李紅慶 黃曉曉 喻 平

(1.海南華僑中學(xué) 570206；2.南京師范大學(xué) 210097)

2020年高考山東卷第22題，是繼2019年全國(guó)Ⅲ卷考了圓錐曲線的一個(gè)通性：圓錐曲線C的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)D，自點(diǎn)D向C引兩條切線DA，DB，那么切點(diǎn)弦AB過(guò)準(zhǔn)線l對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)，今年又考了圓錐曲線的另一個(gè)通性：圓錐曲線張角成直角的弦所在的直線過(guò)定點(diǎn)，即簡(jiǎn)稱“張角成直角，弦過(guò)定點(diǎn)”．

在高考原題的啟發(fā)下，教師應(yīng)該引領(lǐng)高三學(xué)生去挖掘圓錐曲線的各種通性這一寶藏，因?yàn)檫@些圓錐曲線的通性都是人類科學(xué)智慧的結(jié)晶，所以挖掘?qū)毑匦枰珜?dǎo)，需要傳承．僅以刷題為目的組織教學(xué)，教學(xué)效果未必有成效．筆者認(rèn)為應(yīng)該借用高考原題來(lái)組織課堂生成性片斷教學(xué)，每個(gè)片斷都有生成性學(xué)生核心素養(yǎng)的目的，要建立片斷間的內(nèi)在聯(lián)系，并且片斷的切入點(diǎn)源于學(xué)生的通常思維，教師的責(zé)任是引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深層次的思考，找到解決問(wèn)題的方法與手段．現(xiàn)僅以2020年山東卷解析幾何試題為例，談?wù)劷栌酶呖荚}來(lái)組織課堂生成性片斷教學(xué)．

1 通性簡(jiǎn)介與證明

設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)是圓錐曲線C上一點(diǎn)，如果C的弦AM，AN滿足∠MAN=90°，那么直線MN過(guò)定點(diǎn)R．

若C：y2=2px(p>0)，

則R(2p+x0,-y0)．

證明(片斷教學(xué)設(shè)計(jì))

僅證明橢圓C的情形：不失一般性，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m(y0≠kx0+m)，M(x1,y1)，N(x2,y2),

(通常情況下是證明一般性情況，檢驗(yàn)斜率不存在的特殊性情況)

得(b2+k2a2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，

依根與系數(shù)關(guān)系，

(1.1)

(1.2)

因?yàn)椤螹AN=90°，于是

=(k2+1)x1x2+(km-ky0-x0)(x1+x2)

(1.3)

(a2+b2)m2+2(a2kx0-b2y0)m+(a2-b2)(kx0+y0)(kx0-y0)=0，

(1.4)

將式(1.4)分解因式，得

[(a2+b2)m+(a2-b2)(y0+kx0)][m-(y0-kx0)]=0，

解得

故直線MN的方程是

故直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)

若直線MN的斜率不存在時(shí)，不難檢驗(yàn)結(jié)論也成立．

片斷教學(xué)設(shè)計(jì)分享圓錐曲線的通性都需要一般情形來(lái)證明，證明過(guò)程中都涉及純的字母算式的運(yùn)算，考慮當(dāng)前學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力普遍偏弱，運(yùn)算手段單一，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力這一核心素養(yǎng)就迫在眉睫.教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析算式的歸宿，即以算式的歸宿作問(wèn)題的驅(qū)使導(dǎo)向，這種運(yùn)算技巧學(xué)生短期內(nèi)掌握并不是很困難，關(guān)鍵是效果還非常好．

2 高考原題片斷教學(xué)

2.1 高考原題

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

2.2 怎樣尋找定點(diǎn)

從培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理這一核心素養(yǎng)的角度思考，希望學(xué)生要了解“張角成直角，弦過(guò)定點(diǎn)”這一通性，但并不是希望他們牢記定點(diǎn)的坐標(biāo)，而是要把學(xué)生的大腦空間更多地留給邏輯思考，可以通過(guò)特殊情形找到定點(diǎn)，然后證明一般性．

真正解題過(guò)程中，可以先通過(guò)草紙驗(yàn)算得到定點(diǎn)的位置，再根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǖ玫浇Y(jié)果．

圖1

2.3 怎樣利用定點(diǎn)解題

2.3.1 設(shè)直線MN的一般性方程

設(shè)直線MN：y=kx+m(2k+m≠1)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，D(x0,y0)，

