晏致濤 黃昨越 馮江泉 翟運瓊 朱朝暉

(1. 重慶科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 重慶 401331；2. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400044；3. 南寧市設(shè)計院， 南寧 830011)

空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代建筑中，設(shè)計初期對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)桿件進行拓撲優(yōu)化具有重要工程實際意義。目前常用的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)形式有斜放四角錐網(wǎng)架、正放四角錐網(wǎng)架、正交斜放桁架網(wǎng)架、正交正放桁架網(wǎng)架、抽空四角錐網(wǎng)架[1]等。

在進行網(wǎng)架結(jié)構(gòu)設(shè)計時，往往會結(jié)合已有的實際工程經(jīng)驗先確定結(jié)構(gòu)的基本拓撲形式，然后根據(jù)確定的基本拓撲形式將桿件鋪滿，完成對網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的桿件布置，形成擬建網(wǎng)架的拓撲結(jié)構(gòu)，接下來對拓撲結(jié)構(gòu)進行受力分析，最后求得結(jié)構(gòu)桿件的尺寸[2-4]。這樣得到的網(wǎng)架有一個共同的特點，就是從幾何邊緣到網(wǎng)架中心的桿件分布都是相同的。實際上，由于邊界約束以及荷載條件的不同，網(wǎng)架結(jié)構(gòu)不同區(qū)域的受力差別較大，如果從外緣到中心都采用相同的拓撲形式，結(jié)構(gòu)材料就不能得到充分利用。為了使網(wǎng)架結(jié)構(gòu)受力更加均勻，結(jié)構(gòu)的整體拓撲方案更加合理，耗材量和結(jié)構(gòu)性能更加優(yōu)越，就需要不斷優(yōu)化網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的拓撲設(shè)計。

關(guān)于網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化方法，林本芳[4]、龔金海[5]、李玉梅[6]等人探討了遺傳算法及改進的遺傳算法的應(yīng)用；朱吉吉采用漸進式網(wǎng)架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法優(yōu)化后的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)[7]，不僅材料用量有較大幅度下降，而且結(jié)構(gòu)的魯棒性以及極限承載力也表現(xiàn)突出。

現(xiàn)有網(wǎng)架結(jié)構(gòu)多是采用鋼材。鋁合金具有自重輕的優(yōu)勢，近年來逐漸被用于網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中。本次研究，基于OptiStruct軟件，對鋁合金網(wǎng)架結(jié)構(gòu)在3種跨度和3種約束工況下進行拓撲優(yōu)化；然后根據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果設(shè)計合理的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)形式，對比分析鋁合金網(wǎng)架與鋼網(wǎng)架的用材量，討論鋁合金網(wǎng)架的適用性。

1 鋁合金網(wǎng)架拓撲模擬

1.1 軟件平臺

OptiStruct是一種典型的有限元結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化軟件，它基于局部逼近方法進行優(yōu)化問題的求解?；静襟E為：首先采用有限元法分析，進行收斂判斷；然后針對結(jié)構(gòu)響應(yīng)情況，對設(shè)計變量求偏導(dǎo)數(shù)，進行靈敏度分析，并依據(jù)靈敏度反饋信息獲得近似模型；最后運用此近似模型對近似優(yōu)化問題求解，經(jīng)過反復(fù)迭代，求出最優(yōu)解。

在得到靈敏度信息之后，為了減少優(yōu)化計算工作量，方便進行后續(xù)優(yōu)化，通常對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行泰勒展開，采用顯式近似將隱式模型轉(zhuǎn)化為顯式模型。在優(yōu)化過程中，一般采用連續(xù)變量的方式如密度法去描述材料的流動分配問題。在拓撲優(yōu)化過程中，每個單元的密度取值為0或1。

1.2 建立有限元模型

拓撲優(yōu)化計算屬于靜力分析，我們在HyperMesh里面建立有限元模型進行實體優(yōu)化分析。選用Solid單元進行網(wǎng)格劃分(見圖1)。輸入鋁合金材料的彈性模量為7.0×1010Pa，密度為2.7×103kgm3，泊松比為0.3；鋼材料的彈性模量為2.06×105Pa，密度為7.9×103kgm3，泊松比為0.3[8]。

圖1 鋁合金網(wǎng)架拓撲實體模型

圖2 外緣四點支承約束

1.3 建立優(yōu)化模型

在定義初始的包含實體單元、單元屬性、材料屬性、載荷和邊界條件的鋁合金網(wǎng)架有限元模型后，接下來對有限元模型進行拓撲優(yōu)化設(shè)定。

(1) 定義拓撲優(yōu)化的設(shè)計變量。將設(shè)計區(qū)域的單元密度設(shè)定為優(yōu)化變量，確定Base Thickness為0。

