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        例說分類討論思想在解題中的一些應(yīng)用(二)

        2021-03-29 00:52:43陳顯華
        關(guān)鍵詞:解題應(yīng)用

        陳顯華

        【摘要】分類討論又稱分情況討論.當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下,其結(jié)論并不唯一時,我們就需要對這一問題進(jìn)行必要的分類.將一個數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況,在每一種情況中分別求解,最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合,這種研究問題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類討論法是根據(jù)問題的不同情況分類求解,它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法,是極為重要的思想方法.

        【關(guān)鍵詞】分類討論思想;解題;應(yīng)用

        一、用分類討論思想求三角形的邊長

        例1等腰三角形一條腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15 cm和6 cm兩部分,求等腰三角形的腰長和底邊長.

        解設(shè)等腰三角形的腰長為2x cm,底邊長為y cm,則根據(jù)題意,可得

        2x+x=15,x+y=6或2x+x=6,x+y=15.

        分別解這兩個二元一次方程組,得

        x=5,y=1或x=2,y=13.

        ∵x=2時,2x=4,

        又∵4+4<13,

        ∴x=2,y=13應(yīng)該被舍去.

        綜上所述,等腰三角形一條腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15 cm和6 cm兩部分,等腰三角形的腰長為10 cm,底邊長為1 cm.

        例2已知直角三角形兩邊的長x,y滿足x2-4+y2-5y+6=0,則第三邊的長為.

        解根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì),可得x2-4=0,且y2-5y+6=0,

        ∴x=±2,y=3或2.

        ∵x,y表示直角三角形的邊長,

        ∴x=-2應(yīng)該被舍去.

        ∴x=2,y=3或x=2,y=2.

        當(dāng)x=2,y=2時,根據(jù)勾股定理可得第三邊的長為22+22=22;

        當(dāng)x=2,y=3時,根據(jù)勾股定理可得第三邊的長為22+32=13.

        當(dāng)直角三角形的兩邊長為2和3時,并不能確定它們都是直角邊,斜邊有可能為3,故第三邊長也可能為32-22=5.

        綜上所述,已知直角三角形兩邊的長x,y滿足x2-4+y2-5y+6=0,則第三邊的長為22,13或5.

        二、用分類討論思想判斷三角形的形狀

        例3已知a,b,c為△ABC的三邊長,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷△ABC的形狀.

        解∵a2c2-b2c2=a4-b4,

        ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),

        ∴c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0.

        ∴(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0.

        當(dāng)a2-b2=0時,即a=b時,此時△ABC是等腰三角形;

        當(dāng)a2-b2≠0時,經(jīng)化簡,得c2=a2+b2,此時△ABC是直角三角形.

        綜上所述,△ABC是等腰三角形或直角三角形.

        三、用分類討論思想求二次函數(shù)的最值

        例4已知二次函數(shù)y=x2,在-1≤x≤4這個范圍內(nèi),求函數(shù)的最值.

        解∵-1≤x≤4包含了x=0,

        ∴函數(shù)y=x2的最小值為0.

        又∵當(dāng)x=-1時,y=1,當(dāng)x=4時,y=16,

        ∴當(dāng)-1≤x≤4時,函數(shù)y=x2的最大值為16.

        綜上所述,二次函數(shù)y=x2,在-1≤x≤4這個范圍內(nèi)的最小值為0,最大值為16.

        四、用分類討論思想進(jìn)行與圓有關(guān)的計算

        例5如圖1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB只有一個公共點,則R的取值范圍是.

        解如圖2所示,以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB相切,過點C作CD⊥AB于D,則CD=R.

        根據(jù)勾股定理,可得AB=AC2+BC2=32+42=5,

        ∴S△ABC=12AC·BC=12AB·CD.

        ∴R=CD=AC·BCAB=3×45=125=2.4.

