廉玉曉 楊文靜 王琳淇 王學(xué)良 夏建偉

0 引言

近年來(lái),由于非線性系統(tǒng)被廣泛地應(yīng)用在實(shí)際生活中,因此相關(guān)的控制問(wèn)題受到廣泛的關(guān)注．在對(duì)非線性系統(tǒng)的研究中,反步技術(shù)成為處理非線性系統(tǒng)相關(guān)問(wèn)題的有力工具之一[1-2]．基于反步技術(shù),文獻(xiàn)[3]研究了一類帶有全狀態(tài)約束的隨機(jī)非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制問(wèn)題．然而,當(dāng)非線性系統(tǒng)中的非線性函數(shù)不再是完全已知或者具有未知參數(shù)的線性形式時(shí),仍然使用傳統(tǒng)的反步控制技術(shù)研究此類系統(tǒng)會(huì)有一定的困難．因此,基于上述分析,大量的有關(guān)模糊逼近和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制策略[4-9]被提出．例如,文獻(xiàn)[7]結(jié)合反步技術(shù)和模糊邏輯系統(tǒng)針對(duì)一類帶有時(shí)滯的隨機(jī)非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)追蹤控制方案．

值得注意的是，上述所提到的文獻(xiàn)[7]研究的是一類帶有嚴(yán)格反饋結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),這類系統(tǒng)中的非線性函數(shù)fi(·)至多包含系統(tǒng)中的前i個(gè)狀態(tài)．然而,非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)中的非線性函數(shù)fi(·)是包含全部狀態(tài)變量x=[x1,x2,…,xn]T的函數(shù),這一特性無(wú)疑將增加虛擬控制器設(shè)計(jì)的難度．為解決上述問(wèn)題,人們針對(duì)非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)展開(kāi)了一系列的研究[10-14]．在文獻(xiàn)[13]中,通過(guò)對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行假設(shè)解決了非嚴(yán)格反饋帶來(lái)的困難,并且針對(duì)帶有未知時(shí)滯的非嚴(yán)格反饋隨機(jī)系統(tǒng)提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略．不同的是,文獻(xiàn)[14]移除了關(guān)于非線性函數(shù)的假設(shè),利用模糊邏輯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征克服了非嚴(yán)格反饋帶來(lái)的困難．

隨著網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的迅速發(fā)展,事件觸發(fā)控制[15-18]作為一種節(jié)省網(wǎng)絡(luò)通信資源的有效方法得到了廣泛的研究．如文獻(xiàn)[15]基于事件觸發(fā)機(jī)制和命令濾波,討論了一類隨機(jī)非線性系統(tǒng)的追蹤控制問(wèn)題．

本文結(jié)合反步技術(shù)和事件觸發(fā)機(jī)制,針對(duì)非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)追蹤控制策略．在控制設(shè)計(jì)的過(guò)程中,基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其結(jié)構(gòu)特征解決了系統(tǒng)中非線性函數(shù)和非嚴(yán)格反饋結(jié)構(gòu)帶來(lái)的問(wèn)題．通過(guò)將反步技術(shù)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與事件觸發(fā)機(jī)制相結(jié)合設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器,所設(shè)計(jì)的控制器不僅可以保證所有信號(hào)在閉環(huán)系統(tǒng)中有界,而且減少了控制器與執(zhí)行器之間的傳遞次數(shù),節(jié)約了通信資源．同時(shí),通過(guò)排除芝諾現(xiàn)象證明了該方案的有效性．

1 問(wèn)題陳述

考慮一類單輸入單輸出非嚴(yán)格反饋下的非線性系統(tǒng):

(1)

假設(shè)1[2]對(duì)于i=1,…,n,函數(shù)gi(x)的符號(hào)不變,存在已知常數(shù)g1和g2,使得

0

(2)

顯然,式(2)表明gi(x)嚴(yán)格正或者嚴(yán)格負(fù),因此可以假設(shè)gi(x)>0,?x∈Rn．

控制目標(biāo):基于事件觸發(fā)機(jī)制,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法,使系統(tǒng)的輸出y盡可能地跟蹤到參考信號(hào)yd,且保證所有信號(hào)在閉環(huán)系統(tǒng)中是有界的．

為了更好地實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo),下面給出一些預(yù)備知識(shí)．

引理1[1]對(duì)于任意的變量ξ∈R和常數(shù)ρ>0,有以下不等式成立:

(3)

引理2[4]對(duì)?t∈R+,令V(t)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)并且V(0)有界．若有不等式

(4)

這里a1>0,a2>0是常數(shù),則V(t)有界．

在本文中,徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將會(huì)被用來(lái)逼近連續(xù)的非線性函數(shù)．徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可被表達(dá)成如下形式:

fnn(Z)=WTS(Z),

(5)

其中Z∈ΩZ?Rq是輸入向量,W=[w1,…,wl]T是權(quán)向量,l(>1)是徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目,S(Z)=[s1(Z),…,sl(Z)]T是基函數(shù)向量且