(2) 定義優(yōu)化的響應(yīng)。需定義體積分數(shù)、應(yīng)變能(柔度)兩個響應(yīng)。

(3) 定義約束。將體積分數(shù)控制在一定范圍，接近某一定值。

(4) 定義目標(biāo)函數(shù)。將最小應(yīng)變能(柔度)設(shè)定為目標(biāo)函數(shù)。應(yīng)變能(柔度)越小，代表結(jié)構(gòu)剛度越大，受力情況更合理。

在整個過程中，控制過程的參數(shù)有體積減小率和每一次迭代的刪除率及進化率，控制優(yōu)化終止的參數(shù)有最大迭代步數(shù)和收斂公差[8]。需要指出的是，拓撲優(yōu)化過程中更多反映的是受力狀態(tài)，而對于網(wǎng)架優(yōu)化來說，想要知道的是整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布，而且在迭代過程中單元密度為0的單元會刪除，這樣也會導(dǎo)致該區(qū)域的所有應(yīng)力約束會刪除。模型受力及傳力途徑總是在不斷變化中，所以并不需要將極限應(yīng)力以及跨中位移定義為約束條件。

1.4 拓撲計算方法驗證

為了驗證本拓撲計算方法的正確性，首先對鋼材網(wǎng)架結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，并與文獻[7]的方法進行對比。由圖3可知(圖中深色表示實體結(jié)構(gòu)的分布)，本次有限元模擬，沒有增加專門用來承受所有約束和載荷的實體，但仍然能得到很好的拓撲結(jié)果，且拓撲結(jié)果相似。這說明漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化使初始模型體積大大減小，所得結(jié)構(gòu)拓樸明晰，本次拓撲結(jié)果可靠。

圖3 外緣四點約束鋼網(wǎng)架優(yōu)化模型驗證

2 鋁合金網(wǎng)架結(jié)構(gòu)設(shè)計與分析

2.1 拓撲優(yōu)化設(shè)計思路

設(shè)置的鋁合金網(wǎng)架體積分數(shù)控制在30%以內(nèi)，即代表最終優(yōu)化結(jié)果得到的拓撲中體積在30%以內(nèi)，此時的拓撲形式一般都非常明晰。通過對最小成員尺寸的控制，消除細小的傳力途徑，讓拓撲形式更加清晰。根據(jù)鋁合金網(wǎng)架拓撲優(yōu)化的結(jié)果進行網(wǎng)架桿件布置和設(shè)計，其中上表面、下表面的拓撲圖可以明確代表上弦桿、下弦桿的受力情況。但是對于網(wǎng)架結(jié)構(gòu)來說，上弦桿應(yīng)該均勻分布，承受均布荷載。因此，得到優(yōu)化結(jié)果后，我們將上弦直接定義為橫豎相交的網(wǎng)格，下弦桿的布置則根據(jù)拓撲圖來進行設(shè)計，然后再布置腹桿。

為確保在優(yōu)化過程中時刻存在一個連接所有載荷和約束的連續(xù)體，除了拓撲實體優(yōu)化區(qū)域外，模型還增加了類似上弦為均勻網(wǎng)格的實體區(qū)域。優(yōu)化過程中，通過在網(wǎng)格交點施加集中荷載來模擬均勻受力。由于單元密度為0的區(qū)域不斷被刪除，可能造成結(jié)構(gòu)受力不能完全貼合實際的受力情況，但通過優(yōu)化可以證明，這種情況下不一定需要額外增加這樣的網(wǎng)格實體，也能得到很好的拓撲結(jié)果。拓撲得到的是中空的實體，上、下表面分別反映上、下弦桿受拉、受壓的受力狀況，而豎向支承由四邊的豎桿承擔(dān)，所以也能較完整地反映實際受力狀態(tài)。

另外需要注意的是，由于初始優(yōu)化模型是一個連續(xù)的實體結(jié)構(gòu)，其桿件連接節(jié)點可以認為是固定連接，但實際網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的桿件連接方式為鉸接。因此，完全按照優(yōu)化得到的拓撲圖設(shè)計，得到的網(wǎng)架將會是幾何可變的。為了使最終的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)體系變成幾何不變的，且同時具有優(yōu)越的結(jié)構(gòu)性能，就應(yīng)該對網(wǎng)架的桿件布置進行稍微調(diào)整，增加一些桿件，讓鉸接的網(wǎng)架變?yōu)閹缀尾蛔凅w系。我們采用的桿件布置方式，原則是使每一根腹桿都最終歸屬于四角錐體。

