董鑫淼 李傳東 王欣 曹正然

0 引言

隨著人工智能的發(fā)展,多智能體系統(tǒng)[1]作為人工智能的一個(gè)重要分支,受到了廣泛的關(guān)注并成為研究的熱點(diǎn).在各學(xué)科專家、學(xué)者的共同努力下,多智能體系統(tǒng)在一致性[2-3]、同步[4-5]、群集[6-7]、協(xié)調(diào)[8-9]、優(yōu)化控制[10]等領(lǐng)域取得了豐碩的成果.此外,關(guān)于一致性問(wèn)題有兩個(gè)常見(jiàn)的研究方向,一個(gè)是領(lǐng)導(dǎo)跟隨模型[11],另一個(gè)是無(wú)領(lǐng)導(dǎo)監(jiān)督模型[12].

領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性[13-16],意味著多智能體系統(tǒng)內(nèi),跟隨者的動(dòng)態(tài)行為要與領(lǐng)導(dǎo)者達(dá)到統(tǒng)一.需要指出的是,一致性類型有很多,如漸近一致性[17]、指數(shù)一致性[18]、有限時(shí)間一致性[19]、固定時(shí)間一致性[20-21]等.指數(shù)一致性作為一種特殊的漸近一致性,已經(jīng)被很多學(xué)者研究.然而,漸近一致性和指數(shù)一致性通常是在時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)實(shí)現(xiàn)的,這在現(xiàn)實(shí)生活中很難實(shí)現(xiàn).近年來(lái),有限時(shí)間一致性的概念被提出,解決了漸近一致性和指數(shù)一致性的缺陷,且達(dá)到一致的時(shí)間是可計(jì)算的.但它仍有缺陷,因?yàn)樵摃r(shí)間依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài).作為一種特殊的有限時(shí)間一致,固定時(shí)間一致是避免這種缺陷的好方法[22-24].但現(xiàn)有關(guān)于領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)的文獻(xiàn)中,研究固定時(shí)間的成果相對(duì)較少.因此,研究領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性具有重要的意義.不失一般性,本文建立的是最基本的非線性領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)模型.

當(dāng)多智能體之間的連接很弱時(shí),沒(méi)有控制器就很難實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的同步.迄今為止,已經(jīng)發(fā)表了很多控制方案,如自適應(yīng)控制[25]、事件觸發(fā)控制[26-27]、協(xié)同控制[28]、脈沖控制[29]、狀態(tài)反饋控制[30]、采樣數(shù)據(jù)控制[31]、間歇控制[32]等.脈沖控制是一種典型的控制方法,廣泛應(yīng)用于生物、醫(yī)學(xué)、物理、航天等領(lǐng)域.一方面,系統(tǒng)不可避免地會(huì)受到干擾和中斷,脈沖效應(yīng)可以很好地模擬狀態(tài)的突變；另一方面,它可以有效緩解信息傳遞的壓力.

由于通信信道的比特率、能量和帶寬是有限的,信息量化[33]在控制方案中起著重要作用.一般有兩種量化器:均勻量化器[34-36]和對(duì)數(shù)量化器[37-39].本文考慮對(duì)數(shù)量化器.

考慮到上述幾個(gè)因素,本文通過(guò)量化脈沖控制的方法分析了非線性領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題.本文的新穎之處在于:1)建立領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)模型,并設(shè)計(jì)了合適的控制協(xié)議;2)將通信數(shù)據(jù)量化,且在脈沖時(shí)刻進(jìn)行系統(tǒng)內(nèi)的信息交換,大大降低了通信帶寬和能耗;3)所建立的模型是最基本的非線性多智能體系統(tǒng).

本文的其余內(nèi)容如下所示:第1節(jié)是預(yù)備知識(shí),并介紹一些必要的假設(shè)、定義和引理;第2節(jié)建立了非線性領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)模型,并基于李雅普諾夫函數(shù)給出了定理;第3節(jié)通過(guò)選擇合適的參數(shù)進(jìn)行仿真,驗(yàn)證了上述理論分析的正確性;第4節(jié)是結(jié)論.

注1本文中,R表示實(shí)數(shù)集,IN表示N×N單位矩陣,XT表示矩陣X的轉(zhuǎn)置矩陣,diag(x1,x2,…,xN)表示N×N對(duì)角陣,max{xi}表示x1,x2,…,xN的最大值.令M為一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣,則M>0(M<0)表示正(負(fù))定矩陣.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 圖論

通過(guò)計(jì)算L=D-A可以得到拉普拉斯矩陣L=(lij)N×N,其元素滿足:

(1)

1.2 對(duì)數(shù)量化器

量化器關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足Q(m)=(1+Ξi)m,?Ξi∈[-ζ,ζ].而且,如果m∈Rn,有Q(m)=(Q(m)1,Q(m)2,…,Q(m)N).

1.3 假設(shè)和相關(guān)引理

在這部分,將介紹后續(xù)證明需要用到的假設(shè)、定義和引理．

假設(shè)1給定利普希茨常數(shù)lf>0滿足

|f(t,sj(t))-f(t,si(t))|≤lf|sj(t)-si(t)|.

假設(shè)2給定利普希茨常數(shù)lξ1,lξ2,…,lξN>0滿足|ξi(sj(t))-ξi(si(t))|≤lξi|sj(t)-si(t)|,其中i=1,2,…,N.

