趙文明 錢如友

（滁州學院地理信息與旅游學院 安徽·滁州 239000）

導航技術(shù)是一種多學科交叉的新興工程應用技術(shù)，它是載人航天與深空探測、深海潛航、物聯(lián)網(wǎng)、智能交通、公共安全以及位置服務等國家戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)的重要支撐技術(shù)之一，是新形勢下測繪地理信息技術(shù)與其他學科交叉融合發(fā)展的必然產(chǎn)物。

1 課程特點及教學現(xiàn)狀

我校于2018年開設(shè)了導航工程專業(yè)，每年的招生規(guī)模在50人左右。筆者首開了導航工程專業(yè)的啟蒙課——《導航學概論》。根據(jù)人才培養(yǎng)方案要求，本課程主要講述導航有關(guān)的各方面理論、方法與技術(shù)，讓學生對導航學科有個全局的了解和認識，重點對坐標系統(tǒng)、時間系統(tǒng)、常見導航定位方法的基本數(shù)學模型進行較為全面的介紹，側(cè)重于基本概念、基礎(chǔ)理論、普適性方法和技術(shù)的介紹。

歷經(jīng)三屆學生的教學實踐，筆者發(fā)現(xiàn)該門課程具有知識面廣、理論性與實踐性要求都較強、重點難點較多的特點。教學中存在學生概念理解不深刻，原理應用能力差；分析計算能力弱；理論知識與工程實踐問題結(jié)合應用能力較弱；教學方法單一，教學內(nèi)容滯后；考核形式欠科學、學生學習主動性欠缺等問題?；诖耍疚囊浴秾Ш綄W概論》為例，對基于“案例式教學”+“雨課堂”的混搭教學模式進行初步的實踐探索，以求為高校專業(yè)課程線上授課提供經(jīng)驗與借鑒。

2 案例式教學的實施過程

案例式教學是一種以學生為主體、老師引導學生以專業(yè)知識分析具體案例的教學方法，具有目的明確、形象生動、啟發(fā)深刻、學生主動性強等特點，能夠提高學生分析問題和解決問題的能力。這其中，案例是實現(xiàn)案例式教學的前提和基礎(chǔ)，不僅要求案例所涉及的知識點要豐富，并且要求案例具有針對性、系統(tǒng)性、可實踐性和啟發(fā)性。本文以課程中非?；A(chǔ)且重要的知識點——坐標系旋轉(zhuǎn)為例，闡述案例式教學的實施過程。

如圖1所示是某飛機導航過程中載體坐標系的定義。X軸指向飛行方向，Y軸指向飛機的右側(cè)，Z軸指向下方。飛機繞三軸旋轉(zhuǎn)時所對應的旋轉(zhuǎn)角為Roll、Pitch和Yaw，即通常所說的橫滾角、俯仰角和航向角?，F(xiàn)該飛機經(jīng)歷了一次組合旋轉(zhuǎn)，對應的三角 Yaw、Pitch、Roll分別為 30°、-30°和 30°。接下來，又經(jīng)歷第二次組合旋轉(zhuǎn)，對應的三角Yaw、Pitch、Roll分別為-30°，30°和-30°。請回答以下三個問題：

（1）計算兩次旋轉(zhuǎn)分別對應的旋轉(zhuǎn)矩陣；（2）獲得兩次旋轉(zhuǎn)之后總的旋轉(zhuǎn)矩陣；（3）以歐拉角表示所對應結(jié)果的總旋轉(zhuǎn)。

圖1：飛機機體坐標系的定義

為解決此問題，需要先回答以下幾個問題。

問題1：載體的姿態(tài)角如何定義？各自的取值范圍是多少？

答：對于不同的導航解算問題，載體的姿態(tài)角有不同的定義。針對上述案例，定義如下：對于Roll角，飛機右傾時為正，左傾時為負，取值范圍為-180°至180°；對于Pitch角，機頭向上抬起時為正，向下俯視時為負，取值范圍為-90°至90°；對于Yaw角，以北方向起算，順時針為正，逆時針為負，取值范圍為0°至360°。

