劉思璐 沈中宇 汪曉勤

(1.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062；2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 200241)

1 引言

近年來(lái)，課例研究在改善教學(xué)、促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展等方面的作用日益受到研究者的關(guān)注[1-4]. 其中，課例研究的實(shí)施效果是課例研究的研究主題之一. 可以將課例研究的實(shí)施效果分為幫助教師學(xué)習(xí)、改善課堂教學(xué)、促進(jìn)課程實(shí)施、分享教學(xué)成果和融合理論與實(shí)踐等方面，因此，通過(guò)課例研究改善課堂教學(xué)是課例研究的實(shí)施效果中重要的研究主題之一[5].

隨著HPM課例研究的深入開(kāi)展，實(shí)施HPM課例研究的效果日益受到人們的重視. 實(shí)踐表明，在課堂教學(xué)方面，數(shù)學(xué)史有助于揭示知識(shí)之諧，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解[6]. 在HPM課例評(píng)價(jià)框架中，“價(jià)值的深刻性”是十分重要的維度[7]，但是，對(duì)于不同的主題，如何有效地檢測(cè)HPM教學(xué)對(duì)學(xué)生理解的影響，是需要HPM課例研究者去解決的重要課題. 根據(jù)國(guó)際上HPM已有研究的相關(guān)啟示，還需要進(jìn)一步規(guī)范研究方法, 注重實(shí)證研究[8].

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，關(guān)于學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，人們已經(jīng)做了大量的實(shí)證研究. 有的研究者將學(xué)生在函數(shù)概念上的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程分為“作為算式的函數(shù)”、“作為變化過(guò)程的函數(shù)”和“作為對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)”三個(gè)階段[9]，或“認(rèn)識(shí)變量”、“突出關(guān)系”等六個(gè)層次[10]；有的研究者基于SOLO水平或APOS理論對(duì)函數(shù)概念的理解水平進(jìn)行劃分[11-12]. 盡管有研究表明，高中生對(duì)函數(shù)的理解與歷史上數(shù)學(xué)家的理解具有一定的相似性[13]，但迄今很少有人借鑒函數(shù)概念的歷史來(lái)刻畫學(xué)生理解水平的變化過(guò)程.

鑒于此，本研究以函數(shù)概念的歷史演進(jìn)過(guò)程作為參照系，構(gòu)建學(xué)生的函數(shù)概念理解的分析框架，在此基礎(chǔ)上檢測(cè)學(xué)生在HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)前后學(xué)生理解水平的變化. 具體的研究問(wèn)題為：在HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)實(shí)施前后，學(xué)生在函數(shù)概念各理解水平上發(fā)生了哪些變化？ HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)中的哪些因素造成了學(xué)生的函數(shù)概念理解水平的變化？希望通過(guò)本研究，為函數(shù)概念的教學(xué)以及HPM課例評(píng)價(jià)的研究提供參考.

2 理論框架

2.1 函數(shù)概念的歷史

早在公元前2000年，古巴比倫就有許多不同的表格用來(lái)匯編日、月、行星的星歷表，這可以是看作早期的函數(shù)萌芽. 然而直到18世紀(jì)中期函數(shù)才被正式定義為新的、一般化的數(shù)學(xué)概念，以歐拉(L. Euler, 1707—1783)為代表的數(shù)學(xué)家在其專門論述函數(shù)的著作《無(wú)窮分析引論》(1748)中將函數(shù)定義為解析表達(dá)式. 到了1755年，歐拉在《微分學(xué)原理》又用“依賴于其他變量的變量”重新定義了函數(shù)[14]. 1837年，狄利克雷(G.L.Dirichlet, 1805—1859)在“用正弦和余弦級(jí)數(shù)表示完全任意的函數(shù)”一文中提到若兩個(gè)變量之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，被唯一對(duì)應(yīng)的變量就是函數(shù)[15]. 1939年，布爾巴基學(xué)派在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—集合論》一書中用“兩個(gè)集合之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”來(lái)定義函數(shù)，并論述了函數(shù)與序偶集的關(guān)系[16].

