馮剛

[摘 要]選取蘇教版與加州版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，從類型、呈現(xiàn)順序、呈現(xiàn)方式、情境四個(gè)維度比較乘除法實(shí)際問(wèn)題的相關(guān)單元。從乘除法實(shí)際問(wèn)題的類型看，等組問(wèn)題在兩版教材中均占比最高，蘇教版教材未出現(xiàn)參照量未知問(wèn)題，加州版教材未出現(xiàn)關(guān)系量未知問(wèn)題。從乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)順序看，蘇教版教材先呈現(xiàn)份數(shù)未知問(wèn)題，再呈現(xiàn)每份數(shù)未知問(wèn)題，加州版教材與之相反;蘇教版教材先呈現(xiàn)關(guān)系量未知問(wèn)題，加州版教材先呈現(xiàn)比較量未知問(wèn)題。從乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)方式看，蘇教版教材中圖文題與表格題占比較高，加州版教材純語(yǔ)言文字題及圖文題占比較高。從乘除法實(shí)際問(wèn)題的情境看，個(gè)人生活情境在蘇教版教材中占比最高，公共常識(shí)情境在加州版教材中占比最高，關(guān)于科學(xué)情境的實(shí)際問(wèn)題，兩個(gè)版本都較少涉及。

[關(guān)鍵詞]乘除法;實(shí)際問(wèn)題;蘇教版教材;加州版教材;比較

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0023-03

教材是落實(shí)課程目標(biāo)、實(shí)施課堂教學(xué)的藍(lán)本，在教學(xué)中發(fā)揮著舉足輕重的作用。本文選用時(shí)下在中美兩國(guó)使用較廣泛的一種教材，即中國(guó)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“蘇教版教材”）和美國(guó)加州小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“加州版教材”），就其中乘除法實(shí)際問(wèn)題的編寫(xiě)特點(diǎn)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩國(guó)教材編寫(xiě)的差異，尋找兩種教材提供的不同“機(jī)會(huì)”，以期為我國(guó)教材的編寫(xiě)、課程資源的開(kāi)發(fā)及教學(xué)實(shí)踐提供參考。

一、研究方法

本研究從四個(gè)維度，即類型、呈現(xiàn)順序、呈現(xiàn)方式和情境，對(duì)蘇教版和加州版兩種教材中的乘除法實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行比較。所研究的乘除法實(shí)際問(wèn)題主要是“1～10的乘法實(shí)際問(wèn)題”和“被除數(shù)在100以內(nèi)的除法實(shí)際問(wèn)題”。所有的實(shí)際問(wèn)題均是一步計(jì)算的整數(shù)實(shí)際問(wèn)題，不包括分?jǐn)?shù)和小數(shù)，也不包括有余數(shù)的乘除法實(shí)際問(wèn)題。

（一）乘除法實(shí)際問(wèn)題的類型

乘除法實(shí)際問(wèn)題主要分為等組問(wèn)題和乘除法比較題。等組問(wèn)題描述了等組的數(shù)量，根據(jù)未知數(shù)的位置，分為三種變式：積未知（如：5個(gè)小朋友折千紙鶴，每人折了3只，一共折了多少只？）;每份數(shù)未知（如：一共有15只千紙鶴，平均分給5個(gè)小朋友，每人分得多少只？）;份數(shù)未知（如：一共有15只千紙鶴，每人分3只，可以分給幾個(gè)人？）。乘除法比較題是對(duì)一個(gè)量（比較量）與另一個(gè)量（參照量）的比較，進(jìn)而描述一個(gè)量是另一個(gè)量的幾倍或幾分之幾（關(guān)系量）。根據(jù)未知量的位置，乘除法比較題分為三種變式：比較量未知（如：小明有3本故事書(shū)，小芳的故事書(shū)數(shù)量是小明的6倍，小芳有多少本故事書(shū)？）;參照量未知（如：小明有18本故事書(shū)，是小芳的故事書(shū)數(shù)量的6倍，小芳有多少本故事書(shū)？）;關(guān)系量未知（如：小明有18本故事書(shū)，小芳有3本故事書(shū)，小明的故事書(shū)數(shù)量是小芳的多少倍？）。

簡(jiǎn)言之，乘除法實(shí)際問(wèn)題按類型分有兩種，即等組問(wèn)題和乘除法比較題。其中，等組問(wèn)題根據(jù)未知數(shù)的位置分為積未知、每份數(shù)未知和份數(shù)未知三種類型;乘除法比較題按未知量的位置分，又有比較量未知、參照量未知和關(guān)系量未知三種類型。本文主要研究每種類型的乘除法實(shí)際問(wèn)題出現(xiàn)的次數(shù)和頻率，從而探究不同教材為學(xué)生提供的“學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”的差異。