        如圖3所示,當(dāng)以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB相交于一點,那么R應(yīng)滿足AC

        綜上所述,當(dāng)R=2.4或3

        例6已知⊙A和⊙B相切,其圓心距為8 cm,⊙A的半徑為3 cm,則⊙B的半徑是().

        A.5 cmB.11 cmC.3 cmD.5 cm或11 cm

        解設(shè)⊙A和⊙B的半徑分別為rA和rB,圓心距為d.

        當(dāng)⊙A和⊙B外切時,rA=3,d=8,

        ∴rA+rB=d.

        ∴rB=5,即⊙B的半徑是5 cm.

        當(dāng)⊙A和⊙B內(nèi)切時,rA=3,d=8,

        ∴rB-rA=d,

        ∴rB=11,即⊙B的半徑是11 cm.

        綜上所述,已知⊙A和⊙B相切,其圓心距為8 cm,⊙A的半徑為3 cm,則⊙B的半徑rB=5 cm或rB=11 cm,選D.

        例7在半徑為R的圓內(nèi),求長為R的弦所對的圓周角的度數(shù).

        解如圖4所示,當(dāng)圓周角的頂點C在優(yōu)弧上時,⊙O的半徑為R,AB=R,∠ACB是長為R的弦所對的圓周角.連接OA,OB,則OA=OB=AB=R,于是△OAB為等邊三角形,

        ∴∠AOB=60°,

        ∴∠ACB=12∠AOB=30°.

        如圖5所示,當(dāng)長為R的弦AB所對的圓周角的頂點C在劣弧AB上時,連接OA,OB,同理可得△OAB為等邊三角形,

        ∴∠AOB=60°,

        ∴優(yōu)弧AMB所對的圓心角為360°-60°=300°,

        ∴優(yōu)弧AMB所對的圓周角∠ACB=150°.

        綜上所述,在半徑為R的圓內(nèi),長為R的弦所對的圓周角的度數(shù)為30°或150°.

        例8已知⊙O的半徑為5 cm,AB和CD是⊙O的兩條弦,且AB∥CD,AB=6 cm,CD=8 cm,則AB和CD間的距離為().

        A.7 cmB.1 cmC.7 cm或1 cmD.5 cm或10 cm

        解如圖6所示,當(dāng)弦AB和弦CD位于圓心O的兩側(cè)時,過圓心O作OF⊥AB,垂足為F,延長FO交CD于E,連接OA,OC,則由“如果一條直線垂直于兩平行線中的一條,那么它也垂直于另一條直線”,知FE⊥CD,所以△AOF和△COE皆為直角三角形,由垂徑定理,可知AF=12AB=3 cm,CE=12CD=4 cm.

        在Rt△AOF中,∠AFO=90°,OA=5,AF=3,根據(jù)勾股定理,可得OF=OA2-AF2=52-32=4.

        同理,在Rt△COE中,∠CEO=90°,OC=5,CE=4,根據(jù)勾股定理,可得OE=OC2-CE2=52-42=3.

        ∵F,O,E三點共線,且FE=OF+OE,

        ∴FE=4+3=7,即弦AB和弦CD之間的距離為7 cm.

        如圖7所示,當(dāng)弦AB和弦CD位于圓心O的同側(cè)時,過圓心O作OE⊥CD,垂足為E,交AB于點F,則由“如果一條直線垂直于兩平行線中的一條,那么它也垂直于另一條直線”,知OF⊥AB,所以△AOF和△COE皆為直角三角形,而且由垂徑定理,可知AF=12AB=3 cm,CE=12CD=4 cm.

        在Rt△AOF和Rt△COE中分別根據(jù)勾股定理,可得OF=4,OE=3.

        ∵F,O,E三點共線,且FE=OF-OE,

        ∴FE=4-3=1,即弦AB和弦CD之間的距離為1 cm.

        綜上所述,弦AB和弦CD之間的距離為7 cm或1 cm.

        所以本題選C.

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