彭志榮 張?zhí)煲?溫志坤 李健波 陳相德

0 引言

近年來，網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(NCS)通過不斷地改進(jìn)，利用現(xiàn)場總線技術(shù)(CAN、LON)、IP/Ethernet、無線網(wǎng)絡(luò)(Bluetooth、Zigbee、Zwave)等通信網(wǎng)作為通信媒介[1]，將通信網(wǎng)絡(luò)嵌入到控制系統(tǒng)中，使傳感器、驅(qū)動(dòng)裝置和執(zhí)行裝置等現(xiàn)場設(shè)備與自動(dòng)化系統(tǒng)、控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)互聯(lián)，從而提高現(xiàn)場設(shè)備的分布化和網(wǎng)絡(luò)化，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜遠(yuǎn)程控制[2].但是受到網(wǎng)絡(luò)通信帶寬及承載能力的限制，數(shù)據(jù)在傳輸?shù)倪^程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)傳輸時(shí)延、丟包等問題，會(huì)影響控制系統(tǒng)的控制性能，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此在研究網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器時(shí)應(yīng)該重點(diǎn)考慮上述問題[3].文獻(xiàn)[4]研究了無線網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在多分組傳輸策略下的分組丟失和網(wǎng)絡(luò)延遲問題的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[5]研究了具有傳感器故障和PI遲滯的高階隨機(jī)純反饋非線性多智能體系統(tǒng)的量化自適應(yīng)有限時(shí)間二部跟蹤控制問題，利用Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性定理對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[6]研究了具有動(dòng)態(tài)量化、可變采樣間隔和通信延遲的非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞輸出跟蹤控制問題，采用輸入延遲和并行分布補(bǔ)償技術(shù)，建立了基于Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型的增強(qiáng)跟蹤模型；文獻(xiàn)[7]研究了一類具有多個(gè)包丟失的多信道網(wǎng)絡(luò)非線性系統(tǒng)的魯棒H∞狀態(tài)估計(jì)問題，采用具有范數(shù)有界不確定性的T-S模糊仿射動(dòng)態(tài)模型來表示非線性對(duì)象，并采用具有一般概率分布的隨機(jī)變量來表征輸出通道中的數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象,設(shè)計(jì)了一個(gè)保證所得到的估計(jì)誤差系統(tǒng)在給定的H∞干擾衰減水平下的隨機(jī)穩(wěn)定性的容許狀態(tài)估計(jì)器；文獻(xiàn)[8]介紹了一種用于多通道有源噪聲控制的擴(kuò)散策略，將計(jì)算分散到多通道有源噪聲控制系統(tǒng)的所有節(jié)點(diǎn)，通過多通道濾波歸一化最小均方算法計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)權(quán)向量，從而降低計(jì)算的復(fù)雜度；文獻(xiàn)[9]采用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法研究了采樣周期為Td的設(shè)備層采樣數(shù)據(jù)非線性對(duì)象的輸出跟蹤問題，并對(duì)網(wǎng)絡(luò)引起的時(shí)延和包丟失進(jìn)行補(bǔ)償，保證了系統(tǒng)的跟蹤性能和穩(wěn)定性.