（二）乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)順序

從乘除法實(shí)際問(wèn)題的類型出發(fā)，分別研究?jī)煞N教材中的等組問(wèn)題和乘除法比較題出現(xiàn)的先后順序，發(fā)現(xiàn)兩種教材乘除法實(shí)際問(wèn)題類型出現(xiàn)順序上的差異。

（三）乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)方式

呈現(xiàn)方式主要分為純文字題、圖文題、表格題和其他類型四種。其中圖文題是指包含圖形與文字的實(shí)際問(wèn)題，也包括有插圖的文字實(shí)際問(wèn)題;其他類型是指無(wú)法囊括在前三種類型里的實(shí)際問(wèn)題。研究?jī)煞N教材的乘除法實(shí)際問(wèn)題在不同呈現(xiàn)方式上的頻率，探究哪種呈現(xiàn)方式運(yùn)用最廣泛。

（四）乘除法實(shí)際問(wèn)題的情境

鮑建生將數(shù)學(xué)問(wèn)題“背景”分為四個(gè)層次：最低層次是“無(wú)背景”，即無(wú)任何實(shí)際應(yīng)用背景;第二層次是“個(gè)人生活”，指與學(xué)生個(gè)人生活相關(guān)的背景;第三層次是“公共常識(shí)”，屬于某個(gè)職業(yè)領(lǐng)域，或社會(huì)公共常識(shí)背景;最高層次是“科學(xué)情景”，包含科學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程及一定的科學(xué)知識(shí)。本文參考鮑建生的分類，將實(shí)際問(wèn)題情境分為個(gè)人生活情境、公共常識(shí)情境和科學(xué)情境三種，探究這三種情境在兩種教材中的運(yùn)用情況。

二、研究結(jié)果

（一）乘除法實(shí)際問(wèn)題的類型

筆者統(tǒng)計(jì)了蘇教版教材和加州版教材中，六種實(shí)際問(wèn)題出現(xiàn)的次數(shù)和頻率，如表1。

1.等組問(wèn)題

在蘇教版教材中，等組問(wèn)題占總數(shù)的84.2%，其中積未知問(wèn)題最多，占總數(shù)的39.4%，每份數(shù)未知和份數(shù)未知問(wèn)題的出現(xiàn)頻率無(wú)明顯差距。而在加州版教材中，等組問(wèn)題占總數(shù)的98.0%，明顯高于蘇教版教材，其中積未知問(wèn)題占總數(shù)的62.6%，比蘇教版教材高了23.2%，另兩種類型則是比蘇教版教材略少一些，差異都在5%左右。就兩種教材的等組問(wèn)題的出現(xiàn)次數(shù)來(lái)看，加州版教材有459道，蘇教版教材只有186道，遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于加州版教材的數(shù)量。

2.乘除法比較題

對(duì)于乘除法比較題，蘇教版教材中比較量未知題和關(guān)系量未知題頻率相近，而參照量未知題沒(méi)有出現(xiàn)，整個(gè)乘除法比較題在蘇教版教材中占比為15.8%。在加州版教材中，乘除法比較題只占了1.9%，明顯低于蘇教版教材。此外，加州版教材的幾個(gè)章節(jié)中沒(méi)有出現(xiàn)關(guān)系量未知的題目，比較量未知和參照量未知的題目也極少出現(xiàn)。相較而言，蘇教版教材的乘除法比較題多于加州版教材的，但蘇教版教材中沒(méi)有出現(xiàn)參照量未知的題目。

3.等組與乘除法比較題

對(duì)兩種教材兩大類型的問(wèn)題出現(xiàn)次數(shù)、頻率進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)：在這兩個(gè)版本的教材中，等組問(wèn)題無(wú)論是次數(shù)還是頻率都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于乘除法比較題。其中加州版教材中等組問(wèn)題的占比為98.0%，蘇教版教材中等組問(wèn)題的占比為84.2%，都占據(jù)了總數(shù)的絕大部分;而乘除法比較題很少出現(xiàn)，對(duì)于加州版教材來(lái)說(shuō)，幾乎是沒(méi)有出現(xiàn)。

