李天龍 柏建軍

0 引言

從20世紀(jì)70年代到現(xiàn)在，機(jī)器人技術(shù)作為一個新興的研究熱點(diǎn)，得到了廣大學(xué)者的關(guān)注[1].輪式移動機(jī)器人由于其移動靈活、適應(yīng)性強(qiáng)，具有強(qiáng)大的自身承載能力等優(yōu)點(diǎn)，已在航空航天、工業(yè)生產(chǎn)、物流運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2].然而，隨著需要機(jī)器人解決的問題越來越復(fù)雜，對機(jī)器人的性能提出了更高的要求，甚至出現(xiàn)了某些任務(wù)靠單個機(jī)器人是無法完成的情況.為了解決該問題，人們開始考慮用多個廉價(jià)、功能簡單的機(jī)器人合作去完成一項(xiàng)復(fù)雜繁重的任務(wù).多機(jī)器人編隊(duì)控制作為機(jī)器人協(xié)同控制的一個重要研究方向，得到了廣泛的研究并取得了許多有意義的成果[3-6].

根據(jù)控制策略的不同，現(xiàn)有的編隊(duì)控制方法主要有領(lǐng)航跟隨法、虛擬結(jié)構(gòu)法、基于行為法[7]等.相比于其他方法，領(lǐng)航跟隨法具有魯棒性強(qiáng)，能夠很好地對系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行理論分析等優(yōu)點(diǎn)，并因此得到了廣泛的關(guān)注[8].文獻(xiàn)[9]基于領(lǐng)航跟隨法研究了基于視覺的編隊(duì)算法，并對隊(duì)形變換問題進(jìn)行了探討；文獻(xiàn)[10]研究了具有輸入飽和約束下的編隊(duì)控制問題；文獻(xiàn)[11]給出了沿直線編隊(duì)行進(jìn)的控制算法，去除了角速度不能為零的限制；文獻(xiàn)[12]通過構(gòu)造新的狀態(tài)觀測器，給出了一種基于視覺的自適應(yīng)編隊(duì)控制算法；文獻(xiàn)[13]則將滑?？刂茟?yīng)用到了船舶的編隊(duì)控制中，有效地解決了模型不確定與外界干擾對系統(tǒng)性能的影響.

隨著滑?？刂评碚摰牟粩喟l(fā)展，許多學(xué)者提出了基于冪次趨近律的滑?？刂扑惴╗14-17]，有效地解決了傳統(tǒng)滑?？刂浦惺諗克俣嚷⒍墩鸬葐栴}.然而，該方法在編隊(duì)控制中還少有研究.因此，本文基于雙冪次趨近律的滑?？刂婆c領(lǐng)航跟隨編隊(duì)方法相結(jié)合，給出了一種能夠快速收斂的多機(jī)器人編隊(duì)控制算法.

1 領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)模型

移動機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示.以地面為參考系建立全局坐標(biāo)系XOY，以移動機(jī)器人為參考系建立移動機(jī)器人坐標(biāo)系xoy.圖1中2l為y軸方向兩個驅(qū)動輪之間的距離，2r為驅(qū)動輪直徑，a為驅(qū)動輪軸線中點(diǎn)，d為移動機(jī)器人質(zhì)心o與a在x軸方向的距離，θ為移動機(jī)器人行駛方向與水平方向的夾角，因此移動機(jī)器人的位姿坐標(biāo)可表示為[x,y,θ]T.

圖1 移動機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型 Fig.1 Structure of the wheeled mobile robot

該移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程為

(1)

領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)結(jié)構(gòu)模型如圖2所示.

圖2 領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)結(jié)構(gòu)模型示意Fig.2 Structure of the leader-follower formation

在全局坐標(biāo)系XOY中，定義領(lǐng)航者的位姿為[xl,yl,θl]T，即質(zhì)心ol的坐標(biāo)，第i(i為跟隨者的編號，i=1,2,…,n)個跟隨者的位姿為[xfi,yfi,θfi]T，即質(zhì)心ofi的坐標(biāo).其中，θl,θfi分別為領(lǐng)航者和第i個跟隨者的航向角.以移動機(jī)器人的質(zhì)心ol，ofi作為參考點(diǎn)，Llfi為第i個跟隨者參考點(diǎn)ofi與領(lǐng)航者驅(qū)動輪軸中心點(diǎn)al之間的距離，即編隊(duì)之間應(yīng)該保持的距離.φlfi為領(lǐng)航者航向角與兩機(jī)器人之間約束距離連線的夾角，稱為相對相角.以領(lǐng)航者與第i個跟隨者之間的相對相角φlfi和位置距離Llfi來約束編隊(duì).每個機(jī)器人通過自身攜帶的傳感器以及借助外界傳感器獲取自身的位姿，跟隨者通過無線通信獲取領(lǐng)航者的位姿并根據(jù)領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)控制算法計(jì)算出期望跟隨者的位姿， 第i個跟隨者在控制律的作用下跟蹤期望的跟隨位置[xrfi,yrfi,θrfi]T，最終第i個跟隨者的實(shí)際位置與期望跟隨位置之間的誤差縮減到零，形成期望的編隊(duì).綜上可計(jì)算第i個跟隨者的位置為

(2)

其中，

(3)

令

xlfi=xl-dcosθl-xfi=-Llficos(φlfi+θl),

(4)

ylfi=yl-dsinθl-yfi=-Llfisin(φlfi+θl),

(5)

并且分別對式(4)、(5)求導(dǎo)得:

νlcosθl+dωfisinθfi-νficosθfi,

(6)

其中，νl為領(lǐng)航者的前進(jìn)速度，νfi為第i個跟隨者的前進(jìn)速度，ωfi為第i個跟隨者的角速度.

