喬凌鈺 費(fèi)玉環(huán),2 鄭凱 馬振偉,3 劉玥

0 引言

數(shù)控機(jī)床作為一種高精度機(jī)械零件加工的機(jī)電一體化設(shè)備,在生產(chǎn)制造業(yè)占據(jù)重要地位[1]．?dāng)?shù)控機(jī)床位置伺服系統(tǒng)是數(shù)控機(jī)床中很重要的組成部分,是一個(gè)多耦合和參數(shù)變化較大的非線性系統(tǒng)[2-3]，且系統(tǒng)的機(jī)械傳動(dòng)部分和永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM)具有時(shí)變性和強(qiáng)耦合性的特點(diǎn)．當(dāng)伺服系統(tǒng)模型的參數(shù)發(fā)生改變時(shí),系統(tǒng)不能及時(shí)對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償．近年來,針對(duì)數(shù)控機(jī)床位置伺服系統(tǒng)的研究,國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用了多種算法,如模糊控制[3]、滑?？刂芠4]、迭代學(xué)習(xí)控制[5]、PID控制[6]等．滑模變結(jié)構(gòu)適用于非線性系統(tǒng),具有響應(yīng)快、超調(diào)小、抗干擾能力強(qiáng)等特點(diǎn),但易產(chǎn)生抖振．迭代學(xué)習(xí)控制能應(yīng)用在非線性、模型不太確定的控制系統(tǒng),且不需要知道被控對(duì)象的具體數(shù)學(xué)模型，已在掃描光刻系統(tǒng)[7]、永磁直線同步電機(jī)[8]中被應(yīng)用,但是迭代次數(shù)較少、控制精度不高．線性模型一般用傳統(tǒng)的PID控制器進(jìn)行控制[9],但在實(shí)際應(yīng)用中,由于位置伺服系統(tǒng)太過復(fù)雜,模型建立困難,PID控制很難實(shí)現(xiàn)．

本文采用的無模型自適應(yīng)控制(Model-Free Adaptive Control,MFAC)[10]算法能夠?qū)崿F(xiàn)非線性系統(tǒng)的無模型自適應(yīng)控制．該方法在類似位置伺服系統(tǒng)的一些時(shí)變、強(qiáng)耦合、強(qiáng)干擾的復(fù)雜系統(tǒng)中有一定的控制效果,且方法簡(jiǎn)單,不需要模型的信息,也無需人工對(duì)控制器進(jìn)行參數(shù)調(diào)整,魯棒性強(qiáng)且便于實(shí)現(xiàn)．MFAC算法提出時(shí)間相對(duì)較短,但已經(jīng)在永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[11]、四旋翼飛行器[12]等控制對(duì)象中成功應(yīng)用．MFAC方法目前在數(shù)控機(jī)床控制系統(tǒng)中還未廣泛應(yīng)用,因此無模型自適應(yīng)控制算法有一定的應(yīng)用潛力．

1 數(shù)控機(jī)床位置伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本文采用dq坐標(biāo)系下的PMSM的數(shù)學(xué)模型如下:

(1)

(2)

(3)

一般情況下,在常用的表貼式的永磁同步電機(jī)中Ld=Lq,所以:

(4)

以上各式中：ωr為相對(duì)于實(shí)際定子的角速度;Rs為定子繞組的電阻;Ld,Lq分別為定子d,q軸電感;ud,uq分別為定子d,q軸電壓;id,iq分別為轉(zhuǎn)子d,q軸電流;ψd,ψq分別為定子d,q軸磁鏈;Kt為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)．

如圖1所示,基于PMSM的交流位置伺服系統(tǒng)一般采用三環(huán)控制結(jié)構(gòu),由內(nèi)向外依次是電流環(huán)、速度環(huán)及位置環(huán)．電流環(huán)與速度環(huán)采用PI控制器,位置環(huán)采用P控制器．

2 基于改進(jìn)前MFAC的位置伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)及仿真結(jié)果分析

2.1 基于改進(jìn)前MFAC的控制器設(shè)計(jì)