直到現(xiàn)代，函數(shù)概念也還在不斷發(fā)展，在上述函數(shù)概念發(fā)展史中，值得注意的是四個(gè)代表性函數(shù)概念階段，它們與現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)的函數(shù)內(nèi)容息息相關(guān)，按照歷史序依次是“解析式”函數(shù)定義、“變量依賴”函數(shù)定義、“變量對(duì)應(yīng)”函數(shù)定義、“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系”函數(shù)定義. 而且從函數(shù)概念史來(lái)看，其發(fā)展并不是推翻舊定義重構(gòu)新定義的過(guò)程，而是為了研究范圍更廣的問(wèn)題從而擴(kuò)展其適用性的過(guò)程，最直接的證明就是后面的函數(shù)概念可以解釋屬于之前概念的函數(shù).

但是對(duì)于函數(shù)概念的理解，一直是數(shù)學(xué)家和學(xué)生的難點(diǎn). 比如函數(shù)概念發(fā)展到“對(duì)應(yīng)說(shuō)”時(shí)期，仍有許多數(shù)學(xué)家甚至是教科書采用“解析式說(shuō)”和“變量依賴說(shuō)”定義函數(shù)[17]. 國(guó)外有關(guān)研究也發(fā)現(xiàn)許多17—18歲學(xué)生的概念意象與歐拉的概念意象相一致，而不是與現(xiàn)代概念的定義相一致[18]. 通過(guò)了解函數(shù)概念發(fā)展的曲折歷史，也許給出了其中的一些解釋.

2.2 基于數(shù)學(xué)史的函數(shù)概念理解水平

對(duì)應(yīng)于四個(gè)代表性的函數(shù)概念階段，可以將學(xué)生理解劃分為四個(gè)水平，如表1所示.

表1 基于數(shù)學(xué)史的函數(shù)概念理解水平

根據(jù)函數(shù)概念史每一階段理解水平的特征和內(nèi)涵，將函數(shù)概念的理解劃分為4個(gè)水平，每一個(gè)水平對(duì)函數(shù)的解釋都有其特點(diǎn)，并與已有的相關(guān)研究中的理解水平相對(duì)應(yīng).

3 研究方法

本研究對(duì)函數(shù)概念的HPM課例研究效果進(jìn)行檢測(cè)，基于已有文獻(xiàn)，可以將HPM課例研究效果的研究設(shè)計(jì)分為三種類型. 第一種類型為通過(guò)對(duì)課堂中學(xué)生的參與和行為的反思獲得學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的證據(jù)[19]. 第二種類型為通過(guò)對(duì)學(xué)生課例前后的測(cè)試展示學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)展[20]. 第三種類型是通過(guò)學(xué)生學(xué)業(yè)成就的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試說(shuō)明課例研究對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的長(zhǎng)期和大規(guī)模影響[21]. 本研究采用第二種類型的研究設(shè)計(jì)，在此類型的研究設(shè)計(jì)中，有研究采用實(shí)驗(yàn)組與控制組的方法進(jìn)行準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)研究[22]，也有研究采用案例研究的方法關(guān)注學(xué)生在課例研究前后的變化[23]. 其中有的案例研究持續(xù)時(shí)間為一年，有的則持續(xù)時(shí)間為一到兩節(jié)課.

本研究使用案例研究的方法，綜合使用了問(wèn)卷調(diào)查、課堂觀察和訪談的方法. 通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查檢測(cè)HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)前、后，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解水平有哪些變化. 通過(guò)課堂觀察和對(duì)師生訪談了解此次教學(xué)中，造成學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解水平的變化的因素有哪些.

3.1 研究對(duì)象

問(wèn)卷調(diào)查法的研究對(duì)象為上海市某高中高一年級(jí)經(jīng)過(guò)HPM視角下函數(shù)概念課的135名(四個(gè)班)學(xué)生. 訪談法的研究對(duì)象為這四個(gè)班中隨機(jī)抽取的8名學(xué)生. 該校處于上海市中等水平，四個(gè)班級(jí)均為平行班.

3.2 研究工具

依據(jù)已有的函數(shù)概念理解水平問(wèn)卷和該課例的教學(xué)設(shè)計(jì)，經(jīng)過(guò)小組討論后，選取其中的部分問(wèn)題進(jìn)行改編[24-25]，經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)試的調(diào)整，最終編制了可對(duì)比的前、后測(cè)問(wèn)卷，具體內(nèi)容見(jiàn)表2.

