張蜀青

(廣州市執(zhí)信中學(xué) 510642)

1 引言

等差數(shù)列和等比數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的兩類數(shù)列，不少教師在課堂教學(xué)中常常通過(guò)一些現(xiàn)實(shí)情境、物理常識(shí)或者傳說(shuō)引入相關(guān)概念．例如在介紹等差數(shù)列時(shí)，教材通過(guò)會(huì)場(chǎng)座椅的排列規(guī)律引入等差數(shù)列的概念，在介紹等比數(shù)列時(shí)，有些教師通過(guò)傳說(shuō)中的國(guó)王與數(shù)學(xué)家(也有說(shuō)是棋士、年輕人等)以稻谷為賭注下棋的故事引入等比數(shù)列．然而，這些情境對(duì)于激發(fā)學(xué)生思考似乎并未產(chǎn)生預(yù)期的作用，因?yàn)樗鼈儾⒉荒芊从吵龅炔顢?shù)列與等比數(shù)列深刻的思想內(nèi)涵．國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)需要密切聯(lián)系生活，這一理念充分體現(xiàn)在教材中．課程標(biāo)準(zhǔn)也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的滲透與學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維能力的提升，這從六大核心素養(yǎng)的提出可見(jiàn)一斑．因此本文通過(guò)等比數(shù)列求和公式的教學(xué)，說(shuō)明數(shù)學(xué)課堂中如何在尊重教材的基礎(chǔ)上重組內(nèi)容，充分體現(xiàn)等比數(shù)列求和公式的重要性，進(jìn)而滲透數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊．

2 等比數(shù)列求和的案例設(shè)計(jì)

“等比數(shù)列的求和公式”一直以來(lái)是公開(kāi)課、說(shuō)課比賽、教學(xué)設(shè)計(jì)比賽的選材熱點(diǎn)．而無(wú)論是現(xiàn)實(shí)生活還是數(shù)學(xué)，等比數(shù)列都隨處可見(jiàn)，例如銀行貸款本息的計(jì)算便與等比數(shù)列有關(guān)，物理上原子核的裂變過(guò)程也是個(gè)等比數(shù)列．因此課堂教學(xué)中以生活情境為出發(fā)點(diǎn)還是以數(shù)學(xué)情境為出發(fā)點(diǎn)并無(wú)一定之規(guī)，教學(xué)過(guò)程自然流暢、學(xué)生不感到突兀即可．

從純數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程看，等比數(shù)列求和公式并不難，難在如何讓學(xué)生知其所以然．通常純數(shù)學(xué)的表述是這樣的：

設(shè)an=a1qn-1，n∈N，試求{an}的前n項(xiàng)和Sn．

單純從傳授知識(shí)的角度推導(dǎo)求和公式并不難，事實(shí)上，記

Sn=a1+a2+…+an，

(1)

在Sn的兩邊同時(shí)乘以公比q得

qSn=a1q+a2q+…+anq

=a2+a3+…+an+1，

(2)

將(1)與(2)兩式相減得

(1-q)Sn=a1-an+1.

此處需要討論q是否為1，如果q≠1則有

學(xué)生并不難理解這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程，如果按此方式展開(kāi)教學(xué)，效率還特別高，因而被很多老師采用，還有的老師介紹了多種推導(dǎo)方法，甚至利用因式分解1-qn=(1-q)(1+q+...+qn-1)推導(dǎo)出這個(gè)求和公式．然而，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)存在幾個(gè)明顯的問(wèn)題：1.公式的推導(dǎo)和前面的情境是什么關(guān)系？假如沒(méi)有關(guān)系，這個(gè)問(wèn)題的情境設(shè)置目標(biāo)是什么？2.為什么會(huì)想到乘以q再兩式相減？3.過(guò)度技巧化的推導(dǎo)方法不僅掩蓋了數(shù)列求和公式的本質(zhì)，還可能引發(fā)學(xué)生的厭學(xué)情緒，喪失探究的好奇心．