（二）乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)順序

進(jìn)一步分析兩種教材中六種實(shí)際問(wèn)題呈現(xiàn)順序的差異，如表2。

從上表可以看出，蘇教版教材和加州版教材在六種類型的實(shí)際問(wèn)題呈現(xiàn)順序上存在著巨大差異。對(duì)于等組問(wèn)題，盡管兩種教材都先呈現(xiàn)了積未知問(wèn)題，但蘇教版教材是先呈現(xiàn)份數(shù)未知問(wèn)題，再呈現(xiàn)每份數(shù)未知問(wèn)題;而加州版教材則完全相反，先呈現(xiàn)每份數(shù)未知問(wèn)題，再呈現(xiàn)份數(shù)未知問(wèn)題。

對(duì)于乘除法比較題，兩者也存在差異。蘇教版教材先呈現(xiàn)關(guān)系量未知問(wèn)題，也就是求“倍數(shù)”問(wèn)題;而加州版教材先呈現(xiàn)的是比較量未知問(wèn)題，也就是已知標(biāo)準(zhǔn)量和倍數(shù)，求比較量的問(wèn)題，形式類似于積未知問(wèn)題。

（三）乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)方式

就蘇教版教材的221道和加州版教材的468道乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)方式進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，得到蘇教版教材和加州版教材四種問(wèn)題類型的頻率分布情況，如表3。

由上表可以看出，蘇教版教材的乘除法實(shí)際問(wèn)題以圖文題為主，占了總數(shù)的73.8%，處于絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。加州版教材最多的卻是純文字題，占了總數(shù)的46.6%。在蘇教版教材中，排第二的是表格題，純文字題與其他類型題目并列第三位，所占的比例都比較小，只有8.1%，這與加州版教材形成了鮮明對(duì)比?？梢哉f(shuō)，在加州教材中出現(xiàn)頻率最高的題型，到了蘇教版教材中，卻成了出現(xiàn)頻率最低的題型。不過(guò)，加州版教材中的表格題倒是與蘇教版教材出現(xiàn)的頻率相近，僅相差0.6%。而蘇教版教材中出現(xiàn)最多的圖文題，在加州版教材中僅占總數(shù)的40.0%，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了兩種教材的差異性。

（四）乘除法實(shí)際問(wèn)題的情境

本文對(duì)實(shí)際問(wèn)題的三種情境做了定量研究與統(tǒng)計(jì)，具體的研究結(jié)果如表4。

分析比較后不難得出：個(gè)人生活情境在蘇教版教材中出現(xiàn)得最多，占60.2%，而此項(xiàng)在加州版教材中僅占44.4%;公共常識(shí)情境在加州版教材中占52.4%，在蘇教版教材中僅占38.9%;科學(xué)情境的實(shí)際問(wèn)題，蘇教版教材很少涉及，只有0.9%，加州版教材相對(duì)來(lái)說(shuō)關(guān)注得多一些，占了3.2%。

三、研究結(jié)論與啟示

（一）乘除法實(shí)際問(wèn)題的類型

兩種教材的等組問(wèn)題的比例都遠(yuǎn)超乘除法比較題的比例。加州版教材中幾乎沒(méi)有乘除法比較題，僅有的幾道也是零散的，甚至可以將其全部歸為等組問(wèn)題。由于乘除法比較題的難度大于等組問(wèn)題，因而在小學(xué)特別是低年級(jí)階段，等組問(wèn)題占據(jù)絕對(duì)數(shù)量。

從出現(xiàn)次數(shù)來(lái)看，加州版教材的積未知問(wèn)題占據(jù)了絕對(duì)主導(dǎo)地位，其他類型的問(wèn)題相對(duì)較少。從類型的均勻程度看，加州版教材實(shí)際問(wèn)題的類型分布不如蘇教版教材。因而從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，蘇教版教材給學(xué)生提供了更多的“機(jī)會(huì)”，使他們更容易接觸到不同類型的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而進(jìn)行知識(shí)的理解與遷移。

（二）乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)順序

蘇教版教材先呈現(xiàn)份數(shù)未知問(wèn)題，而加州版教材先呈現(xiàn)每份數(shù)未知問(wèn)題。蘇教版教材先教學(xué)“平均分”——每份分得同樣多，由此自然而然地引出份數(shù)未知問(wèn)題。而加州版教材是把除法當(dāng)作一種分配手段，認(rèn)為除法是兩個(gè)數(shù)之間的一種運(yùn)算，一個(gè)數(shù)告訴你有多少東西，另一個(gè)數(shù)告訴你構(gòu)成每個(gè)相同組需要多少東西。根據(jù)這個(gè)理念， 加州版教材先呈現(xiàn)每份數(shù)未知問(wèn)題，再呈現(xiàn)份數(shù)未知問(wèn)題。這就很好地揭示了兩種教材在等組問(wèn)題呈現(xiàn)順序出現(xiàn)差異的主要原因：對(duì)除法概念的理解不同。