表2 前、后測(cè)問(wèn)卷題目

續(xù)表

Q1考查學(xué)生對(duì)函數(shù)解析式的理解程度. Q2考查學(xué)生對(duì)初中函數(shù)在依賴關(guān)系下的理解程度. Q3考查學(xué)生對(duì)中學(xué)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系中“唯一性”的理解程度. Q4考查學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系中離散情況的理解程度. 通過(guò)給被訪談學(xué)生看自己前、后測(cè)問(wèn)卷進(jìn)行訪談，了解學(xué)生在本節(jié)課后對(duì)函數(shù)概念有哪些新的理解，同時(shí)本節(jié)課的哪些具體內(nèi)容促進(jìn)了學(xué)生的這些理解.

3.3 數(shù)據(jù)收集

學(xué)生的函數(shù)概念前后測(cè)問(wèn)卷. 課前讓學(xué)生完成前測(cè)問(wèn)卷. 接著進(jìn)行HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)并錄音. 四個(gè)班的HPM函數(shù)概念課均由同一位教師完成，該課共分為五個(gè)環(huán)節(jié)，依次是創(chuàng)設(shè)情境，引入主題；基于歷史，探究新知；回顧歷史，深化了解；練習(xí)鞏固，鞏固新知；總結(jié)內(nèi)容，交流感悟[26]. 課后讓學(xué)生完成后測(cè)問(wèn)卷

對(duì)學(xué)生的跟蹤性訪談. 課后隨機(jī)抽取8份前測(cè)問(wèn)卷確定訪談學(xué)生并找到對(duì)應(yīng)的后測(cè)問(wèn)卷輔助進(jìn)行訪談.

課堂實(shí)錄. 授課教師進(jìn)行課堂的文字轉(zhuǎn)錄，其目的之一是促進(jìn)教師對(duì)于教學(xué)的反思.

對(duì)授課教師的訪談. 整個(gè)課例研究過(guò)程結(jié)束后，針對(duì)教學(xué)和學(xué)生，對(duì)教師進(jìn)行訪談.

3.4 數(shù)據(jù)分析

本研究主要采用質(zhì)性文本分析方法. 第一步，整理與編號(hào). 將每份學(xué)生問(wèn)卷進(jìn)行五位數(shù)編號(hào)，第一位數(shù)為題號(hào)(1代表Q1)，第二位數(shù)為前、后測(cè)(1代表T1)，后三位數(shù)為學(xué)生問(wèn)卷上編號(hào)，比如11021代表Q1中T1的問(wèn)卷編號(hào)為021號(hào)的學(xué)生答案. 第二步，分類與統(tǒng)計(jì). 依據(jù)歷史上函數(shù)概念理解水平，將學(xué)生答案劃到其相應(yīng)的水平. 判斷理由為空白或無(wú)關(guān)理由，為0水平. 學(xué)生在函數(shù)概念各理解水平上的具體表現(xiàn)見(jiàn)表3. 統(tǒng)計(jì)每道題前、后測(cè)不同水平百分比，得到學(xué)生在HPM視角下的教學(xué)前、后，函數(shù)的理解水平有哪些變化. 學(xué)生問(wèn)卷所顯示水平的分類由兩位研究者進(jìn)行，第一位研究者對(duì)所有問(wèn)卷進(jìn)行分類，第二位研究者隨機(jī)抽取10%進(jìn)行檢驗(yàn). 第三步，分析與歸因. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析學(xué)生不同理解水平的變化，再通過(guò)課堂觀察和師生訪談，分析學(xué)生產(chǎn)生這些變化的原因，從而了解HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)中的哪些因素造成了學(xué)生的函數(shù)概念理解水平的變化.

表3 學(xué)生的典型答案

比較表1和表3，發(fā)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)史的函數(shù)概念理解水平和學(xué)生在函數(shù)概念各理解水平上的答案是相對(duì)應(yīng)的. 根據(jù)表3可以看到，不同水平的學(xué)生答案表現(xiàn)是存在差異的，且同一水平的具體表現(xiàn)也不一致的. 比如L2水平的具體表現(xiàn)為“根據(jù)圖像判斷”、“回答依賴關(guān)系”和“識(shí)別變量變化”.

4 研究結(jié)果

4.1 函數(shù)理解水平的變化

通過(guò)比較前、后測(cè)調(diào)查問(wèn)卷的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在函數(shù)概念各理解水平上發(fā)生明顯的變化，具體變化見(jiàn)表4，其中Q表示題號(hào),L表示理解水平，T表示測(cè)試.

