楊小麗

(北京教育學院數學系 100044)

理解意味著能夠智慧地和有效地應用與遷移[1].遷移是把一個情境中學到的東西遷移到新情境的能力[2].然而學習只有在學生達到遷移水平時才算完成[3].學生的遷移能力是學習的一個重要標志，它能幫助教師評估和改進教學[4].

四邊形的課程內容應聚焦平行四邊形[5].常見的平行四邊形教學安排是：直接給出或回顧小學定義，分別探索并證明性質定理1，2，3，分別探索并證明判定定理1，2，3.這樣的過程缺乏探索一個圖形的整體性，割裂了定義、性質、判定間的內在聯系，使原來在內涵、思想方法上具有一致性和連貫性的內容被人為切割，導致數學知識的碎片化[6]；不僅不利于理解平行四邊形的性質，而且也不利于遷移，面對一個新圖形, 如果沒有了老師預先設計好的情境, 學生將很難獨立開展研究.

有學者和教師從整體性的角度，對平行四邊形的教學進行了改進.他們的做法是將平行四邊形的教學過程調整為：給出平行四邊形定義、整體探索平行四邊形的性質、整體探索平行四邊形的判定.這樣的教學設計體現了單元的思想，有利于學生掌握研究一個圖形的基本路徑和思想方法，積累研究圖形的活動經驗.不足的是，上述整體設計對平行四邊形的定義、性質和判定之間的關系揭示得不夠深入，這在一定程度上會導致學生對三者之間的內在聯系理解得不夠充分，因而不利于遷移.

本文在學生調研的基礎上，從促進理解和遷移的角度，在大觀念的指引下，對四邊形單元的教學進行再探索.

1 大觀念是理解的核心、遷移的關鍵

大觀念，英文Big Ideas，也有學者將其譯為大概念、一般觀念、核心觀點.在教育領域，有關大觀念的研究至少可以追溯到布魯納對于教育過程的研究[7].林恩·埃里克森認為大觀念是指向學科中的核心概念，是基于事實基礎上抽象出來的深層次的、可遷移的概念[8].格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格提到，大觀念通常表現為一個有用的概念、主題、有爭議的結論或觀點、悖論、理論、基本假設、反復出現的問題、理解或原則，它能夠將離散的事實和技能有意義地連結起來，是重要的、持久的、可遷移的[9].蘭德爾·查爾斯將大觀念定義為是對一個觀念的陳述，這個觀念是數學學習的核心，且能把各種數學理解聯系成一個連貫的整體[10].

很多學者都提到過大觀念的重要性.如，威金斯用魔術貼、錨點、車轄、透鏡等來形容大觀念的核心位置和關鍵作用.他認為，大觀念相當于一個車轄，車轄是一種配件，能夠使車輪固定在車軸上，因此，車轄是理解的必要條件[11].大觀念照亮了經驗之路，是遷移應用的關鍵[12].而布魯納也早就指出：任何學習表現的首要目標(不考慮它可能會給我們帶來的快樂)，都是它應該在將來為我們服務……本質上講，它在于學習最初并不是一種技能而是一種普通的觀點.這種觀點認為，它可以作為用于識別后續(xù)問題的基礎.這種類型的遷移是教育過程的核心——知識的持續(xù)擴張與加深就是依據的這一觀點[13].

2 促進理解和遷移的四邊形整體設計

威金斯提出了理解為先的單元教學設計模式，該模式的主要目的是發(fā)展和深化學生的理解，即通過大觀念理解學習內容并將學習結果進行遷移[14].筆者參照該模式，對四邊形單元進行整體設計.

2.1 確定大觀念及單元具體觀念

蘭德爾·查爾斯系統(tǒng)提出了21條數學大觀念，其中幾何領域的大觀念有4條，能指引四邊形單元教學的大觀念是“形狀和立體圖形：二維和三維物體(無論是否有曲面)都可以通過其特征進行描述、分類和分析”[15]. John A. Van de Walle等也提出了幾何領域的4條大觀念，其中有兩條能指引四邊形單元教學，它們是：(1)根據圖形的幾何性質可以判斷不同圖形是否相同，圖形可以根據其性質進行分類；(2)當一個圖形在平面內或空間中移動時，變換提供了一種判斷圖形的性質是否變化的重要方法，這些變換包括平移、反射、旋轉等[16].

“圖形的性質”是初中圖形與幾何領域的重要內容，這部分內容可以體現如下數學大觀念：(1)圖形是從現實空間中抽象出來的；(2)圖形的組成元素決定了圖形的性質，可以根據圖形的性質對圖形進行描述、分類和分析；(3)研究圖形的過程和方法包括通過抽象得到圖形；通過定義表述圖形；通過觀察、操作、度量、歸納、類比等方法發(fā)現圖形的性質；利用演繹推理從定義、基本事實、定理出發(fā)對發(fā)現的結論進行證明，從而得到圖形的性質；根據圖形的定義和性質，得到圖形的判定.