問題2：如何計算旋轉(zhuǎn)矩陣？

答：不同的應用場景下，旋轉(zhuǎn)矩陣的計算方式不盡相同，因為計算旋轉(zhuǎn)矩陣時飛機繞X、Y、Z三軸的旋轉(zhuǎn)次序不同，筆者在深入閱讀了Representing Attitude:Euler Angles,Unit Quaternions,andRotationVectors一文后，對此有了比較深刻的理解。對于坐標系的旋轉(zhuǎn)，應對載體繞三個軸的旋轉(zhuǎn)分別做處理。本例中，旋轉(zhuǎn)軸的順序是3,2,1，即依次以Z軸、Y軸以及X軸為旋轉(zhuǎn)軸進行旋轉(zhuǎn)。首先以繞Z軸旋轉(zhuǎn)為例，闡述旋轉(zhuǎn)矩陣的計算過程。此時，問題2可以分解為以下兩個小問題。

圖2：以Z軸為旋轉(zhuǎn)軸的坐標系旋轉(zhuǎn)

問題2.1：什么是方向余弦矩陣？如何構(gòu)成？

答：如圖2所示，某一點在參考系下坐標為（x,y,z），在本體坐標系下坐標為（x’,y’,z’）。以x’,y為 x’軸與 y 軸之間的無符號夾角。方向余弦矩陣就是坐標系變換中用到的旋轉(zhuǎn)矩陣。之所以稱為方向余弦矩陣，是因為矩陣的元素來自于本體坐標系和參考坐標系之間的無符號夾角的余弦。

根據(jù)這些夾角，旋轉(zhuǎn)矩陣可寫為：

如法炮制，可得到坐標系分別繞Y軸及X軸所形成的方向余弦矩陣。具體分析過程交由學生自主完成。

問題2.2：在已經(jīng)知道坐標系依某個次序旋轉(zhuǎn)的情況下，如何計算組合旋轉(zhuǎn)后的矩陣？

答：此時，需要把前面獲得的三個矩陣左乘即可。左乘指最先旋轉(zhuǎn)獲得的矩陣在最右邊，最后旋轉(zhuǎn)獲得的那個矩陣放在最左邊。結(jié)果如下：

在推導坐標變換關(guān)系時，提醒學生一定要注意是誰到誰的變換，千萬不能搞反了，否則前功盡棄。

問題3：在獲得旋轉(zhuǎn)矩陣的前提下，如何計算三個歐拉角（即繞三軸旋轉(zhuǎn)的角度）？

上述對坐標系旋轉(zhuǎn)的計算過程進行了詳盡的剖析，使學生在具體問題的分析、計算過程中對該知識點有了較為深入的理解。其實，無論線上還是線下，都可以在案例探討中與學生進行交流，掌握學生對基礎(chǔ)知識、基本概念的掌握程度。

3 基于雨課堂平臺的教學手段改革

傳統(tǒng)高校課堂授課方式還是以教師講授、學生聽講的教學模式為主，現(xiàn)如今“翻轉(zhuǎn)課堂”作為近年來被大力推廣的一種全新的教學模式，它顛覆了傳統(tǒng)的教學過程。把 PPT、MOOC、微信融為一體的智慧教學工具——“雨課堂”，被譽為“我國高校教學信息化新的發(fā)展階段的標志”。雨課堂教學模式主要流程如圖3所示。

圖3：雨課堂翻轉(zhuǎn)課堂教學操作流程

從圖3可以看出，雨課堂教學模式中，以學生為活動的主題，教師在整個過程中起著監(jiān)督、組織課堂交流討論、適時引導和指導糾正的作用。這一教學活動方式與案例式教學模式不謀而合。課前將前期設(shè)計的案例、習題、視頻等資料通過“雨課堂”推送給學生，教師通過學生的預習情況與布置作業(yè)的完成情況，實時調(diào)整優(yōu)化教學設(shè)計。

課上采用“雨課堂”進行授課，并結(jié)合QQ群或微信群進行線上答疑解惑，相關(guān)學習資料仍上傳至“雨課堂”班級群。雨課堂還可以實現(xiàn)教學環(huán)節(jié)的簽到、答疑、板書、錄課、回放、隨機搶答、彈幕、作業(yè)批改統(tǒng)計等功能，與即時通訊工具相結(jié)合，二者相得益彰。

4 結(jié)語

歷經(jīng)三屆學生雨課堂教學平臺的教學實踐，改革傳統(tǒng)的課堂教學模式，秉持理論夠用，重在實踐的原則，從案例設(shè)計、教學手段等方面入手進行教學改革，目前取得了初步成效，提升了課程的教學效果和教學質(zhì)量。當然，過分依賴教學平臺也會帶來一些弊端。例如，過度依賴移動網(wǎng)絡(luò)和智能設(shè)備、掛空號現(xiàn)象、昂貴的流量費用等。這些都將是下一步提升教學質(zhì)量過程中的主要研究目標。