這里μi=[μi1,μi2,…,μiq]T是接受域的中心且常數(shù)η>0是高斯函數(shù)的寬度．

式(5)表明如果f(·)在緊集ΩZ?Rq上是連續(xù)的,則對(duì)任意的精度ε>0,有一個(gè)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(5)使得

f(Z)=W*TS(Z)+δ(Z),

文化是一個(gè)群體在一定時(shí)期內(nèi)形成的思想、理念、行為、風(fēng)俗、習(xí)慣、代表人物，及由這個(gè)群體整體意識(shí)所輻射出來(lái)的一切活動(dòng)。白銀文化是明代中后期白銀貨幣化后在閩東白銀礦區(qū)及其左近地區(qū)出現(xiàn)的一種較為獨(dú)特的貨幣拜物教，在此過(guò)程中輻射出來(lái)的白銀是社會(huì)財(cái)富的直接化身，不僅成為流通物，而且成為物質(zhì)世界和精神世界統(tǒng)轄者的現(xiàn)象。正如馬克思所言“用物的形式掩蓋了私人勞動(dòng)的社會(huì)性質(zhì)以及私人勞動(dòng)者的社會(huì)關(guān)系”。[5]這就是貨幣的拜物教性質(zhì)。

這里W*是理想的權(quán)向量且逼近誤差δ(Z)滿足|δ(Z)|≤ε．

2 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制設(shè)計(jì)

通過(guò)反步設(shè)計(jì)法,構(gòu)造一個(gè)針對(duì)系統(tǒng)(1)的自適應(yīng)神經(jīng)追蹤控制器．首先,定義坐標(biāo)變換如下:

(6)

其中zi是虛擬狀態(tài)追蹤誤差,αi是虛擬控制器．

在設(shè)計(jì)過(guò)程中,虛擬控制器和自適應(yīng)律將會(huì)被設(shè)計(jì)為如下形式;

(7)

(8)

步驟1.由z1=x1-yd可得

(9)

給出如下李雅普諾夫函數(shù)為

(10)

通過(guò)聯(lián)立式(9)和(10),可以得出:

(11)

根據(jù)楊氏不等式有:

(12)

將式(12)代入式(11)有

(13)

應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近φ1(X1),即:

‖δ1(X1)‖≤ε1,ε1>0.

(14)

聯(lián)立引理3以及式(3),式(14)可以被重新寫(xiě)為

(15)

(16)

步驟i(i=2,…,n).由zi=xi-αi-1可得:

(17)

其中

給出如下李雅普諾夫函數(shù)為

(18)

通過(guò)聯(lián)立式(17)和(18),可以得出:

(19)

根據(jù)楊氏不等式有:

(20)

將式(20)代入式(19)有

(21)

應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近φi(Xi),即：

‖δi(Xi)‖≤εi,εi>0.

(22)

與步驟1的處理方法相同,式(22)可以被重新寫(xiě)為

(23)

(24)

步驟n.實(shí)際的控制器被設(shè)計(jì)為

(25)

u(t)=ψ(tk),?t∈[tk,tk+1).

(26)

事件觸發(fā)機(jī)制被設(shè)計(jì)為如下形式:

tk+1=inf{t∈R||e(t)|≥d|u(t)|+r1},

(27)

由zn=xn-αn-1可得:

(28)

其中，

給出如下李雅普諾夫函數(shù)為

(29)

通過(guò)聯(lián)立式(28)和(29),可以得出:

(30)

利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近φn(Xn),即:

‖δn(Xn)‖≤εn,εn>0.

(31)

應(yīng)用與前面相同的處理方法,式(31)可以被重新寫(xiě)為

(32)

根據(jù)u(t)的定義以及引理1,有以下不等式成立:

zngn(x)αn+0.557κ.

(33)

由楊氏不等式,可得:

(34)

(35)

3 穩(wěn)定性分析

(36)

因此,由式(36)和引理2可以得出V(t)是有界的,且有:

(37)

4 可行性分析

接下來(lái),通過(guò)排除芝諾現(xiàn)象證明所提出的事件觸發(fā)機(jī)制的可行性．

定理2考慮非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)(1)、虛擬控制器(7)、實(shí)際控制器(26)和自適應(yīng)率(8),在假設(shè)1、假設(shè)2以及時(shí)間觸發(fā)機(jī)制(27)的條件下,存在一個(gè)正常數(shù)t*,使得?k∈Z+,{tk+1-tk}≥t*,進(jìn)而芝諾現(xiàn)象被排除．

5 仿真實(shí)例

這一部分,將給出一個(gè)例子證明所提出方案的有效性．考慮下面的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng):

自適應(yīng)律被設(shè)計(jì)為

圖1 輸出y和參考信號(hào)yd的軌跡Fig.1 Trajectories of output y and reference signals yd

圖2 追蹤誤差z1的軌跡Fig.2 Trajectory of tracking error z1

圖3 狀態(tài)x1和x2的軌跡Fig.3 Trajectories of states x1 and x2

圖4 自適應(yīng)參數(shù)和的軌跡Fig.4 Trajectories of adaptive parameters

圖5 事件觸發(fā)控制器uFig.5 Trajectory of event-triggered controller u

圖6 觸發(fā)時(shí)間的間隔tk+1-tk Fig.6 Time interval of triggering tk+1-tk

6 結(jié)論

本文研究了一類非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)追蹤控制問(wèn)題．利用反步技術(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近,設(shè)計(jì)了一個(gè)基于事件觸發(fā)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)有界．同時(shí),所提出的事件觸發(fā)機(jī)制減少了控制器與執(zhí)行器之間的傳遞次數(shù),并且避免了芝諾現(xiàn)象．所給出的仿真實(shí)例證明了該方法的有效性．