此，只要研究任一垂直軸的橫截面上的電勢(shì)分布，通過正交法即可知道電場(chǎng)的分布.設(shè)A（或B）的電荷線密度為λ，由高斯定理可得：E=λ/2πε0r.

兩圓柱面之間任意半徑為r 的一點(diǎn)電勢(shì)為

令r=b 時(shí)，Ub=0，則有

代入公式（1）得:Ur=Ualn，可導(dǎo)出等勢(shì)線半徑r 的表達(dá)式為r=an×b1-n，式中n=Ur/Ua.

圖1 同軸圓柱間的靜電場(chǎng)

1.2 用GeoGebra 繪制等勢(shì)線

打開GGB，建立2 個(gè)滑動(dòng)條a、b，代表同軸的兩個(gè)半徑，a 的取值范圍為[0.5,1]，步進(jìn)設(shè)置為0.05，b的取值范圍為[6,9]，步進(jìn)設(shè)置為0.1.接著在代數(shù)區(qū)輸入等勢(shì)圓半徑r 的方程f(x)=axb1-x，x 軸代表測(cè)量點(diǎn)電壓與圓柱面之間所加的電壓之比n.

在繪圖區(qū)輸出等勢(shì)線半徑變化的曲線（圖2），調(diào)整xy 軸的比例使x 軸的刻度以0.1 為網(wǎng)格單位顯示出來，選擇描點(diǎn)工具開啟對(duì)齊到網(wǎng)格的功能，可以很容易地捕捉到x 軸上以0.1 為步進(jìn)的r 曲線上的點(diǎn)A、B、C,…,J，共9 個(gè)點(diǎn)，輸入兩個(gè)同軸圓柱的具體半徑，以實(shí)驗(yàn)儀器中a=0.75 cm，b=7.5 cm，UAB=10 V為例，在代數(shù)區(qū)ABC 各點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是各個(gè)等電勢(shì)圓的半徑數(shù)值，用“R 理論”來表示，見圖2 左側(cè)，各點(diǎn)的半徑分別為5.96、4.76、3.76、2.99、…，將其填入圖6 中的GGB 表格區(qū)的“Ur”和“R 理論”列中.如果拖動(dòng)滑動(dòng)條，使a、b 在其取值范圍間變化，對(duì)應(yīng)的曲線亦隨之變化，可以直觀方便地演示等勢(shì)圓半徑變化規(guī)律，在繪圖區(qū)中能動(dòng)態(tài)地觀察到各個(gè)捕捉點(diǎn)的y 軸坐標(biāo)的變化，在教學(xué)中起到示范和引導(dǎo)作用.

以A、B、C,…,J 各點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為半徑，繪制出一系列同心圓，每個(gè)圓之間的電勢(shì)差為0.1Ua，兩同軸間的電壓以10 V 為例，繪出了在理論上間距為1 V 的等勢(shì)線簇（圖3）.

圖2 繪制等勢(shì)線半徑隨n=Ur/Ua變化的曲線

圖3 GGB 繪制理論上的等勢(shì)線簇

1.3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

兩層靜電場(chǎng)測(cè)繪儀如圖4 所示.導(dǎo)電物質(zhì)是一種導(dǎo)電玻璃，玻璃表面均勻地涂一層薄石墨粉，其導(dǎo)電率極低，符合模擬條件.儀器左下邊測(cè)繪的是模擬等值異號(hào)點(diǎn)電荷的等勢(shì)線簇，右下邊測(cè)繪模擬同軸圓柱帶電體的電場(chǎng).將接線柱分別與電池的正極和負(fù)極相連，建立一個(gè)恒定電流場(chǎng)，從而形成一組等勢(shì)線，電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)通過雙層同步探針和靈敏電壓表測(cè)出.為方便測(cè)量和計(jì)算，將兩接線柱的輸入電壓調(diào)節(jié)為直流10 V，僅以同軸圓柱的靜電場(chǎng)為例.

