范彥麗 李永明 佟紹成

0 引言

在過去十幾年中,學(xué)者們對高階非線性系統(tǒng)控制問題的關(guān)注度逐年提高,并取得了一些有價值的理論成果[1-4]．相對于文獻(xiàn)[5-6] 中嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),高階非線性系統(tǒng)在線性化過程中存在不可控情況,同時虛擬和實際控制輸入中存在指數(shù)冪次pi,這增加了控制器的設(shè)計難度,因此傳統(tǒng)的反步遞推方法不再適用．為了解決高階非線性系統(tǒng)的控制問題,Lin等[1]在反步遞推方法的基礎(chǔ)上首次提出了加冪積分控制技術(shù)．隨后,許多學(xué)者利用加冪積分方法對高階非線性系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛研究．文獻(xiàn)[2-3]針對單輸入單輸出高階非線性系統(tǒng),研究了狀態(tài)反饋和輸出反饋控制設(shè)計問題,在Lyapunov穩(wěn)定意義下,保證了被控系統(tǒng)漸近穩(wěn)定．

值得注意的是,漸近穩(wěn)定不能給被控系統(tǒng)提供更高精度的控制方案．在飛行器姿態(tài)、感應(yīng)電機等實際控制中,一般希望控制系統(tǒng)能在有限時間內(nèi)滿足期望的控制性能．此外,有限時間控制具有許多潛在的好處,如較強的收斂速度和較強的魯棒性等．因此,近幾年有限時間控制問題的研究取得了很大的進(jìn)展．文獻(xiàn)[7-8]通過加冪積分技術(shù)和齊次占優(yōu)技術(shù),研究了高階非線性系統(tǒng)的全局有限時間控制問題;文獻(xiàn)[9]針對一類具有參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)在給定的瞬態(tài)指標(biāo)基礎(chǔ)上,提出了一種自適應(yīng)有限時間控制方法;文獻(xiàn)[10]基于擾動觀測器討論了一類不確定非線性系統(tǒng)的終端滑模控制;文獻(xiàn)[11-12]分別針對嚴(yán)格反饋和非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),基于自適應(yīng)模糊和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法,在有限時間Lyapunov穩(wěn)定理論的框架下,保證了被控系統(tǒng)實際有限時間穩(wěn)定．雖然上述工作[7-12]對非線性系統(tǒng)的有限時間控制設(shè)計問題進(jìn)行了相應(yīng)的研究,但仍存在一些問題值得進(jìn)一步研究．

除了穩(wěn)定性問題,當(dāng)考慮到性能規(guī)格以及安全等因素,非線性系統(tǒng)會受到狀態(tài)或輸出的約束,在系統(tǒng)運行期間,如果狀態(tài)或輸出違反約束條件,可能會使系統(tǒng)性能下降或損壞．文獻(xiàn)[13]結(jié)合時變非對稱障礙Lyapunov函數(shù),對一類具有全狀態(tài)約束的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),提出了一種自適應(yīng)跟蹤控制方案;文獻(xiàn)[14]對一類非三角結(jié)構(gòu)系統(tǒng),在考慮執(zhí)行器故障和誤差約束的條件下,提出了一種自適應(yīng)模糊控制方案．通過結(jié)合tan型障礙Lyapunov函數(shù),文獻(xiàn)[15-16]針對具有部分狀態(tài)約束和全狀態(tài)約束的高階非線性系統(tǒng),分別構(gòu)造了兩種不同的控制器．但是上述工作[13-16]均未考慮有限時間控制．在實際工程中,如機器人機械手、電機系統(tǒng)等,不僅存在狀態(tài)約束現(xiàn)象,而且需要考慮系統(tǒng)的收斂時間問題．近些年來,許多學(xué)者致力于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)約束和有限時間控制問題的研究,并取得了許多具有標(biāo)志性的成果[17-20]．文獻(xiàn)[17-18]分別針對具有死區(qū)非線性和切換行為的非線性系統(tǒng),研究了有限時間全狀態(tài)約束控制設(shè)計問題;文獻(xiàn)[20]將文獻(xiàn)[17-18]所提出的控制設(shè)計算法應(yīng)用到了實際直流電機系統(tǒng)．在文獻(xiàn)[17-20]所考慮的非線性系統(tǒng)中,虛擬控制和實際控制的冪次均為1．