本文在傳統(tǒng)PI控制方式的基礎(chǔ)上,采用緊格式動(dòng)態(tài)線性化 (Compact Format Dynamic Linearization,CFDL)方法的無模型自適應(yīng)控制方案對(duì)位置環(huán)與速度環(huán)進(jìn)行設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)出的基于MFAC的位置伺服系統(tǒng)如圖2所示．其中電流環(huán)參數(shù)設(shè)置為Kpd=αLd,Kid=αRs,Kpq=αLq,Kiq=αRs,其濾波器系數(shù)α=2π/Ts,時(shí)間常數(shù)Ts=min{Ld/Rs,Lq/Rs}．

以q軸電流信號(hào)i、位置信號(hào)x作為系統(tǒng)的輸入與輸出,組成以下單輸入單輸出(Single-Input and Single-Output,SISO)離散時(shí)間的非線性系統(tǒng)方程:

x(k+1)=f(x(k),…,x(k-nx),i(k),…,i(k-ni)),

(5)

其中,i(k)與x(k)分別為位置伺服系統(tǒng)在k時(shí)刻的電流信號(hào)和位置信號(hào),f(·)是未知函數(shù),nx與ni是未知的正整數(shù)．

在給出動(dòng)態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型之前,作出如下符合位置伺服系統(tǒng)的假設(shè):

假設(shè)1f(·)關(guān)于第(nx+2)個(gè)變量偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．

假設(shè)2系統(tǒng)滿足廣義Lipschikz條件,即對(duì)任意k1≠k2，i(k1)≠i(k2)有:

|x(k1+1)-x(k2+1)|≤d|i(k1)-i(k2)|,

(6)

其中：x(kx+1)=f(x(ke),…,x(ke-ox),i(ke),…,

圖1 基于PMSM的交流位置伺服系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)Fig.1 Control structure of an AC position servo system based on PMSM

圖2 基于MFAC控制方案的位置伺服系統(tǒng)Fig.2 The proposed position servo system based on MFAC

i(ke-oi)),e=1,2;d>0是常數(shù)．

假設(shè)3對(duì)某一給定的一致有界的系統(tǒng)期望輸出信號(hào)x*(k+1),總存在一個(gè)有界的i*(k),使得系統(tǒng)在此控制輸入信號(hào)的驅(qū)動(dòng)下,輸出等于x*(k+1)．

假設(shè)4對(duì)任意時(shí)刻k以及Δi(k)≠0,有φ(k)≥0,且在有限時(shí)刻內(nèi)φ(k)=0．

當(dāng)系統(tǒng)方程(1)滿足假設(shè)1與假設(shè)2且|Δi(k)|≠0時(shí),系統(tǒng)方程(1)等價(jià)于

Δx(k+1)=φ(k)Δi(k),

(7)

其中,φ(k)是偽偏導(dǎo)數(shù)(Pseudo-Partial-Derivative,PPD),是時(shí)變參數(shù)．

設(shè)控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)為

J(i(k))=|x*(k+1)-x(k+1)|2+

λ|i(k)-i(k-1)|2，

(8)

圖3 基于MFAC的位置伺服系統(tǒng)仿真框圖Fig.3 Simulation block diagram of position servo system based on MFAC

其中,λ>0是權(quán)重因子,防止Δi(k)過大,x*(k+1)是期望跟蹤信號(hào)．

為了使跟蹤誤差最小,令?J/?i(k)=0,得出控制算法為

(9)

其中,ρ∈(0,1]是步長(zhǎng)．

由于φ(k)未知,需要對(duì)其進(jìn)行估計(jì),設(shè)PPD估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)為

J(φ(κ))=|x(k)-x(k-1)-φ(k)Δi(k-1)|2+

(10)

其中,μ>0是權(quán)重因子．

令?J/?φ(k)=0得PPD估計(jì)算法為

(11)

根據(jù)式(11)與式(9),得MFAC控制方案:

(12)

(13)

(14)

經(jīng)證明,在滿足上述所有假設(shè)情況下,滿足:

1)|x*(k+1)-x(k+1)|≤N|Δi(k)|,N是常數(shù);

2)當(dāng)x*(k+1)=c,c為常數(shù),存在正數(shù)λmin>0,當(dāng)λ>λmin時(shí),系統(tǒng)是有界輸入-有界輸出(Bounded Input Bounded Output,BIBO)穩(wěn)定的．

因而系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的．

2.2 仿真結(jié)果分析

圖3為基于無模型自適應(yīng)的位置伺服系統(tǒng)仿真圖,仿真條件為:直流測(cè)電壓Udc=300 V,PWM開關(guān)頻率fPWM=10 kHz,采樣周期Ts=10 μs,采用變步長(zhǎng)ode23tb算法,相對(duì)誤差為0.001,仿真時(shí)間為0.3 s,給定電機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)路程為1 mm,起始轉(zhuǎn)矩為5 N·m,0.15 s時(shí)將負(fù)載轉(zhuǎn)矩提升至10 N·m．圖3仿真框圖的參數(shù)如下:kp=15.6,ki=116 2,無模型自適應(yīng)控制器參數(shù)為η=1.5,ρ=0.01,μ=1.5,λ=4．其電機(jī)參數(shù)如表1所示．

表1 PMSM參數(shù)

無模型自適應(yīng)控制器仿真所得曲線如下:圖4為位置跟隨曲線,圖5為轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線,圖6為電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線,圖7為三相電流曲線．

圖4 位置跟隨曲線Fig.4 Position following curve of MFAC

圖5 轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線Fig.5 Speed response curve of MFAC

圖6 電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線Fig.6 Electromagnetic torque response curve of MFAC

圖7 三相電流曲線Fig.7 Three-phase current curve of MFAC

由圖4可以看出,轉(zhuǎn)子位置經(jīng)過0.15 s,到達(dá)給定值1 mm,位置跟蹤誤差在10 μm左右．從圖5可以看出,超調(diào)量較小，在前0.05 s內(nèi)速度變化率高,轉(zhuǎn)速最高達(dá)到了55 r/min,在0.02 s后,轉(zhuǎn)速緩慢下降.從圖6可以看出,啟動(dòng)時(shí)的電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)大約為42 N·m,0.01 s時(shí),變化劇烈,效果較差,0.06 s時(shí),收斂到給定轉(zhuǎn)矩5 N·m.從圖7可以看出,在0.01 s以后,單相電流波動(dòng)范圍為6 A,三相電流開始穩(wěn)定的時(shí)間為0.055 s,并且在0.15 s增大負(fù)載后,系統(tǒng)位置跟隨幾乎不受影響,轉(zhuǎn)速有輕微波動(dòng),波動(dòng)范圍在0.5 r/min左右,電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生超調(diào)量較小,且轉(zhuǎn)矩變動(dòng)未使電流產(chǎn)生明顯超調(diào),系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能較好．

采用MFAC控制時(shí),電機(jī)轉(zhuǎn)速變化緩慢,位置響應(yīng)曲線較為平穩(wěn),無超調(diào)量,系統(tǒng)穩(wěn)定．但是此算法過于簡(jiǎn)單,PPD不能夠在復(fù)雜的系統(tǒng)中充分地調(diào)節(jié)位置變化量與電流變化量的關(guān)系．且由圖6可看出,電磁轉(zhuǎn)矩在啟動(dòng)時(shí)的波動(dòng)較大．

3 基于改進(jìn)后MFAC的位置伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)及仿真結(jié)果分析

3.1 基于改進(jìn)后MFAC的控制器設(shè)計(jì)

為進(jìn)一步提高位置跟蹤精度,改善系統(tǒng)動(dòng)靜態(tài)性能,并且保證控制算法的特性不變,這里通過增加比例和積分控制項(xiàng)來對(duì)緊格式MFAC的控制算法進(jìn)行改進(jìn)．所增控制項(xiàng)同樣為時(shí)變參數(shù),且改進(jìn)后的算法適用范圍更廣泛．

對(duì)式(9)進(jìn)行改進(jìn),設(shè)計(jì)以下控制算法:

e(k-1))+lie(k)),

(15)

其中,lp≥0與li>0是加權(quán)因子,而且e(k)為

e(k)=x*(k+1)-x(k).