1）連接好設(shè)備，下探針測(cè)量電場(chǎng)某點(diǎn)的電勢(shì)，上探針適當(dāng)用力在繪圖紙上打出同步點(diǎn).

2）測(cè)繪同軸電纜的等勢(shì)線簇.取U=2,3,…,9 V 共8 組，每組8 點(diǎn)，大致分布在8 個(gè)方位上.

圖4 兩層靜電場(chǎng)測(cè)繪儀

1.4 基于GGB 的數(shù)據(jù)處理

在繪圖紙上放一只直尺，拍攝后將照片導(dǎo)入到GGB，將直尺的長(zhǎng)度與繪圖區(qū)的坐標(biāo)軸長(zhǎng)度相比較，算出圖像的放大系數(shù)n；利用“位似工具”選擇導(dǎo)入的圖片，在彈出的縮放比例對(duì)話框中填入1/n，這樣圖片尺度與GGB 坐標(biāo)尺度為1∶1 的關(guān)系，這點(diǎn)非常重要，決定了在GGB 中測(cè)量出來的等勢(shì)線的尺寸與實(shí)際的打點(diǎn)繪圖尺寸能否相符.圖5 是將一系列實(shí)驗(yàn)打出的等勢(shì)點(diǎn)導(dǎo)入到GGB 中的情況，可以看出直尺的刻度與下方的繪圖區(qū)坐標(biāo)已處理為1∶1 的關(guān)系.

圖5 將實(shí)驗(yàn)打點(diǎn)圖導(dǎo)入GGB 處理

將圖片鎖定到坐標(biāo)軸上，通過鼠標(biāo)滾輪的上下滾動(dòng)，可以無極縮放圖片（與坐標(biāo)軸聯(lián)動(dòng)），這樣就可以精細(xì)地處理各系列的等勢(shì)點(diǎn)，這是手工繪制所無法比擬的優(yōu)勢(shì).利用“描點(diǎn)工具”將各打點(diǎn)映射到坐標(biāo)系中，對(duì)某一等勢(shì)線上的點(diǎn)，如圖5 中的D、E、F、G、H、I、J、K 共8 個(gè)點(diǎn)，用圓形擬合工具繪制出最恰當(dāng)?shù)膱A，以保證圓心位置誤差及其對(duì)應(yīng)的半徑標(biāo)準(zhǔn)差均為最小，即為“優(yōu)質(zhì)組合[6]”.在圖5 左邊的參數(shù)區(qū)可以查看到該圓的代數(shù)方程為（x-6.78）2+（y-7.71）2=22.66，將22.66 開根號(hào)，得到的數(shù)值就是這條等勢(shì)線的半徑值.用同樣的方法可以得出一系列等勢(shì)線半徑數(shù)值，用“R 實(shí)驗(yàn)”來表示，也填入到GGB 的表格區(qū)（圖6左方表格的B 列）.

1.5 基于GGB 的實(shí)驗(yàn)誤差分析

通過理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)的打點(diǎn)擬合，獲得了一組等勢(shì)圓半徑的理論值和實(shí)驗(yàn)測(cè)量值，再對(duì)數(shù)值進(jìn)行自然對(duì)數(shù)運(yùn)算，得到對(duì)應(yīng)的“l(fā)n R 理論”值和“l(fā)n R 實(shí)驗(yàn)”值，如圖6 左方所示.

圖6 等電勢(shì)圓半徑R（理論值、測(cè)量值）及對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)值列表、R 實(shí)驗(yàn)值的擬合曲線

圖7 Ur-ln R 實(shí)驗(yàn)的線性擬合曲線

表1 4 個(gè)擬合方程及系數(shù)誤差

2 GeoGebra 應(yīng)用于通電螺線管軸線上磁場(chǎng)的測(cè)量實(shí)驗(yàn)

2.1 螺線管軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度

本實(shí)驗(yàn)是利用霍爾效應(yīng)測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度B 的磁場(chǎng)分布.利用畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式[7]，對(duì)于長(zhǎng)度為2L、匝數(shù)為N、半徑為R 的螺線管，在離開中心點(diǎn)x 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布公式為：