教育的目的之一是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，教會(huì)他們用數(shù)學(xué)家的眼光去觀察世界，而不是把數(shù)學(xué)家思考的結(jié)論告訴學(xué)生．所以課堂教學(xué)不應(yīng)該僅僅停留在讓大多數(shù)學(xué)生知道怎么做，更重要的是讓大家知道為什么這么做，這或許也是課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)教育要結(jié)合學(xué)生實(shí)際生活的原因之一．

而數(shù)列教學(xué)該從生活情境出發(fā)還是數(shù)學(xué)情境出發(fā)？我們?cè)凇秵?wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》[1]中提出了兩種方案，一種方案基于生活情境，另一種方案基于數(shù)學(xué)情境，從教學(xué)實(shí)踐效果的比較看，兩者并無(wú)本質(zhì)區(qū)別．徐利治先生有一種觀點(diǎn)，他認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育不妨純粹一點(diǎn)”(參見(jiàn)[2])．他的意思是，基礎(chǔ)教育階段主要是打基礎(chǔ)，學(xué)生到了大學(xué)可以根據(jù)就讀的專業(yè)再學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)．雖然不能完全茍同徐先生的觀點(diǎn)，但創(chuàng)設(shè)情境的確不能為了生活化而生活化．

等比數(shù)列在我國(guó)古代數(shù)學(xué)中也不罕見(jiàn)，古人云：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，這段話雖然表達(dá)的是極限概念，但一尺長(zhǎng)的棍子按上述方法逐段截取后得到的便是一個(gè)等比數(shù)列．因此，等比數(shù)列求和公式的教學(xué)也可通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的改編層層深入地展開(kāi)．

問(wèn)題1一尺之錘，日取其半，到第n天一共截取了多少？

日期12…n每天截取的長(zhǎng)度1214…12n

問(wèn)題2一尺之錘，日取其q(0

分析：每日截取原來(lái)的q(0

日期123…n每天截取的長(zhǎng)度q(1-q)q(1-q)2q…(1-q)n-1q

則第n天截取之后截取的總長(zhǎng)度為

q+(1-q)q+…+(1-q)n-1q，

這個(gè)和就具有一般性了，比問(wèn)題1復(fù)雜了許多，但仍然可以采用逆向思維的方法尋求解決的方法．既然是每日截取原來(lái)的q(0

日期12…n每天截取后剩余的長(zhǎng)度1-q(1-q)2…(1-q)n

由此可得

q+(1-q)q+…+(1-q)n-1q=1-(1-q)n.

顯然這個(gè)結(jié)論適用于任何q(0

如果將1-q換成q，則q也在0與1之間，上式轉(zhuǎn)換成

(3)

有了問(wèn)題2做基礎(chǔ)，就不難拓展到公比q為一般實(shí)數(shù)的情形了：

問(wèn)題3(3)式中的q是否對(duì)任意正實(shí)數(shù)都成立？

這里唯一需要啟發(fā)學(xué)生的是，q>1如何轉(zhuǎn)換為0

(4)

及

不難得

而對(duì)于q=1，問(wèn)題是平凡的，學(xué)生很容易搞清楚，只需在(4)進(jìn)行計(jì)算時(shí)提醒一下分母不能為0．而到問(wèn)題3還沒(méi)有把q所有可能的值都考慮到，還需要討論q<0時(shí)的情形.

問(wèn)題4假如q<0，等式(1)仍然成立嗎？

既然學(xué)生能懂得當(dāng)q>1時(shí)，取其倒數(shù)取而代之，也自然不難明白當(dāng)q<0時(shí)應(yīng)該用-q取而代之．在此基礎(chǔ)之上，回到開(kāi)始的問(wèn)題可得一般等比數(shù)列{an}的求和公式：