將上述大觀念具體化，得到四邊形單元的具體觀念：(1)四邊形是從現實空間中抽象出來的；(2)四邊形可以根據其邊和角的特征來描述、分類和命名；(3)四邊形可以由三角形構成或分解成三角形；(4)分類是認識圖形特征的重要方法，也是理解圖形間關系的重要手段；(5)定義是探索圖形性質和判定的出發(fā)點，圖形有多種定義方式，所有充分必要的性質命題都可以用“性質”構成圖形的定義[17]；(6)圖形的性質是指圖形的整體特征(穩(wěn)定性、對稱性)以及圖形各幾何元素之間確定的位置關系、大小關系；(7)觀察、操作、度量、歸納、類比、推理都是研究圖形性質的有效方法；(8)圖形的判定是指能夠判斷一個圖形是否為某類圖形的條件；(9)圖形的性質定理和判定定理一般是互逆的關系，可以通過性質定理的逆命題尋找圖形的判定定理，也可以將圖形的性質羅列出來，將性質兩兩組合構造命題，如果命題為真，則可以作為圖形的判定定理；(10)經過合情推理發(fā)現的結論不一定正確，通過演繹推理可以證明一個命題是正確的，利用反例可以判斷一個命題是錯誤的；(11)圖形變換既是研究圖形性質的重要方法，也是探究證明思路、尋找證明方法的重要途徑；(12)證明要做到：出發(fā)點正確、推理過程正確，證明的依據是學過的定義、基本事實、定理、推論等.

上述具體觀念不僅可以指引平行四邊形的研究，還可遷移至矩形、菱形、正方形及陌生圖形的研究中.

2.2 調研學生的初期理解

學生帶著有關世界如何運作的前概念來到課堂，如果他們的初期理解沒被卷入其中，那么他們也許不能掌握所教的新概念和信息，否則他們會為了考試的目的而學習它們，但仍會回到課堂之外的前概念[18].那關于平行四邊形，學生的初期理解是什么？為此，在四邊形單元學習之前對35名學生進行了調研(1)調研結果由北京市大興德茂學校李寧老師提供..下面呈現部分調研題目及結果.

對于問題“請你給平行四邊形下個定義”，學生的答題情況如表1所示.

表1 平行四邊形定義答題情況統(tǒng)計表

除了一名學生沒有答題之外，其余34名學生都回答了此題，其中一名學生給平行四邊形下了4個定義.

由上述調研結果可以發(fā)現，學生對什么是定義有不同的理解.此外，根據范希爾理論，學生下定義的水平主要處于水平1分析及水平2非形式演繹.其中分析水平的學生為了給某類圖形下定義，傾向于列出該類圖形盡可能多的性質，如表1中的定義5，6，7；而非形式演繹水平的學生能識別定義一個圖形需要的最小一組性質，如表1中的定義1，2，3，4；演繹水平的學生則能認識到一個形式化定義的特征及其等價定義.

對于問題：“請你研究平行四邊形的性質，平行四邊形有哪些性質？”學生的答題情況如表2所示.

表2 平行四邊形性質答題情況統(tǒng)計表

由表2可知，學生對“什么是圖形的性質”理解不同.此外，大部分學生不清楚定義和性質間的關系，他們將定義作為平行四邊形的一個性質.(如，在將“平行四邊形的對邊平行”作為平行四邊形性質的27人中，有26人將其作為了平行四邊形的定義)而在數學上，概念的定義和概念的性質是直接被區(qū)分的，概念的性質都是在定義基礎上推導出來的[19].

從調研結果可以發(fā)現，學生對“什么是定義、如何下定義、什么是性質、如何研究圖形的性質”等問題的理解上有較大差異.其中有些理解是不充分的、有些理解是錯誤的.而不充分、不恰當、錯誤的已有知識可能誤導或阻礙新的學習[20]，因此需要通過教學予以填補和糾正.

2.3 制定學習目標、確定基本問題

理解為先的單元包含四種不同的學習目標：遷移、理解意義、知識和技能[21].學會遷移是所有教育的長期目標，學習的根本目的是理解意義與遷移應用；理解意義是遷移的前提，指向大觀念；知識和技能是獲得深入持久理解以及學會遷移的必需工具(即手段)[22].

為了促進學生的理解和遷移，需要有基本問題的引領.基本問題指向和突出大觀念，它們像一條過道，通向理解之門；基本問題能夠引發(fā)探究、討論或論證；不僅能夠促進對某一特定主題單元的內容理解，也能激發(fā)知識間的聯系和遷移[23].