為了減少出現(xiàn)時(shí)延和丟包等問題，在實(shí)際的通信過程中，采用多通道傳輸策略進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸.多通道傳輸就是指待傳輸數(shù)據(jù)可以有多條傳輸通道進(jìn)行傳輸，在可選擇通道內(nèi)隨機(jī)選擇某一條傳輸通道完成數(shù)據(jù)傳輸，數(shù)據(jù)到達(dá)率會(huì)比單一通道傳輸策略更高，此時(shí)更有利于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的遠(yuǎn)程控制.從研究網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的角度出發(fā)，借助Lyapunov的穩(wěn)定性判定定理，確定跟蹤控制系統(tǒng)維持穩(wěn)定的誤差上界.在系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸時(shí)，用滿足Markov鏈的離散狀態(tài)空間來描述通道選擇情況，將通道傳輸結(jié)果引入狀態(tài)空間可以得到離散時(shí)變?cè)鰪V狀態(tài)空間的系統(tǒng)模型，用Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來描述不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換過程，從而進(jìn)行穩(wěn)定性分析.文獻(xiàn)[10]提出了一種允許在存在不同分組網(wǎng)絡(luò)傳輸策略的情況下檢查穩(wěn)定性測量時(shí)變時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)反饋環(huán)的穩(wěn)定性判據(jù)；文獻(xiàn)[11]研究一類離散網(wǎng)絡(luò)非線性系統(tǒng)的魯棒濾波器設(shè)計(jì)問題，通過提出一種基于馬爾可夫鏈描述的信道交換現(xiàn)象的多通道通信方案，考慮網(wǎng)絡(luò)引起的時(shí)變延遲和數(shù)據(jù)包丟失，設(shè)計(jì)了一個(gè)誤差系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定且保證給定的干擾衰減水平的容許濾波器；文獻(xiàn)[12]提出一種基于H2/H∞濾波的無線網(wǎng)絡(luò)控制策略，采用有向圖來描述分布式傳感器節(jié)點(diǎn)的通信拓?fù)?，并采用不同的Markov鏈來描述多信道中網(wǎng)絡(luò)引起的時(shí)延特征，提出了降低傳感器輸出信號(hào)的噪聲干擾的閉環(huán)濾波控制系統(tǒng)模型；文獻(xiàn)[13]假設(shè)只有一個(gè)符合先進(jìn)先出屬性的通信通道，且在不同通道的通信延遲不同的情況下研究了多通道網(wǎng)絡(luò)離散事件系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題；文獻(xiàn)[14-17]提出了基于魯棒控制降低離散系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)丟包和傳輸時(shí)延問題的策略；文獻(xiàn)[18-20]用滿足一定概率分布的概率模型來描述數(shù)據(jù)傳輸過程中的丟包率，對(duì)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模和控制，保證了系統(tǒng)具備均方指數(shù)穩(wěn)定性.因此，如何利用多通道通信技術(shù)解決跟蹤輸出時(shí)延和丟包問題需要進(jìn)一步研究.

基于以上的研究成果，本文展開了面向跟蹤性能的多通道傳輸策略的研究.通過多通道進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，合理分配數(shù)據(jù)的冗余傳輸通道，使得相同的信息可以通過多條傳輸通道從發(fā)送端傳送到接收端，從而提高數(shù)據(jù)接收可靠性，減少丟包事件的發(fā)生，確保通信過程順利進(jìn)行.用Markov隨機(jī)過程描述數(shù)據(jù)傳輸時(shí)對(duì)通道的選擇情況，結(jié)合Lyapunov函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，其結(jié)果更具一般性.

本文接下來的安排如下:在第1節(jié)中給出多通道傳輸系統(tǒng)模型和同步跟蹤誤差模型，第2節(jié)對(duì)增廣誤差系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析和耗散性能分析，第3節(jié)設(shè)計(jì)控制器增益，第4節(jié)給出一個(gè)具體數(shù)值例子，第5節(jié)為結(jié)論.

注1本文中:上標(biāo)“T”表示矩陣的轉(zhuǎn)置；Rn表示n維歐幾里德空間；Rm,n表示m行n列的實(shí)矩陣集；l2∈[0,∞)表示平方可積向量函數(shù)在[0,∞)上的空間；diag{·}表示對(duì)角矩陣；E{·}表示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)模型

考慮以下多通道傳輸網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型：

(1)

建立與多通道傳輸系統(tǒng)(1)相同結(jié)構(gòu)和參數(shù)的跟蹤系統(tǒng)模型如下：

(2)

其中，s(k)=[s1s2…sn]T∈Rn，ys(k)∈Rp，zs(k)∈Rz分別表示跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)向量、測量輸出和待估計(jì)信號(hào),u(k)表示跟蹤系統(tǒng)的外部控制輸入，f(si(k))?[f1(s1(k))…fn(sn(k))]T.

假設(shè)1如果a,b∈R且a≠b，那么系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)中的非線性激勵(lì)函數(shù)fi(·)(i∈{1,2,…,n})滿足下列不等式：

(3)

1.2 多通道傳輸策略

多通道傳輸策略主要是通過合理分配數(shù)據(jù)的冗余傳輸通道，使得信息數(shù)據(jù)可以通過多條傳輸通道從發(fā)送端傳送到接收端，從而提高數(shù)據(jù)接收可靠性.

假設(shè)通信數(shù)據(jù)共有N條傳輸通道，p維待傳輸?shù)臄?shù)據(jù)，對(duì)于需要傳輸?shù)牡趇維數(shù)據(jù)，多通道傳輸?shù)臏y量輸出結(jié)果表示為

(4)

2) 當(dāng)φi的元素全為0，即φi=diag{0,0,0,…,0} 時(shí)，此時(shí)數(shù)據(jù)不能傳輸發(fā)生丟包.