表4 學(xué)生的理解水平變化

根據(jù)表4，從總體上可以看到前后測(cè)所顯示學(xué)生理解水平的變化. 0水平(空白或者無(wú)效理由)明顯減少，說(shuō)明課后更多的學(xué)生對(duì)函數(shù)的辨析有了自己明確的理由. 1水平學(xué)生數(shù)也明顯減少. 但是對(duì)于Q1處于1水平的比例不論是前、后測(cè)在4道題中都是最高的，這跟題目考查目的有關(guān)，該函數(shù)可用每一水平進(jìn)行解釋，而解析式水平是學(xué)生較為常見(jiàn)的. 2水平也明顯減少，值得注意的是課前大多數(shù)學(xué)生的有效答案處于該水平，也許是因?yàn)閷W(xué)生在課前對(duì)“y隨x的變化而變化”的函數(shù)理解較為印象深刻. 3水平的學(xué)生明顯增多，且在后測(cè)有效答案中占比最高. 4水平經(jīng)歷了從無(wú)到有的變化，但是后測(cè)中占比是依然較少，可能是學(xué)生對(duì)于“集合對(duì)應(yīng)水平”理解不到位，所以他們更傾向于用自己剛學(xué)過(guò)且容易理解的水平進(jìn)行判斷.

從表4還可以看到，學(xué)生在回答不同問(wèn)題時(shí)可能會(huì)調(diào)用不同的理解水平來(lái)進(jìn)行判斷. 比如Q4中處于2水平的學(xué)生在前、后測(cè)的比例都是四道題中最高，而Q1中2水平的比例則不高. 進(jìn)一步查閱學(xué)生對(duì)Q4的判斷理由，發(fā)現(xiàn)有很多學(xué)生認(rèn)為該題中只有點(diǎn)沒(méi)有連接起來(lái)成為圖像，所以不是函數(shù)，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)于函數(shù)是連續(xù)的函數(shù)意象.

4.2 HPM視角下的教學(xué)對(duì)函數(shù)理解水平變化的影響因素

結(jié)合調(diào)查問(wèn)卷的所顯示出來(lái)的函數(shù)認(rèn)識(shí)水平的變化，進(jìn)一步通過(guò)訪談和課堂實(shí)錄，發(fā)現(xiàn)HPM視角下的教學(xué)對(duì)函數(shù)理解水平變化的影響因素主要體現(xiàn)在三個(gè)方面.

4.2.1 四個(gè)階段的函數(shù)定義為學(xué)生提供函數(shù)概念表述方式

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，發(fā)現(xiàn)四道題答案所顯示的0水平比例在前測(cè)中都占有相當(dāng)大的比重，而后測(cè)中都有所減少，說(shuō)明大部分學(xué)生在課后能夠表達(dá)出自己對(duì)于函數(shù)的理解. 這種表達(dá)的方式是由于這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和模式所產(chǎn)生的.

通過(guò)從課堂實(shí)錄中，可以看到：

師：通過(guò)剛剛的例子，原來(lái)“解析式說(shuō)”對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)并不全面，它的概念還需改進(jìn).

……

師：由于“解析式說(shuō)”不太完善，歐拉在1755年又重新定義了函數(shù)，與剛剛提到的初中函數(shù)定義類似，該定義稱為“變量依賴說(shuō)”.

通過(guò)對(duì)學(xué)生的訪談，可以看到：

研究者：今天學(xué)了歷史上四個(gè)函數(shù)的概念，有解析式說(shuō)、變量依賴說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)、集合說(shuō)，在四個(gè)定義中，你們最喜歡哪個(gè)？

生1：我最喜歡依賴關(guān)系，因?yàn)樗容^有規(guī)律.

生2：我喜歡集合說(shuō)，因?yàn)樗俏覀儸F(xiàn)在對(duì)函數(shù)的定義，算是目前為止最標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè).

通過(guò)對(duì)課堂實(shí)錄和學(xué)生的訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生通過(guò)課上所提供數(shù)學(xué)史中的函數(shù)概念，可以找到與自己理解水平對(duì)應(yīng)的函數(shù)概念，并用其進(jìn)行判斷和表達(dá)，可見(jiàn)數(shù)學(xué)史上的各種函數(shù)定義為學(xué)生提供了自己所理解的函數(shù)概念的表述方式.