式中：u0為真空磁導(dǎo)率；n=N/2L，為螺線管單位長(zhǎng)度的匝數(shù)；本實(shí)驗(yàn)的螺線管匝數(shù)為1 810 匝；長(zhǎng)度2L 為181 mm；螺線管半徑為21 mm.對(duì)于“無限長(zhǎng)”螺線管，L>>R，B=μ0nI；對(duì)于“半無限長(zhǎng)”螺線管,在端點(diǎn)處有x=L，B=μ0nI/2.

2.2 用GeoGebra 繪制通電螺線管中軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B

令K′=μ0nI/2，在GGB 中創(chuàng)建滑動(dòng)條d，表示螺線管的長(zhǎng)度的一半；創(chuàng)建滑動(dòng)條R，表示螺線管的半徑.在函數(shù)區(qū)輸入磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布方程f(x)（圖8），播放滑動(dòng)條d 或者R，在右側(cè)繪圖區(qū)即會(huì)動(dòng)態(tài)顯示磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線隨螺線管長(zhǎng)度或半徑變化的情形.將d、R 分別固定為實(shí)驗(yàn)的實(shí)際參數(shù)90.5、21 mm，令K=1/2，即等式兩邊同時(shí)除以μ0nI，即有限長(zhǎng)螺線管與無限長(zhǎng)螺線管在軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度之比.捕捉曲線與Y軸的交點(diǎn)A，可以看到其坐標(biāo)為（0,0.97），表明在該螺線管中軸線上中點(diǎn)的B 值是無限長(zhǎng)通電螺線管的B值的0.97 倍；捕捉螺線管端點(diǎn)M，坐標(biāo)為（-90.5,0.5），表明螺線管端口的B 值等于無限長(zhǎng)通電螺線管的B值的一半.

圖8 用GGB 仿真的螺線管中軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖

2.3 實(shí)驗(yàn)原理

實(shí)驗(yàn)采用霍爾效應(yīng)法對(duì)通電螺線管的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行測(cè)量，霍爾效應(yīng)其實(shí)質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中受洛侖茲力的作用而引起的偏轉(zhuǎn).一般用摻雜的N 型半導(dǎo)體作為霍爾元件，載流子為電子，被約束在固體材料中，這種偏轉(zhuǎn)將導(dǎo)致在垂直于電流和磁場(chǎng)的方向上產(chǎn)生正負(fù)電荷在不同側(cè)的聚積，從而形成附加的橫向電場(chǎng).當(dāng)載流子受到的洛倫茲力fL=-fE時(shí)（fE為附加橫向電場(chǎng)力），載流子積累便達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡.這時(shí)在A、B 兩端面之間建立的電場(chǎng)稱為霍爾電場(chǎng)EH，相應(yīng)的電勢(shì)差稱為霍爾電勢(shì)VH.

通過推導(dǎo)可知霍爾電勢(shì)計(jì)算公式：VH=KHISB，KH為霍爾元件的靈敏度，它是反映材料霍爾效應(yīng)強(qiáng)弱的參數(shù)，由制造商提供數(shù)值，IS是霍爾元件的工作電流.本實(shí)驗(yàn)就是通過測(cè)量螺線管軸線上各處的霍爾電勢(shì)VH，計(jì)算出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，從而描繪出螺線管軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布曲線.