引理3[42]假設(shè)在(t,T)區(qū)間上有脈沖序列τ=t1,t2,…,令T表示平均脈沖間隔,Kξ(t,t0)表示給定區(qū)間內(nèi)的脈沖次數(shù),存在K0∈N+和T∈R+滿足

2 主要結(jié)果

本節(jié)建立了領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)模型．此外,通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)得到了同步標(biāo)準(zhǔn)和一些充分條件,證明了領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)在量化脈沖控制下的固定時(shí)間一致性,并給出了同步時(shí)間.

(1)

其中,xi∈R描述第i個(gè)多智能體的狀態(tài),f:R×R→R是一個(gè)非線性函數(shù),且ui∈R是第i個(gè)多智能體的控制協(xié)議.

標(biāo)記為0的多智能體稱為領(lǐng)導(dǎo)者,是根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定的理想目標(biāo)軌跡,s0(t)可以被動(dòng)態(tài)描述為

(2)

第i個(gè)多智能體的控制協(xié)議被設(shè)計(jì)為

(3)

其中,控制參數(shù)α,β>0,x，y，p和q都是正奇數(shù),且滿足xp.

在控制協(xié)議(3)下,系統(tǒng)(1)被改寫(xiě)為

(4)

令ci(t)=si(t)-s0(t),可以得到誤差系統(tǒng).

(5)

定理1假定假設(shè)1和2滿足且γk∈(0,1).當(dāng)(IN+GΞ+G)T(IN+GΞ+G)-γkIN<0時(shí),非線性多智能體系統(tǒng)(4)將在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性,一致時(shí)間為

(6)

根據(jù)假設(shè)1,有

(7)

其中,η1=2lf>0.

(8)

根據(jù)引理4,有

(9)

(10)

綜上所述,李雅普諾夫函數(shù)可以被改寫(xiě)為

(11)

當(dāng)t=tk時(shí),

(12)

由于(IN+GΞ+G)T(IN+GΞ+G)-γkIN是負(fù)定的,因此

(13)

方便起見(jiàn),用γ=max{γ1,γ2,…,γk}來(lái)代替γk.

根據(jù)式(6)—(13),可以推導(dǎo)出

(14)

因此構(gòu)建如下比較系統(tǒng)[45]:

考慮0<γ<1,為了方便計(jì)算,當(dāng)ν(t)≥1時(shí),假設(shè)r(t)=ν1-ω(t),式(15)可改寫(xiě)為

其中,γ1=γ1-ω≥1.如果畫(huà)出r(t)關(guān)于ν(t)的曲線,可以看出連續(xù)部分大致是下降的,且當(dāng)ν(t)→1時(shí),r(t)→1,當(dāng)ν(t)→∞時(shí),r(t)→0.

式(16)的解可以通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法[46]求出.

(18)

接下來(lái)求解T1,

(19)

(20)

(21)

(22)

接下來(lái)考慮另一種情況0<ν(t)<1,設(shè)定r(t)=ν1-υ,可以得到

(23)

其中0<γ2<1滿足γ2=γ1-υ.如果畫(huà)出r(t)關(guān)于ν(t)的曲線,可以看出連續(xù)部分大致是上升的,且當(dāng)ν(t)→1時(shí),r(t)→1,當(dāng)ν(t)→0時(shí),r(t)→0.

通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法,可推出

(24)

這表明r(t)是單調(diào)遞增的,且r(T1)=1.

因此,式(24)可以重寫(xiě)為

(25)

t-T1=2TaN0+

T2=2TaN0+

(26)

根據(jù)上述分析可以得到同步時(shí)間為

T=T1+T2=

(27)

注2估算的T值是最大同步時(shí)間,且不確定是在連續(xù)時(shí)間還是脈沖跳變點(diǎn).

3 數(shù)值仿真

本節(jié)選擇一些合適的參數(shù)通過(guò)仿真驗(yàn)證以上理論分析的有效性．

考慮如下多智能體系統(tǒng),網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙鐖D1所示．

圖1 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DFig.1 Network topology map

和

其中,s0是一個(gè)孤立的控制節(jié)點(diǎn),滿足初始值s0(0)=0.5,其余4個(gè)多智能體滿足初始值為s0(0)=[-0.1,-2.7,1.8,2.4]T.F(t,m(t))=[f(t,m1(t)),f(t,m2(t)),f(t,m3(t)),f(t,m4(t))].f(t,mi(t))=cos2(mi(t))-|sin(mi(t))|,滿足常數(shù)為lf=[1,1,1.8,1.2]T的利普希茨條件.如圖2所示.s(t)的拉普拉斯矩陣為

令步長(zhǎng)為0.000 1,脈沖間隔為0.002,脈沖增益γ=0.8.取α=4.3,β=2.5,x=1,y=3,p=5,q=3.經(jīng)過(guò)計(jì)算得,η1=4.4,η2=9.798 8,η3=16.459 1,且

(IN+GΞ+G)T(IN+GΞ+G)-γkIN<0也滿足.

0.173 8s.

顯而易見(jiàn),定理1是有效的,圖2展示了跟隨者將在約0.18 s的位置與領(lǐng)導(dǎo)者達(dá)到一致.

圖2 在脈沖控制下s(t)中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都與s0(t)達(dá)到一致Fig.2 Every node of s(t) achieves soon consensus with s0(t) under impulsive control

4 結(jié)論

通過(guò)選擇合適的脈沖控制協(xié)議,解決了非線性領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題.為減少通信損失,脈沖控制協(xié)議保證多智能體系統(tǒng)內(nèi)的多智能體在脈沖時(shí)刻進(jìn)行信息交互.利用李雅普諾夫函數(shù)、凸分析和利普希茨條件,得到了兩個(gè)充分條件,使系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致,該時(shí)間可計(jì)算且與初始狀態(tài)無(wú)關(guān).最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的可行性.