4.2.2 狄利克雷函數(shù)促進(jìn)學(xué)生掌握變量對(duì)應(yīng)關(guān)系

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，發(fā)現(xiàn)四道題答案所顯示的1、2水平比例明顯減少，3水平明顯增加且比例在后測(cè)中較大. 這跟這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容本身有著很大的關(guān)系. 但是教師通過(guò)重構(gòu)式、順應(yīng)式和附加式將函數(shù)概念的歷史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的方式對(duì)學(xué)生理解變量對(duì)應(yīng)關(guān)系是有著很大幫助的.

通過(guò)從課堂實(shí)錄中，可以看到：

師：歷史上有位數(shù)學(xué)家叫狄利克雷，有一天他提出一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的特點(diǎn)是當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，y對(duì)應(yīng)的值為1，當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，y對(duì)應(yīng)的值為0.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)用“變量依賴說(shuō)”并不能夠很好解釋這個(gè)例子.

師：狄利克雷所提出的這個(gè)函數(shù)……兩個(gè)變量之間還有依賴關(guān)系嗎？

生：沒(méi)有依賴關(guān)系.

師：由此我們發(fā)現(xiàn)用“變量的依賴關(guān)系”來(lái)刻畫函數(shù)，好像也不太合理……也就是我們需要把“依賴”這個(gè)詞換一下就可以了.你覺(jué)得可以換什么詞呢？

生：可以把“依賴”改成“對(duì)應(yīng)”.因?yàn)榫唧w的函數(shù)關(guān)系中，每一個(gè)x的值，都有一個(gè)y的值和它相對(duì)應(yīng).

通過(guò)對(duì)教師的訪談，可以看到：

研究者：您的教學(xué)設(shè)計(jì)修改了很多，從時(shí)間順序上來(lái)看，最開(kāi)始有初步的教學(xué)設(shè)計(jì)，課例研討后有改進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)，請(qǐng)問(wèn)有什么修改的地方？

教師：……還有一個(gè)就是如何在課堂上讓學(xué)生出現(xiàn)“對(duì)應(yīng)”這個(gè)詞，怎么啟發(fā)學(xué)生從依賴到對(duì)應(yīng)？所以借鑒了語(yǔ)言描述的狄利克雷函數(shù)……

狄利克雷當(dāng)年為了說(shuō)明自己函數(shù)定義中“任意對(duì)應(yīng)”的性質(zhì)，舉出了特殊的狄利克雷函數(shù)[15]，通過(guò)訪談?wù)f明了該函數(shù)是突破函數(shù)依賴關(guān)系的較好反例，教師通過(guò)順應(yīng)式來(lái)簡(jiǎn)化狄利克雷函數(shù)再給學(xué)生呈現(xiàn)，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)到之前對(duì)于函數(shù)是依賴關(guān)系的局限性. 可見(jiàn)合理利用數(shù)學(xué)史能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.

4.2.3 文氏圖激發(fā)學(xué)生理解集合對(duì)應(yīng)關(guān)系

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，發(fā)現(xiàn)四道題答案所顯示的4水平基本上都是在后測(cè)中才出現(xiàn). 集合對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于中學(xué)生而言是需要很高的認(rèn)知水平才能理解的. 如何幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)概念后繼續(xù)理解集合對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)概念是教學(xué)內(nèi)容的上一個(gè)難點(diǎn).

通過(guò)從課堂實(shí)錄中，可以看到：

師：集合語(yǔ)言使得表示更簡(jiǎn)單，所以大家能不能用文氏圖表示狄利克雷函數(shù). 如果用方框表示實(shí)數(shù)集，用一條線把實(shí)數(shù)集分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，按照對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于每一個(gè)x的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，若x取任意有理數(shù)和任意無(wú)理數(shù)，它對(duì)應(yīng)的y分別是多少？

生：0和1.

師：既然x的取值范圍看成集合，是否y取到的值也能看成集合？這個(gè)集合里面有多少個(gè)數(shù)？

生：0和1兩個(gè)數(shù).

師：接著我們用文氏圖表示y值構(gòu)成的集合. 當(dāng)我們用文氏圖表示x和y構(gòu)成的集合的時(shí)候，函數(shù)可以看成什么之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？還僅僅是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

生：可以看成兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

通過(guò)對(duì)學(xué)生的訪談，可以看到：

研究者：你們可以談一下初中概念和高中概念有什么不一樣呢？

生：感覺(jué)比較復(fù)雜一點(diǎn)了.