受到以上研究成果的啟發(fā),本文針對一類非嚴(yán)格反饋高階非線性系統(tǒng),提出一種自適應(yīng)模糊有限時間跟蹤控制方法．結(jié)合反步遞推法、加冪積分技術(shù)和障礙Lyapunov函數(shù),設(shè)計了一種自適應(yīng)有限時間控制器．所設(shè)計的控制器能夠同時確保輸出有限時間內(nèi)跟蹤給定的參考信號,且閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)不超出給定的約束邊界．與現(xiàn)有的文獻(xiàn)相比,本文的貢獻(xiàn)概括為以下三方面:

2) 相較于文獻(xiàn)[17-20]系統(tǒng)冪次為1的約束問題,本文解決了控制輸入冪次是正奇數(shù)比的非線性系統(tǒng)的狀態(tài)約束控制問題．

3) 本文所設(shè)計的有限時間控制器不僅可以保證系統(tǒng)狀態(tài)不超出給定約束邊界,而且能確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號在有限時間內(nèi)收斂到包含原點的一個小鄰域內(nèi)．而文獻(xiàn)[15-16]在系統(tǒng)滿足狀態(tài)約束條件下,沒有考慮閉環(huán)系統(tǒng)收斂時間．

1 模型描述和預(yù)備知識

1.1 模型描述

考慮如下一類非線性系統(tǒng):

(1)

其中：x=[x1,x2,…,xn]Τ∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u∈R和y∈R分別是系統(tǒng)的控制輸入和輸出;hi(x)和gi(x)是光滑未知非線性函數(shù);指數(shù)pi(i=1,2,…,n)是兩個正奇數(shù)的比值．x(0)=[0,…,0]Τ是系統(tǒng)的平衡點．對于任意給定的正常數(shù)kci,系統(tǒng)所有的狀態(tài)收斂到給定的緊集內(nèi),即Ωxi={xi∈R||xi|

(2)

1.2 預(yù)備知識

引理1[6,14]在緊集Ω上定義連續(xù)函數(shù)h(x),對于任意給定正常數(shù)η>0,存在模糊邏輯系統(tǒng)Θ*Τφ(x),滿足:

(3)

引理2[17-19]考慮如下非線性系統(tǒng):

(4)

控制目標(biāo):對于系統(tǒng)(1),設(shè)計有限時間自適應(yīng)模糊控制器,使得:

1)閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號在有限時間內(nèi)收斂到包含原點的一個小鄰域內(nèi);

2)系統(tǒng)輸出在有限時間內(nèi)跟蹤給定信號yr(|yr|≤y0,y0是已知正常數(shù));

3)系統(tǒng)所有狀態(tài)收斂到一個給定的約束邊界內(nèi)．

2 模糊有限時間控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析

在本節(jié)中,基于自適應(yīng)反步遞推方法和加冪積分技術(shù),設(shè)計模糊自適應(yīng)有限時間控制器,同時依據(jù)引理2,結(jié)合所設(shè)計的控制器證明系統(tǒng)(1)是半全局實際有限時間穩(wěn)定的．

2.1 模糊有限時間控制器設(shè)計

定義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換:

(5)

步驟1.根據(jù)式(1)和(5),β1的導(dǎo)數(shù)為

(6)

定義如下障礙Lyapunov函數(shù):

對治療后患者的癥狀進(jìn)行評估，顯效為再無心肌梗死癥狀，有效為心肌梗死的心絞痛程度有所改善，無效為癥狀無變化甚至出現(xiàn)加重現(xiàn)象，顯效率與有效率之和為治療的總有效率。

(7)

(8)

(9)

(10)

根據(jù)Young不等式[14]：

(11)

(12)

其中,υ1>0,σ1>0是設(shè)計參數(shù)．將式(12)代入式(10),可得:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

其中,e2>0是一個設(shè)計參數(shù)．

根據(jù)式(17),式(16)可重寫為

(18)