得到網(wǎng)架拓撲設(shè)計結(jié)構(gòu)后，采用6061-T3鋁合金材料，依據(jù)設(shè)計圖在3D3S軟件里面進行建模計算。

2.2 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)設(shè)計及計算

在HyperMesh中，建立規(guī)格為24 m×24 m×2 m的實體模型，然后進行網(wǎng)格劃分。采用外緣四點支承約束。利用OptiStruct進行求解計算，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。圖中，紅色單元為密度值最大，代表單元必須保留；白色單元為密度值最小，代表此單元可以被刪除。由紅色到白色漸變，表示密度值逐漸變小。在HyperView中，通過增加最小成員尺寸，減少一些細小傳力單元，設(shè)計的拓撲圖如圖5所示：較圖4已經(jīng)減少了鋁合金材料的用量。

圖4 鋁合金網(wǎng)架模型優(yōu)化結(jié)果俯視圖

圖5 最小成員尺寸增大后的拓撲圖

根據(jù)圖5，將此種工況條件下的網(wǎng)架布置為一個規(guī)格為24 m×24 m×2 m的網(wǎng)架，上弦方格數(shù)為11×11，采用外緣四點支承，結(jié)果如圖6所示。另外，36 m×36 m×3 m與48 m×48 m×4 m的網(wǎng)架，上弦桿分別布置為13×13的網(wǎng)格與15×15的網(wǎng)格。

同時，在3D3S軟件中對拓撲設(shè)計圖進行鋁合金網(wǎng)架結(jié)構(gòu)計算，并統(tǒng)計其耗材量。其中，有5種截面尺寸(直徑×壁厚)參與組合，即：48 mm×3.5 mm，60 mm×3.5 mm，75.5 mm×3.75 mm，88.5 mm×4 mm，114 mm×4 mm。與鋼網(wǎng)架的耗材量[7]進行對比，結(jié)果顯示：鋼網(wǎng)架優(yōu)化后耗鋼量為7.38 t，鋁合金網(wǎng)架優(yōu)化后耗鋁量為3.25 t。在外緣四點支承24 m×24 m×2 m網(wǎng)架情況下，用鋁合金代替鋼材后可以大幅度地減少耗材量，耗鋁量只有平均耗鋼量(16.92 t)的15.2。同時，用鋁合金代替鋼材后，上部結(jié)構(gòu)的重量減輕了也會減小其對支座的作用力。

圖6 外緣四點支承鋁合金網(wǎng)架(24 m×24 m×2 m)拓撲優(yōu)化設(shè)計圖

3 支承方式的影響

3.1 內(nèi)部四點支承

在HyperMesh中，建立規(guī)格為36 m×36 m×3 m 的實體模型，然后進行網(wǎng)格劃分。采用內(nèi)部四點支承約束。考慮同樣的荷載工況：1.2×自重+1.2×0.25 kNm2(恒載)+1.4×0.5 kNm2(活載)，采用均布加載方式。得到的優(yōu)化結(jié)果如圖7所示。圖中，紅色占據(jù)較大部分，此處極為重要，規(guī)整后為主弦桿結(jié)構(gòu)。白色單元將被刪除。介于紅色與白色之間的區(qū)域，在彎曲和扭轉(zhuǎn)工況下起主要作用。

圖7 內(nèi)部四點約束網(wǎng)架模型優(yōu)化結(jié)果俯視圖

從模型優(yōu)化的結(jié)果可以看出，在4個支座位置應(yīng)力格外集中。因此，鋁合金網(wǎng)架的上弦桿、下弦桿主要受軸心作用，可通過優(yōu)化截面形狀和調(diào)節(jié)截面尺寸來增強支座周邊的剛度。根據(jù)圖7布置的網(wǎng)架如圖8所示。

圖8 內(nèi)部四點支承鋁合金網(wǎng)架整體拓撲優(yōu)化圖

為了檢驗本文方案的優(yōu)越性，將材料屬性設(shè)定為鋼材進行建模計算。在文獻[6]中，采用遺傳算法對應(yīng)力、位移約束下的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，利用對稱性對桿件進行分組，使優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)模型仍然保持對稱，計算出的耗鋼量為24.07 t。而按上述優(yōu)化的網(wǎng)架圖計算，所用鋼材量為18.36 t，相比可減少5.71 t，節(jié)省材料23.72%。在對拓撲設(shè)計圖進行結(jié)構(gòu)計算時，有6種截面尺寸參與組合，即：48 mm×3.5 mm，60 mm×3.5 mm，75.5 mm×3.75 mm，88.5 mm×4 mm，114 mm×4 mm，140 mm×4 mm。與鋼網(wǎng)架結(jié)構(gòu)比較，鋁合金網(wǎng)架優(yōu)化后可節(jié)省23的耗材量。例如內(nèi)部四點支承的36 m×36 m×3 m網(wǎng)架，上弦方格數(shù)為13×13，桿件材料為Q235，所用鋼材量：正放四角錐網(wǎng)架為26.49 t，抽空四角錐網(wǎng)架為24.20 t；而用鋁合金代替鋼材后，鋁合金用量僅為7.78 t。