研究者：為什么覺(jué)得更加復(fù)雜了呢？

生：需要注意的點(diǎn)很多.

研究者：哪些點(diǎn)是你覺(jué)得需要注意的呢？

生：概念里面的專有名詞一定要很精確. 比如唯一對(duì)應(yīng)，集合對(duì)應(yīng).

研究者：“文氏圖能幫助你更好地理解集合對(duì)應(yīng)這個(gè)概念嗎？”

生：“我覺(jué)得可以，因?yàn)楫?dāng)x取一個(gè)值的時(shí)候，y也有唯一確定的一個(gè)值與它對(duì)應(yīng)，它的圖像(這里指教師畫的狄利克雷函數(shù)的文氏圖)能讓我更好地理解集合對(duì)應(yīng)關(guān)系.”

根據(jù)課堂實(shí)錄可以看到教師在逐漸引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)文氏圖來(lái)理解函數(shù)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系. 根據(jù)學(xué)生訪談發(fā)現(xiàn)學(xué)生注意到狄利克雷函數(shù)的文氏圖下的對(duì)應(yīng)關(guān)系，雖然學(xué)生并沒(méi)有明確提到集合對(duì)應(yīng)關(guān)系，但是綜合來(lái)看改編使用數(shù)學(xué)史對(duì)于學(xué)生理解集合對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)概念是有著激發(fā)作用的.

5 討論

根據(jù)以上的研究結(jié)果，下面將從函數(shù)概念的理解和數(shù)學(xué)概念的理解兩個(gè)方面進(jìn)行討論.

學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解往往是通過(guò)概念表征及其之間的聯(lián)系進(jìn)行測(cè)試的[27-28]，本研究是根據(jù)學(xué)生對(duì)于函數(shù)表征的解釋來(lái)進(jìn)行理解水平的劃分.根據(jù)學(xué)生回答4道測(cè)試題的答案理由以及基于歷史的函數(shù)概念理解水平來(lái)看，從解析式角度去判斷函數(shù)是學(xué)生最為熟悉和容易理解的一種解釋方式. 值得注意的是，從Q2和Q4的前測(cè)學(xué)生水平取向?yàn)椤白兞恳蕾囁健?，可以看到“函?shù)要有依賴關(guān)系”、“函數(shù)是有規(guī)律的”在學(xué)生心里是占有一席之地的. 而對(duì)于課后的認(rèn)識(shí)水平，學(xué)生更多傾向于“變量對(duì)應(yīng)水平”，這從某種程度上說(shuō)明了經(jīng)過(guò)這節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生的理解水平得到了提高. 但正如已有研究所表明的，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解存在概念定義與概念意象分離的情況[29-30]，這解釋了仍有部分學(xué)生在課后處于解析式水平和變量依賴水平的脫節(jié)現(xiàn)象.

學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解方面，這里將借鑒Sfard數(shù)學(xué)概念的二重性及其在歷史觀上概念發(fā)展的三個(gè)階段來(lái)討論[31]. Sfard將數(shù)學(xué)概念分為了“操作性概念”和“結(jié)構(gòu)性概念”，并對(duì)兩者之間的關(guān)系進(jìn)行了互補(bǔ)性和依賴性的說(shuō)明.對(duì)于學(xué)生而言，“操作性定義”的“解析式水平”和“變量依賴水平”往往是更易于接受的，因?yàn)閺臍v史觀上看，概念形成的第一個(gè)階段即前概念階段是根據(jù)已知進(jìn)行操作的、作為過(guò)程的階段.而到“變量對(duì)應(yīng)水平”是從“操作性概念”到“結(jié)構(gòu)性概念”的轉(zhuǎn)變，其特征是：以前是禁止的，現(xiàn)在是有用的，但其使用仍然存在爭(zhēng)議，這個(gè)過(guò)程是對(duì)概念進(jìn)行新的抽象性的構(gòu)建，屬于第二階段即長(zhǎng)時(shí)間的以操作為主要方法的階段，需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)操作與理解.“集合變量水平”更加偏向于“結(jié)構(gòu)性概念”，可看作是第三階段即結(jié)構(gòu)階段，這是更高級(jí)的新的成熟的數(shù)學(xué)對(duì)象產(chǎn)生的階段，但該階段很難達(dá)到，甚至學(xué)生在中學(xué)階段的學(xué)習(xí)結(jié)束后都無(wú)法達(dá)到.