步驟i(2≤i≤n-1).在這一步中,引入障礙加冪積分技術(shù)．定義如下標(biāo)量函數(shù)

(19)

選取如下Lyapunov函數(shù):

(20)

(21)

根據(jù)式(19),可得:

(22)

(23)

根據(jù)式(23)和不等式|aη-bη|≤21-η|a-b|η[18](a,b∈R且0<η<1),可得:

(24)

其中,bi≥(1/ri)×21-1/ri．

同理可得:

(25)

將式(22)—(25)代入式(21),可得:

(26)

令

(27)

(28)

(29)

根據(jù)Young不等式,可得:

(30)

其中,υi>0,σi>0是設(shè)計參數(shù)．

將式(30)代入式(29),可得:

(31)

(32)

(33)

(34)

步驟n.選取如下Lyapunov函數(shù):

(35)

(36)

(37)

(38)

根據(jù)式(31),(32)和(33),可得Vn的導(dǎo)數(shù)為

(39)

(40)

(41)

2.2 穩(wěn)定性分析

下面的定理給出了所設(shè)計的有限時間控制器所具有的性質(zhì)．

定理1針對非線性系統(tǒng)(1),在假設(shè)1的條件下,控制器(37),虛擬控制函數(shù)(14)、(32)和參數(shù)自適應(yīng)律(15)、(33)和(38),能保證:

1)閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局實際有限時間穩(wěn)定,且輸出信號y在有限時間內(nèi)跟蹤給定信號yr;

2)系統(tǒng)狀態(tài)xi(t)不超出給定的約束邊界kci．

證明選取如下Lyapunov函數(shù):

(42)

注意到,對于任意給定正常數(shù)kb1,β1滿足|β1|

(43)

根據(jù)式(42)和式(43),可得:

(44)

對于τ∈(0,1)一定存在一個常數(shù)=(1+τ)/2,使得∈(0,1)．結(jié)合式(44),進(jìn)一步可得到:

(45)

根據(jù)式(41)和(45),可得:

(46)

類似于式(40),以下不等式成立:

(47)

(48)

(49)

根據(jù)以上分析以及式(15),(33)和(38),得到:

(50)

定理1證明完畢．

3 仿真實例

考慮如下非線性系統(tǒng):

(51)

選擇隸屬函數(shù)為

仿真結(jié)果如圖1—6所示．

圖1 狀態(tài)x1與跟蹤信號yr的軌跡Fig.1 Trajectories of state x1 and tracking signal yr

圖2 狀態(tài)x2的軌跡Fig.2 Trajectory of state x2

圖3 控制器u的軌跡Fig.3 Trajectory of controller u

圖4 跟蹤誤差β1和β2的軌跡Fig.4 Trajectories of tracking errors β1 and β2

圖5 自適應(yīng)參數(shù)的軌跡Fig.5 Trajectory of adaptive parameter

圖6 自適應(yīng)參數(shù)的軌跡Fig.6 Trajectory of adaptive parameter

根據(jù)仿真結(jié)果圖1—6可知,系統(tǒng)的狀態(tài)沒有超出給定的約束邊界,系統(tǒng)輸出在有限時間內(nèi)很好地跟蹤給定的參考信號,同時閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號在有限時間收斂到包含原點的一個小鄰域內(nèi)．

4 結(jié)論

本文針對一類具有全狀態(tài)約束的非嚴(yán)格反饋高階非線性系統(tǒng),在自適應(yīng)模糊理論框架下,研究了一種有限時間自適應(yīng)控制設(shè)計問題．首先,利用模糊邏輯系統(tǒng)對未知非線性函數(shù)進(jìn)行辨識;其次,采用加冪積分技術(shù),構(gòu)造了一種新的障礙Lyapunov 函數(shù),結(jié)合反步遞推技術(shù),解決了高階非線性系統(tǒng)的有限時間狀態(tài)約束問題;最后,通過有限時間Lyapunov穩(wěn)定性理論,嚴(yán)格證明了跟蹤誤差的有限時間收斂性和閉環(huán)系統(tǒng)的半全局實際有限時間穩(wěn)定性．