(5)

因此，φi=diag{r1,r2,…,rl}中，l的值由i的范圍決定：

(6)

(7)

(8)

其中：

ρ=m(p-1)+(m+m0).

符號(hào)δ(k)∈φ?{1,2,…,}是由下列Markov鏈表示的時(shí)變項(xiàng)，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為Ξ=[πωr]∈R，且服從如下公式：

P{δ(k+1)=r|δ(k)=ω}=πωr,

(9)

1.3 跟蹤誤差模型

為實(shí)現(xiàn)跟蹤系統(tǒng)(2)與主系統(tǒng)(1)間的跟蹤同步，設(shè)計(jì)模型依賴控制器u(k)如下：

u(k)=Kδ(k)φδ(k)C(x(k)-s(k)),

(10)

其中，Kδ(k)∈Rρ×ρ表示待設(shè)計(jì)的控制器增益.

在進(jìn)行下一步研究之前，定義跟蹤誤差e(k)?x(k)-s(k)和待估計(jì)信號(hào)的誤差z(k)?zx(k)-zs(k)，則跟蹤誤差系統(tǒng)可以表示為

(11)

其中，F(xiàn)(e(k))=f(x(k))-f(s(k)).

接下來，為了方便對(duì)誤差系統(tǒng)(11)進(jìn)行分析，引進(jìn)如下的定義：

定義1[21]如果誤差系統(tǒng)(11)在任意初始條件且噪聲輸入v(k)=0的情況下滿足下列不等式：

(12)

那么稱系統(tǒng)(11)隨機(jī)穩(wěn)定.

定義2[21]給定任意標(biāo)量γ>0，如果系統(tǒng)(11)在零初始條件和噪聲輸入v(k)≠0的條件下是隨機(jī)穩(wěn)定的，且所有l(wèi)滿足l≥0時(shí)，下列不等式成立：

(13)

那么稱系統(tǒng)(11)滿足嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性.其中，φ(z(k),v(k))表示能量供給率，φ(0,0)=0且在任意i2≥i1≥0的情況下滿足不等式:

本文中，定義供給率φ(z(k),v(k))為

φ(z(k),v(k))?z(k)TQz(k)+

2z(k)TSv(k)+v(k)TRv(k)，

(14)

其中，Q,S,R是實(shí)數(shù)矩陣，Q=QT≤0，R=RT.

2 主要結(jié)論

2.1 隨機(jī)穩(wěn)定性分析

本節(jié)通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，結(jié)合Markov跳變方法，分析誤差系統(tǒng)(11)的隨機(jī)穩(wěn)定性.

定理1對(duì)任意ω∈{1,2,…,}，給定標(biāo)量γ>0,τ>0，若存在矩陣Pω>0，R>0，使下列不等式(15)成立，則誤差系統(tǒng)(11)滿足隨機(jī)穩(wěn)定性和不等式(13)，即符合嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性能指標(biāo)：

(15)

證明考慮噪聲v(k)=0的情況下，研究系統(tǒng)(11)的隨機(jī)穩(wěn)定性.選取如下Lyapunov函數(shù)：

V(e(k))=e(k)TPδ(k)e(k),

其中，對(duì)任意Pδ(k)>0，δ(k)∈φ.定義δ(k)?ω，δ(k+1)?r.則有：

ΔV(e(k))=E{V(e(k+1))-V(e(k))}=

E{e(k)TATPrAe(k)+

2e(k)TATPrKωφωCe(k)-e(k)TPωe(k)+

2e(k)TATPrBF(e(k))-

F(e(k))TBTPrBF(e(k))=

ξ(k)TΗξ(k),

(16)

其中：

對(duì)于非線性函數(shù)fi(·)，i∈{1,2,…,n}，基于假設(shè)1中不等式(3)，存在標(biāo)量τ>0使下列不等式滿足：

進(jìn)一步，上述不等式可寫為如下形式：

結(jié)合式(16)和(17)，可得：

ΔV(e(k))≤ξ(k)TΘξ(k),

即

ΔV(e(k))≤-λmin(-Θ)ξ(k)Tξ(k),

其中λmin(-Θ)為矩陣Θ的最小特征值，根據(jù)定義1和文獻(xiàn)[21]的方法可知，系統(tǒng)(11)隨機(jī)穩(wěn)定.