3.2 四邊支承

在HyperMesh中，建立規(guī)格為24 m×24 m×2 m 的實體模型，然后進行網(wǎng)格劃分，采用四邊支承約束。荷載工況同樣為：1.2×自重+1.2×0.25 kNm2(恒載)+1.4×0.5 kNm2(活載)，采用均布加載方式。利用OptiStruct軟件進行求解計算，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖9所示：整體受力分布幾乎呈對稱形式，中心區(qū)域紅色單元為密度值最大，代表單元必須保留，作為上下弦桿主要安置的地方。

圖9 四邊支承網(wǎng)架模型優(yōu)化結(jié)果俯視圖

根據(jù)模型優(yōu)化的結(jié)果，在四邊支承支座條件下，結(jié)構(gòu)靠中心的區(qū)域受力類型近似圓形，這說明中心區(qū)域剛度要增強。根據(jù)圖9布置的網(wǎng)架如圖10所示。

圖10 四邊支承鋁合金網(wǎng)架整體拓撲優(yōu)化圖

按圖10所示網(wǎng)架，將材料屬性設(shè)定為鋼材進行建模計算。在文獻[6]里，計算的耗鋼量為7.29 t；而按優(yōu)化的網(wǎng)架圖計算，耗鋼量為7.00 t，減少了3.98%。

3.3 邊界條件影響的差異

在不同支承條件、不同跨度下，優(yōu)化后的鋁合金網(wǎng)架的耗鋁量存在差異(見圖11)。

圖11 不同支承及跨度條件下網(wǎng)架的耗鋁量

從圖11可以看出：在不同的支承條件下，隨著跨度的增加，耗材量增加的幅度都會越來越大。其中，外緣四點支承條件下的耗材量增幅最大。在24 m×24 m×2 m和36 m×36 m×3 m及48 m×48 m×4 m這3種跨度規(guī)格下，外緣四點支承的耗材量也總是最多的。也就是說，不管在哪種跨度規(guī)格下，內(nèi)部四點支承和四邊支承約束下的網(wǎng)架受力情況，都要比外緣四點支承的好。內(nèi)部四點支承和四邊支承在3種跨度下的耗材量都相差不大，其差距在6%以內(nèi)。在24 m×24 m×2 m和36 m×36 m×3 m這2種跨度下，內(nèi)部四點支承的網(wǎng)架耗鋁量略大于四邊支承的耗鋁量；而在48 m×48 m×4 m的跨度規(guī)格下，四邊支承的網(wǎng)架耗鋁量增幅較大，略大于內(nèi)部四點支承的網(wǎng)架耗鋁量。

4 結(jié) 語

利用OptiStruct軟件對鋁合金網(wǎng)架進行拓撲優(yōu)化，并計算分析24 m×24 m×2 m、36 m×36 m×3 m、48 m×48 m×4 m等3種跨度規(guī)格，在外緣四點支承、內(nèi)部四點支承及四邊支承等3種約束工況下的耗材情況，主要得到以下結(jié)論：

(1) 同種工況下，鋁合金網(wǎng)架和鋼網(wǎng)架的拓撲優(yōu)化結(jié)果相似，對鋁合金網(wǎng)架和鋼網(wǎng)架可以采用相同的優(yōu)化設(shè)計方案。拓撲優(yōu)化設(shè)計后的鋁合金網(wǎng)架，與傳統(tǒng)鋼網(wǎng)架相比，耗材量會大大降低。

(2) 拓撲優(yōu)化后的鋁合金網(wǎng)架與傳統(tǒng)鋼網(wǎng)架的耗材量存在較大差異。外緣四點支承約束下的 24 m×24 m×2 m網(wǎng)架，拓撲鋁合金網(wǎng)架的耗鋁量只有傳統(tǒng)鋼網(wǎng)架平均耗鋼量的15.2；內(nèi)部四點支承約束下的36 m×36 m×3 m網(wǎng)架，耗鋁量為平均耗鋼量的13.3；四邊支承約束下的24 m×24 m×2 m網(wǎng)架，耗鋁量為平均耗鋼量的13.1。相比鋼網(wǎng)架，鋁合金網(wǎng)架在重量指標(biāo)上有一定優(yōu)勢。

(3) 在外緣四點支承、內(nèi)部四點支承及四邊支承等3種支承條件下，鋁合金網(wǎng)架的耗材量都會隨著跨度的增加而增加，而外緣四點支承情況下的耗材量增幅最大。

(4) 在3種跨度規(guī)格下，外緣四點支承約束下的鋁合金網(wǎng)架的耗材量都是相對最多的。內(nèi)部四點支承和四邊支承情況下的網(wǎng)架受力情況總是要比外緣四點支承的好一些。