Sn=a1+a2+…+an

至此，一般等比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)便大功告成了．

與傳統(tǒng)的教學(xué)方法相比，上述一系列問(wèn)題的設(shè)計(jì)是通過(guò)一些學(xué)生比較容易理解也方便計(jì)算的問(wèn)題，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并最終得出求和公式，這里的問(wèn)題與公式的推導(dǎo)過(guò)程是融為一體的，通過(guò)特殊的數(shù)列幫助學(xué)生捕捉到求和公式的信息并逐步得到一般等比數(shù)列的求和方法，整個(gè)過(guò)程一氣呵成，形成關(guān)于等比數(shù)列求和的一個(gè)完整認(rèn)知鏈，不存在情境與公式推導(dǎo)之間邏輯關(guān)系脫節(jié)的現(xiàn)象．因此教學(xué)過(guò)程中情境的創(chuàng)設(shè)與問(wèn)題的解決應(yīng)該是相呼應(yīng)的，不能讓情境與數(shù)學(xué)成為沒(méi)有邏輯關(guān)聯(lián)的兩張皮．

3 拓展——現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想之光

基礎(chǔ)教育改革進(jìn)行了很多年，其中一個(gè)重要的改革內(nèi)容是將一部分原來(lái)在大學(xué)階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容“下放”到了中學(xué)，讓學(xué)生初步領(lǐng)略現(xiàn)代數(shù)學(xué)的魅力，這是必要的，也是國(guó)際基礎(chǔ)教育改革的趨勢(shì)．然而，從某種意義上看，數(shù)學(xué)思想的滲透也許比下放部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容更重要，這種重要性主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：

(1)思想方法是根本，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的最終目的也正是為了掌握數(shù)學(xué)的思維方法；

(2)通過(guò)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生體會(huì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的智慧之光，待到他們進(jìn)入大學(xué)，重溫這種思想時(shí)可以更深刻地理解晦澀的數(shù)學(xué)內(nèi)容，從而做到基礎(chǔ)教育與大學(xué)教育之間的無(wú)縫銜接．

等比數(shù)列作為一類特殊的數(shù)列在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是司空見(jiàn)慣的，例如阿基米德為了計(jì)算拋物線與直線y=x所圍圖形的面積，構(gòu)造了一個(gè)特殊的等比數(shù)列，成功地計(jì)算出了這個(gè)圖形的面積，這也是積分理論早期的萌芽，教師在講授定積分理論時(shí)完全可以通過(guò)阿基米德的算法切入到定積分的定義．等比數(shù)列的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中也是經(jīng)常使用的．例如，著名的康托爾三分集就需要等比數(shù)列來(lái)計(jì)算其測(cè)度．康托爾集是現(xiàn)代分形幾何中出現(xiàn)的第一個(gè)分形集，很多分形集的構(gòu)造都是基于和康托爾集類似的構(gòu)造．作為等比數(shù)列的拓展，完全可以在課堂上作為一個(gè)重要的例子讓學(xué)生了解這個(gè)集合構(gòu)造的過(guò)程．

例1一尺之錘，日取其中段三分之一，第n天取下多少？

這里需要幫助學(xué)生搞清楚“日取其中段三分之一”是什么意思，第一日取中段三分之一，留下來(lái)兩根長(zhǎng)度為三分之一的棍子，所以第二日所取是每根棍子中間的三分之一，于是第二日留下了四根棍子，以此類推．這里實(shí)際上涉及到了兩個(gè)等比數(shù)列，一是每日留下來(lái)的棍子個(gè)數(shù)，二是每日截下的棍子的長(zhǎng)度，如下表：

日期123…n每天取的長(zhǎng)度1319×2=132×2133×22…13n×2n-1

顯而易見(jiàn)，每日截下來(lái)的棍子長(zhǎng)度構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列．根據(jù)上表可知，到第n天截下的棍子總長(zhǎng)度為

剩下的長(zhǎng)度為

這個(gè)例題如果僅僅用來(lái)實(shí)現(xiàn)鞏固運(yùn)用的目的，這節(jié)課還是難以展現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的魅力．因此不妨針對(duì)這個(gè)例子，結(jié)合前面的問(wèn)題進(jìn)一步提出一些拓展性的問(wèn)題．

問(wèn)題5如果日取其中段三分之一的過(guò)程不斷持續(xù)下去，最后留下了多少？試與問(wèn)題1比較一下．