νlsinθl-dωficosθfi-νfisinθfi.

(7)

領(lǐng)航者與第i個跟隨者之間的相對相角

(8)

對式(8)求導(dǎo)可得:

dωficos(φlfi+θl-θfi))-ωl.

(9)

對式(3)求導(dǎo)并且代入式(4)—(8)得:

dωfisin(φlfi+θl-θfi).

(10)

因此可以得出領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)控制模型為

(11)

第i個跟隨者實(shí)際位姿與期望參考位姿之間的誤差方程[18]定義為

(12)

對式(12)求導(dǎo)得：

(13)

其中，Lrlfi為第i個跟隨者參考點(diǎn)ofi與領(lǐng)航者驅(qū)動輪軸中心點(diǎn)之間期望的參考距離，φrlfi為領(lǐng)航者與第i個跟隨者之間期望的參考相對相角.

2 多機(jī)器人編隊(duì)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

基于雙冪次滑模趨近律，本節(jié)設(shè)計(jì)了編隊(duì)控制算法，保證了編隊(duì)隊(duì)形的穩(wěn)定.主要結(jié)果如下：

定理1對于第i個跟隨者的實(shí)際位姿與期望參考位姿之間的誤差方程(13)，線速度控制器(14)和角速度控制器(15)能夠保證跟蹤誤差收斂到零.

νfi=νlcos(θl-θfi)+yefiωfi-

ωlLrlfisin(φrlfi+θl-θfi)+

(14)

(15)

其中：αf11，αf12，αf21，αf22>0；pf11qf12，pf21qf22均為正奇數(shù)；sign(x)為符號函數(shù).

證明選取如下滑模面：

sf1=xefi，

(16)

sf2=θefi+arctan(νlyefi)，

(17)

分別對式(16)、(17)求導(dǎo)并將式(14)、(15)代入得：

yefiωfi-ωlLrlfisin(φrlfi+θl-θfi)=

(18)

(19)

滿足如下雙冪次趨近律:

(20)

(21)

選取李雅普諾夫函數(shù)

(22)

求導(dǎo)并代入式(20)、(21)可得:

(23)

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，跟蹤誤差收斂到零，從而保證了編隊(duì)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

3 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)通過仿真來驗(yàn)證本文給出的編隊(duì)控制算法的有效性.不失一般性，考慮兩個移動機(jī)器人進(jìn)行編隊(duì)的情況.領(lǐng)航者初始位姿為[3,4,0.2]T，跟隨者初始位姿為[2,2.5,0.5]T，d=0.25 m，給定領(lǐng)航者的參考速度νr=2 m/s ，參考角速度ωr=0.3 rad/s，跟隨者參考點(diǎn)of與領(lǐng)航者驅(qū)動輪軸中心點(diǎn)之間期望的參考距離Lrlf=1 m， 領(lǐng)航者與跟隨者之間期望的參考相對相角φrlf=150°.控制器參數(shù)選取為αf11=4，αf12=12，αf21=4，αf22=12，pf11=3,pf12=15，qf11=15,qf12=5，pf21=3,pf22=15，qf21=15,qf22=5.

系統(tǒng)軌跡如圖3所示，跟隨者可以在較短的時間內(nèi)到達(dá)期望位置并保持穩(wěn)定的編隊(duì)結(jié)構(gòu).跟隨者的線速度、角速度分別如圖4和圖5所示，可知，跟隨者的線速度和角速度也都在很短的時間內(nèi)跟蹤到領(lǐng)航者的速度.

圖3 領(lǐng)航者與跟隨者編隊(duì)軌跡Fig.3 Trajectories of the leader and follower

圖4 跟隨者跟蹤領(lǐng)航者速度曲線Fig.4 Velocities of the leader and follower

圖5 跟隨者跟蹤領(lǐng)航者角速度曲線Fig.5 Angular velocities of the leader and follower

4 總結(jié)

本文研究了輪式移動機(jī)器人的編隊(duì)控制問題.基于領(lǐng)航跟隨法，將編隊(duì)控制問題轉(zhuǎn)化為多個跟隨者的軌跡跟蹤控制問題.在此基礎(chǔ)上，基于雙冪次滑模趨近律，設(shè)計(jì)了跟隨者的線速度和角速度控制器，保證了跟蹤能夠快速收斂到零，從而保證了編隊(duì)隊(duì)形的穩(wěn)定.最后，通過仿真驗(yàn)證了本文所提方法的有效性.