基于以上的討論，學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解水平的變化得到了進(jìn)一步的論證與解釋.

6 結(jié)論與啟示

根據(jù)以上結(jié)果，可以獲得如下結(jié)論: 從總體上看，經(jīng)過(guò)HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)，學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解水平有所提升. 除去不能顯示出學(xué)生理解水平的答案，發(fā)現(xiàn)課前大多數(shù)學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念理解是處于解析式水平和變量依賴水平，而課后大多數(shù)學(xué)生的理解水平提升到變量對(duì)應(yīng)水平，少數(shù)學(xué)生達(dá)到了集合對(duì)應(yīng)水平，但仍有部分學(xué)生處于解析式水平和變量依賴水平，無(wú)效答案也有所減少. HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)對(duì)學(xué)生理解的影響因素包括四個(gè)階段的函數(shù)定義、狄利克雷函數(shù)及其文氏圖表示. 對(duì)函數(shù)歷史及其教育意義的研究說(shuō)明了函數(shù)概念經(jīng)歷了不斷完善和抽象的過(guò)程，函數(shù)的歷史有助于教師在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)讓學(xué)生接受合適的函數(shù)定義[32-33].

基于以上結(jié)論，可以得到以下啟示:

6.1 參照歷史坐標(biāo)，理解學(xué)生水平

學(xué)生答案所表現(xiàn)出他們對(duì)函數(shù)概念的理解水平與函數(shù)概念的歷史水平存在相似性，并且學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解水平的發(fā)展與其歷史水平的發(fā)展也具有相似性. 但學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)以及學(xué)習(xí)環(huán)境是不同的，教學(xué)中應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)，因材施教，將歷史作為理解學(xué)生認(rèn)知水平的參照系，而非照搬歷史.

根據(jù)課后學(xué)生理解水平的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解是存在困難的. 歷史上函數(shù)概念的發(fā)展經(jīng)歷了200多年，掌握一定的數(shù)學(xué)史知識(shí)有助于教師預(yù)測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)困難[34]，讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)理解新的函數(shù)概念是不現(xiàn)實(shí)的，這需要教師給予學(xué)生足夠的耐心和時(shí)間來(lái)幫助他們.

6.2 尋找歷史動(dòng)因，跨越認(rèn)知障礙

歷史上函數(shù)概念的每一次演進(jìn)，背后都有其相應(yīng)的歷史動(dòng)因，從函數(shù)的解析式階段到變量依賴階段，背后是歐拉等數(shù)學(xué)家對(duì)振動(dòng)弦問(wèn)題的思考和討論，從變量依賴階段到變量對(duì)應(yīng)階段，涉及狄利克雷對(duì)函數(shù)“任意性”的認(rèn)識(shí)，從變量對(duì)應(yīng)階段到集合對(duì)應(yīng)階段的轉(zhuǎn)化涉及布爾巴基學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的思考.

在函數(shù)概念的教學(xué)中，需要透過(guò)函數(shù)概念的發(fā)展階段，找到這些歷史動(dòng)因，將其由數(shù)學(xué)發(fā)展史中的“原初性問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)中的“本原性問(wèn)題”[35]，將歷史上推動(dòng)函數(shù)概念發(fā)展的函數(shù)例子設(shè)置成環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題串， HPM視角下的教學(xué)對(duì)函數(shù)理解水平變化的影響因素顯示，這些問(wèn)題串可以幫助學(xué)生跨越障礙，達(dá)成對(duì)函數(shù)概念的深入理解.

6.3 依據(jù)歷史階段，編制研究工具

隨著數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)受到越來(lái)越多數(shù)學(xué)教育研究者的重視，需要更多的實(shí)證研究證據(jù)說(shuō)明數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用[36]. 為了進(jìn)一步規(guī)范研究方法，需要基于一定的理論基礎(chǔ)，開(kāi)發(fā)合適的研究工具.

在HPM視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的課堂效果評(píng)價(jià)方面，可以通過(guò)劃分?jǐn)?shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展階段制定學(xué)生數(shù)學(xué)概念理解水平，從而編制適當(dāng)?shù)膯?wèn)卷以及訪談提綱，檢測(cè)學(xué)生在理解水平的變化并探明其影響因素，最后建立依托實(shí)證研究的HPM視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的課堂評(píng)價(jià)效果評(píng)價(jià)體系.