(16)

從式(15)可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)的MFAC控制算法含有比例與積分的時(shí)變參數(shù),控制算法(9)是控制算法(15)的特例,即當(dāng)lp=0和li=1時(shí),改進(jìn)后的算法與改進(jìn)前相同．

2) 當(dāng)x*(k+1)=c,c為常數(shù),系統(tǒng)的位置離散信號(hào){x(k)}與電流離散信號(hào){i(k)}有界,即系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的．

因此,閉環(huán)系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的．

3.2 仿真結(jié)果分析

改進(jìn)后MFAC控制器的新增參數(shù)為lp=1,li=1.5．圖8為位置跟隨曲線,圖9為轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線,圖10為電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線,圖11為三相電流曲線．

圖8 位置跟隨曲線Fig.8 Position following curve of improved MFAC

圖9 轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線Fig.9 Speed response curve of improved MFAC

圖10 電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線Fig.10 Electromagnetic torque response curve of improved MFAC

圖11 三相電流曲線Fig.11 Three-phase current curve of improved MFAC

由圖8可以看出,轉(zhuǎn)子位置經(jīng)過0.15 s,到達(dá)給定值1 mm,位置跟蹤誤差降到約1 μm．從圖9可以看出,轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線無明顯超調(diào)量,轉(zhuǎn)速變化在前0.05內(nèi)速度變化率高,最高達(dá)到了51 r/min,在0.01 s 后,穩(wěn)定在50 r/min,在0.03 s后,轉(zhuǎn)速下降．從圖10可以看出,啟動(dòng)時(shí)的電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)大約為41 N·m,在0.01 s時(shí),變化過于劇烈，在0.06 s時(shí),收斂到給定轉(zhuǎn)矩5 N·m．從圖11可以看出：?jiǎn)?dòng)0.01 s后,電流波動(dòng)幅度較小,單相電流波動(dòng)范圍在5 A以內(nèi),因此控制器的動(dòng)態(tài)性能優(yōu)于改進(jìn)前的MFAC;三相電流開始穩(wěn)定的時(shí)間為0.055 s；此外,0.15 s時(shí),由于變載導(dǎo)致的轉(zhuǎn)速波動(dòng)范圍減小到0.25 r/min左右,說明系統(tǒng)的抗干擾能力有所提升,此時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩與電流均未出現(xiàn)明顯的超調(diào)量,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能仍然較好．

與改進(jìn)前MFAC控制的位置伺服系統(tǒng)相比,采用改進(jìn)后的MFAC控制時(shí),電機(jī)轉(zhuǎn)速的穩(wěn)定的時(shí)間更長(zhǎng),啟動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)幅度更小,位置跟隨精度有所提高,系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能均有一定提升．由此說明,改進(jìn)后所設(shè)計(jì)的控制器的參數(shù)具有良好的動(dòng)態(tài)性能和抗擾動(dòng)能力,能夠滿足實(shí)際系統(tǒng)控制性能的需要．

4 結(jié)語

數(shù)控機(jī)床的位置伺服系統(tǒng)是一種典型的非線性、具有不確定性的時(shí)變系統(tǒng)．本文設(shè)計(jì)了兩種基于MFAC控制的位置伺服系統(tǒng),針對(duì)改進(jìn)前MFAC控制算法過于簡(jiǎn)單的問題,增加時(shí)變比例與積分控制項(xiàng)來進(jìn)行改進(jìn),設(shè)計(jì)了改進(jìn)后的MFAC控制器．仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,兩種MFAC控制器都能實(shí)現(xiàn)對(duì)位置伺服系統(tǒng)的控制,并且改進(jìn)后MFAC算法的位置跟蹤效果更好,魯棒性更強(qiáng),更適用于高精度位置伺服系統(tǒng)中．