2.4 實(shí)驗(yàn)方法與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)儀器為ZC1510 型螺線管磁場(chǎng)測(cè)定儀，將霍爾效應(yīng)測(cè)試儀與霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)架連接，將螺線管線圈的勵(lì)磁電流IM的直流恒流源設(shè)置為500 mA，螺線管就產(chǎn)生一個(gè)恒定的磁場(chǎng)；供給霍爾元件的工作電流IS設(shè)置為5.00 mA，測(cè)量從螺線管中心位置到螺線管外25 mm 之間的不同位置的VH值，以螺線管中心為x 軸0 點(diǎn)，間隔5 mm 測(cè)量一次.每個(gè)點(diǎn)測(cè)量時(shí)分別通以正、反向的勵(lì)磁電流和霍爾元件工作電流，共測(cè)量4 次霍爾電勢(shì)VH，然后取平均值，這樣可以消除一部分系統(tǒng)誤差[8].表2 是一組學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，VH為平均值.

表2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量的直螺線管中軸線上的霍爾電勢(shì)值、磁感應(yīng)強(qiáng)度值（IM=500 mA IS=5 mA KH=182 mV/mAT）

2.5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

在GGB 軟件表格區(qū)中，將坐標(biāo)x 和對(duì)應(yīng)的B 輸進(jìn)表格，對(duì)x 和B 進(jìn)行“雙變量回歸分析”，在表格區(qū)生成散點(diǎn)圖，圖9 中圓點(diǎn)表示實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，勾選“線圖”將散點(diǎn)連成一條平滑的擬合曲線.從圖中看到，實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)都落在擬合曲線附近，擬合結(jié)果良好，即可得到螺線管中軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖，與繪圖區(qū)生成的相同螺線管參數(shù)的理論分布曲線進(jìn)行粗略比較，圖像相似，由于沒有進(jìn)行疊加比較，無法觀察到具體的偏差.點(diǎn)擊輸出按鈕，選擇“將圖像復(fù)制到繪圖區(qū)”，在圖10 的繪圖區(qū)，可以看到實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線在x、y 軸上1∶1 疊合，可以通過滾動(dòng)鼠標(biāo)縮放，對(duì)細(xì)節(jié)進(jìn)行仔細(xì)觀察和精確比較.

圖9 用GGB 處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖

圖10 磁感應(yīng)強(qiáng)度理論分布圖與測(cè)量分布圖的疊加比較

對(duì)兩條曲線上的一些特殊點(diǎn)取樣，計(jì)算實(shí)驗(yàn)誤差[9].用描點(diǎn)工具分別捕捉理論曲線上的三個(gè)特殊點(diǎn)，見圖10，中點(diǎn)（x=0）為A（0,6.12），螺線管的兩個(gè)端點(diǎn)（x=±L）為M（-90.5,3.12），N（90.5,3.12）；捕捉實(shí)驗(yàn)擬合曲線的中點(diǎn)Aa（0,5.88），實(shí)驗(yàn)擬合曲線螺線管的兩個(gè)端點(diǎn)為Mm（-90.5,3.31），Nn（90.5,3.23），可得中點(diǎn)處的百分比誤差為-3.92%，螺成管兩端點(diǎn)處的誤差為6.08%、5.52%.在中心的±85 mm 區(qū)間內(nèi)兩條曲線吻合度良好，曲線呈近乎水平狀態(tài)，誤差在4.0%之內(nèi)，該區(qū)間可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在螺線管兩端口附近存在邊緣效應(yīng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的衰減較大，誤差也較大.本次實(shí)驗(yàn)精度在螺線管80%以上的區(qū)間內(nèi)誤差小于4%，符合實(shí)驗(yàn)要求.

3 結(jié)語(yǔ)

將GeoGebra 軟件應(yīng)用于電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，在實(shí)驗(yàn)前對(duì)試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)進(jìn)行仿真，對(duì)學(xué)生理解電磁學(xué)物理現(xiàn)象和規(guī)律起到較好的輔助作用.對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，能方便地將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論數(shù)值進(jìn)行可視化的比較，極大減小實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理難度和人工誤差，獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果，節(jié)約了大量的計(jì)算時(shí)間.應(yīng)用在電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，不僅能提高教學(xué)質(zhì)量，而且有利于提高學(xué)生的自主創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生的探索精神，在利用現(xiàn)代信息技術(shù)推動(dòng)高校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革方面邁出積極的一步.