2.2 耗散性能分析

下面將進(jìn)一步研究v(k)≠0時(shí)誤差系統(tǒng)(11)的嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性.

首先，定義新的性能指標(biāo)函數(shù)J(n)，

v(k)T(γ2I-R)v(k)}.

在零初始條件下，有

2z(k)TSv(k)+v(k)T(γ2I-R)v(k)}=

z(k)TQz(k)-2z(k)TSv(k)+v(k)T(γ2I-R)v(k).

(18)

將非線性條件(17)用于式(18)，得到同時(shí)滿足非線性條件和嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性能指標(biāo)的不等式：

(19)

其中：

結(jié)合定理1中式(15)和Schur補(bǔ)定理可知Φ<0，則

J(n)<0，?n≥0.

根據(jù)定義2，可知系統(tǒng)(11)滿足嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性.

3 控制器設(shè)計(jì)

定理1對(duì)誤差系統(tǒng)(11)的隨機(jī)穩(wěn)定性和耗散性能進(jìn)行了分析，下面將基于已得到的結(jié)論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì).

定理2對(duì)任意ω∈{1,2,…,}，給定γ，若存在矩陣Pω>0，R>0，Kω使下列不等式成立，則誤差系統(tǒng)(11)是隨機(jī)穩(wěn)定且滿足嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性能指標(biāo).

(20)

4 仿真實(shí)例

本節(jié)將通過一個(gè)仿真實(shí)例來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的基于多通道傳輸策略跟蹤系統(tǒng)的跟蹤可行性，同時(shí)驗(yàn)證設(shè)計(jì)的控制器滿足隨機(jī)穩(wěn)定性和嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性.

考慮傳輸網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)有3條通道，假定系統(tǒng)內(nèi)部的參數(shù)如下：

定義

基于Matlab的LMI工具箱對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行求解，得到結(jié)果如圖1—3所示.仿真時(shí)假定通道數(shù)為3，待傳輸數(shù)據(jù)2維，用Markov隨機(jī)過程對(duì)通道進(jìn)行選擇，會(huì)出現(xiàn)6種組合情況，因此Markov隨機(jī)跳變情況如圖1所示.圖2表示系統(tǒng)狀態(tài)信號(hào)x(k)與跟蹤信號(hào)s(k)的軌跡，分析圖2得知，跟蹤開始時(shí)跟蹤信號(hào)與系統(tǒng)狀態(tài)信號(hào)之間存在較大的誤差，但二者的差距逐漸減少，最后趨于一致，說明基于跟蹤誤差和輸出誤差設(shè)計(jì)的控制器能夠較好地實(shí)現(xiàn)跟蹤的目標(biāo).圖3展示了系統(tǒng)的性能，結(jié)合嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性的定義，可以明顯發(fā)現(xiàn)J1≥J2是成立的，因此可以證明系統(tǒng)滿足嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性.

圖1 Markov跳變過程Fig.1 Markov jump process

圖2 系統(tǒng)信號(hào)x(k)及其跟蹤信號(hào)s(k)的軌跡Fig.2 Trajectories of system signal x(k) and tracking signal s(k)

圖3 系統(tǒng)能量供給與能量損耗軌跡Fig.3 Trajectories of system energy supply J1 and energy loss J2

5 結(jié)論

本文針對(duì)一類容易出現(xiàn)丟包問題的單通道傳輸系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種多通道傳輸系統(tǒng)模型，并給出了系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定前提下的嚴(yán)格耗散性能分析.為了能更加貼近真實(shí)的傳輸情況，本文在研究時(shí)設(shè)定了一個(gè)外部干擾信號(hào)，面對(duì)傳輸系統(tǒng)冗雜的數(shù)據(jù)，本文通過Markov隨機(jī)過程對(duì)通道進(jìn)行選擇，以此降低丟包的概率.將一對(duì)一的測量輸出系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)維，設(shè)計(jì)了跟蹤系統(tǒng)的控制器增益，使其滿足隨機(jī)穩(wěn)定性和嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散性能，并通過具體數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了所提出的定理的可行性.接下來將在已有的研究基礎(chǔ)上，把研究重心放在面向跟蹤系統(tǒng)的多通道傳輸策略如何優(yōu)化這一課題上.