得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-6=0，

依根與系數(shù)關(guān)系，得

于是

即得(3m+2k+1)(m+2k-1)=0，

圖2

上述方法是充分利用了定點(diǎn)R和平面幾何的性質(zhì)，如果沒有注意到幾何意義，純代數(shù)方法也可以求解，下面設(shè)計(jì)沒有利用定點(diǎn)的片斷教學(xué)．

2.3.2 不利用定點(diǎn)的純代數(shù)方法

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

由式(1.7)、(1.8)，得

這個(gè)片斷設(shè)計(jì)是基于發(fā)現(xiàn)[(k2-1)+2k]2+[(k2-1)-2k]2=2(k2+1)2的導(dǎo)向，而通過(guò)代數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，要比通過(guò)幾何性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律往往要困難得多，當(dāng)然如果沒有定點(diǎn)的問(wèn)題驅(qū)使為導(dǎo)向，純代數(shù)計(jì)算也是天方夜譚.也可以把常量與變量換位思考，來(lái)設(shè)計(jì)片斷教學(xué)．

本題還可以這樣設(shè)計(jì)，點(diǎn)D在直線MN上，則y0=kx0+m，且k(y0-1)+(x0-2)=0，

(問(wèn)題驅(qū)使導(dǎo)向是把常量看作變量)

由AM⊥AN，得3m+2k+1=0，即得

2.3.3 充分利用定點(diǎn)解題

片斷教學(xué)必須全方位考慮學(xué)生解題的各種切入的可能，解法不同，解題過(guò)程的難易差異很大，但這也不是絕對(duì)的，關(guān)鍵在于教師怎樣引領(lǐng)，運(yùn)算手段怎樣選擇，下面解法的切入點(diǎn)是多數(shù)學(xué)生會(huì)選擇的，但如果沒有定點(diǎn)作為問(wèn)題趨使導(dǎo)向，沒有整體思想，那么用這種方法解題，結(jié)果肯定是窮途末路．

設(shè)直線AM的方程y-1=k(x-2)，

得(2k2+1)(x-2)2+(4+4k)(x-2)=0，

直線MN的方程是

即得

教學(xué)反思這種方法是為數(shù)不少同學(xué)解題的切入點(diǎn)，課堂片斷教學(xué)是不能回避的，通過(guò)片斷教學(xué)設(shè)計(jì)，向?qū)W生滲透整體思想方法，引導(dǎo)學(xué)生分析多項(xiàng)式運(yùn)算的歸宿，幫助學(xué)生養(yǎng)成關(guān)注定點(diǎn)的意識(shí)，如：多項(xiàng)式(2k2+1)(-k2+k)+(k2+2)(k+1)，算式的歸宿是一元四次多項(xiàng)式，打亂運(yùn)算規(guī)則，分別算出四次項(xiàng)-2k4，三次項(xiàng)3k3，二次項(xiàng)0，一次項(xiàng)3k和常數(shù)項(xiàng)2．

2.4 參數(shù)方程與射影定理

從辯證法觀點(diǎn)來(lái)看，任何事物都有多種體現(xiàn)形式，這些形式都存在著內(nèi)在的聯(lián)系，有些性質(zhì)容易發(fā)現(xiàn)，有些性質(zhì)不易發(fā)現(xiàn)，往往不易發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，使用起來(lái)可能更簡(jiǎn)捷．Rt△MAN內(nèi)接于橢圓C，且點(diǎn)A為定點(diǎn)，AD⊥MN，容易發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)是射影定理．

設(shè)D(x0,y0)，直線MN的傾斜角為α，則直線MN的參數(shù)方程為

(1.9)

將式(1，9)代入C中，消去x，y得

(1.10)

又AM⊥AN，AD⊥MN，

由射影定理得|DA|2=-t1t2，

而|DA|2=(x0-2)2+(y0-1)2，所以

(1.11)

代入式(1.11)得

結(jié)束語(yǔ)高考試題是由命題專家命制的，它的科學(xué)性、示范性、經(jīng)典性是不用質(zhì)疑的．試題的各類解答專家心中都有數(shù)，但提供的解答必須是通性通法的解答．教師的教學(xué)就不限制于任何規(guī)定，可以充分挖掘各類解法，高三復(fù)習(xí)教學(xué)與其天天帶著學(xué)生刷題，倒不如利用高考經(jīng)典試題設(shè)計(jì)各種片斷教學(xué)，來(lái)挖掘?qū)W生的潛能，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，讓有限的課堂生成學(xué)生無(wú)限的能力，把數(shù)學(xué)教學(xué)提升到高層次的品味，讓中國(guó)數(shù)學(xué)走向世界．