可以發(fā)現(xiàn)，蘇教版教材的呈現(xiàn)順序更好一些。加州版教材將除法看作兩個(gè)數(shù)之間的一種運(yùn)算，對(duì)除法定義的理解過(guò)于抽象。蘇教版教材先引出份數(shù)未知問(wèn)題，抓住平均分這一學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)“每份分得一樣多”，基于此繼續(xù)學(xué)習(xí)每份數(shù)未知問(wèn)題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（三）乘除法實(shí)際問(wèn)題的呈現(xiàn)方式

兩種教材呈現(xiàn)方式差異最顯著的是純文字題和圖文題。在加州版教材中，純文字題占據(jù)最大的比例，但在蘇教版教材中，這一題型卻是出現(xiàn)最少的，兩者的差異達(dá)到了38.5%。蘇教版教材中的圖文題數(shù)量占了整個(gè)實(shí)際問(wèn)題數(shù)量的73.8%，以絕對(duì)優(yōu)勢(shì)超過(guò)了加州版教材的40.0%。也就是說(shuō)，加州版教材的圖文題比例大約僅是蘇教版教材的一半。

加州版教材實(shí)際問(wèn)題的總數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了蘇教版教材，而教材的篇幅畢竟有限，圖文題過(guò)多，也容易導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容偏少，華而不實(shí)，因此相應(yīng)的純文字題就較多。而蘇教版教材大多數(shù)為圖文題，應(yīng)該是教材編寫(xiě)者考慮到低年級(jí)學(xué)生的抽象邏輯思維尚未發(fā)展，解決實(shí)際問(wèn)題仍需要通過(guò)大量的具象圖來(lái)協(xié)助，故而在教材的大部分實(shí)際問(wèn)題中都配了插圖，以幫助學(xué)生更好地理解實(shí)際問(wèn)題表達(dá)的含義，從直觀的角度利用乘除法運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題。

再?gòu)牟煌尸F(xiàn)方式的特點(diǎn)來(lái)看，純文字題相較于其他類型的題過(guò)于抽象，而圖文題利用圖片將抽象的文字信息轉(zhuǎn)化為生動(dòng)的圖像，有助于學(xué)生更好地理解題意。因此，蘇教版教材配備了大量的圖文題，特別適合低年級(jí)學(xué)生;表格題形式簡(jiǎn)單，讓人對(duì)要解決的問(wèn)題一目了然。綜合這幾個(gè)方面，蘇教版教材的呈現(xiàn)方式更適合學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（四）乘除法實(shí)際問(wèn)題的情境

在本文對(duì)實(shí)際問(wèn)題情境的分類統(tǒng)計(jì)研究中，加州版教材較蘇教版教材更關(guān)注社會(huì)公共常識(shí)，加州版教材占52.4%，蘇教版教材僅占38.9%，加州版教材為學(xué)生的社會(huì)化提供了更好的“機(jī)會(huì)”。加州版教材中個(gè)人生活情境相對(duì)較少，占44.4%，而蘇教版教材更注重聯(lián)系生活，個(gè)人生活情境占據(jù)60.2%。根據(jù)兩國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)要求和文化背景可以推斷出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因：加州版教材傾向于將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與社會(huì)生活相聯(lián)系，教材中常常出現(xiàn)一些社會(huì)專職工作，如樂(lè)隊(duì)、醫(yī)生等，這與美國(guó)注重培養(yǎng)公民的科學(xué)探究精神和責(zé)任意識(shí)有關(guān);蘇教版教材更注重將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活相聯(lián)系，提出的問(wèn)題大多是買(mǎi)文具一類的實(shí)際生活問(wèn)題，這與新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“將數(shù)學(xué)寓于生活，在生活中學(xué)數(shù)學(xué)”有關(guān)。另外，兩種教材對(duì)科學(xué)情境的涉及都比較少的情況與本研究調(diào)查的是小學(xué)數(shù)學(xué)教材有一定關(guān)系。

從以上三種情境的作用來(lái)看，個(gè)人生活情境有利于學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，公共常識(shí)情境有利于提高學(xué)生的社會(huì)交往和社會(huì)適應(yīng)能力。就這兩點(diǎn)而言，蘇教版教材和加州版教材各有千秋，二者可以相互借鑒。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

忻燕蘋(píng)，郭兆明，劉佳.乘除法關(guān)系課程單元的跨文化比較[C]//北京師范大學(xué).首屆華人數(shù)學(xué)教育會(huì)議論文集.北京：北京師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心，2014.

（責(zé)編 吳美玲）