四邊形單元的學習目標及基本問題如表3所示.

表3 四邊形單元的學習目標及基本問題

續(xù)表

2.4 設計評估任務

威金斯提倡逆向設計，即將評價設計這一步驟提前，先思考如何開展評估，再設計學習任務.評估的方式是多樣的，包括對理解的非正式檢查(如口頭提問、觀察、對話)、隨堂測驗、開放式問答題及表現性任務[24].為了評估學生的理解和遷移，可設計如下評價任務：圖1中的三個四邊形都是箏形，圖2中的三個四邊形都不是箏形.請給箏形下定義，研究其性質和判定，并給出研究結果.

圖1

圖2

2.5 設計學習任務

根據前述分析，將四邊形單元的主要學習活動整體安排如下，如圖3所示.

圖3 四邊形單元學習任務整體設計

限于篇幅，下面重點對平行四邊形的學習任務予以展開，以問題串的形式呈現.

問題1課前請同學們給平行四邊形下定義，同學們給出了7個定義，那這7個都能作為平行四邊形的定義嗎？

生：第一個肯定能，小學課本里是這么寫的.

追問1：那其余6個呢？能作為平行四邊形的定義嗎？

生：之前學過定義具有兩重性，定義既是“性質”又是“判定”.那需要判斷其余6個是否具有兩重性.也就是說先看看它們是不是平行四邊形的性質，再看看它們是不是平行四邊形的判定.

設計意圖前測中，學生給平行四邊形下了7個不同的定義，說明學生對定義有著不同的理解.那什么樣的理解才是正確的呢？課堂上應該對該問題進行討論，否則會不利于學生形成對定義的正確理解.學生會認為定義是教材給定的、是唯一的.

問題2既然如此，那我們在定義1的前提下，先來討論平行四邊形的性質.課前大家已經對平行四邊形的性質進行了研究，得到了不少結論(呈現學生的研究結果).大家是怎么得到這些結論的？這些結論正確嗎？怎么證明？這些都是平行四邊形的性質嗎？平行四邊形的性質指的是什么？教材中為什么只呈現了其中3條性質？

設計意圖定義具有兩重性，既是“性質”又是“判定”.給概念下定義首先要清楚圖形的性質和判定.因此，需要先對平行四邊形的性質進行研究.通過問題2中基本問題的討論，讓學生理解本單元第(6)(7)(10)(11)(12)條具體觀念.

問題3研究完性質，接下來我們研究平行四邊形的判定.平行四邊形的判定具體要研究的問題是什么？

生：尋找除定義外，能夠判斷一個四邊形是平行四邊形的條件.

師生活動：學生先獨立研究，然后小組交流，老師觀察并收集匯總學生的做法.

追問1：大家是怎么得到這些結論的？這些結論正確嗎？怎么證明？

追問2：這些都是平行四邊形的判定嗎？平行四邊形的判定指的是什么？教材中為什么只呈現了其中3條判定？

設計意圖通過問題3中基本問題的討論，讓學生理解本單元第(8)(9)(10)(11)(12)條具體觀念.

問題4研究完平行四邊形的性質和判定，我們再回過頭來討論平行四邊形的定義.除結論1外，其余6條結論可以作為平行四邊形的定義嗎？

生：結論2，3，4可以.結論5，6，7都有多余的條件，只需要保留其中一個即可.

追問1：平行四邊形可以有多個定義嗎?

追問2：教材為什么選擇了“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”作為定義？

追問3：根據前面的討論，大家能說說如何給平行四邊形下定義嗎？

設計意圖通過問題4的討論，讓學生明晰平行四邊形可以有多個定義，而且這些定義是等價的.一般來說，人們選擇更加直觀的命題作為定義[25].定義是推理的邏輯起點，是研究性質和判定的出發(fā)點.給平行四邊形下定義時，首先對平行四邊形的性質進行探索，找出能夠將平行四邊形跟其他圖形區(qū)分開來的性質，選擇一條作為定義，然后對其進行檢驗，如果不能找到任何一個反例，則所下定義是恰當的.即通過對問題4的討論，讓學生理解本單元第(5)條具體觀念.

問題5我們已經對平行四邊形進行了完整的研究，下面我們進行回顧與小結.對于平行四邊形我們都研究了哪些內容？是怎么進行研究的？得到了哪些結論？定義、性質、判定之間的關系是什么？

設計意圖通過問題5，對平行四邊形的研究過程進行回顧和整理，進一步明晰和理解本單元的具體觀念，以便于遷移至本單元矩形、菱形、正方形及陌生圖形的研究中.

3 結語

教育工作者希望學生能把學習從一門課中的一個問題遷移到另一個問題，從一學年遷移至另一學年，在學校與家庭之間以及從學校遷移到現場[26].而對基礎性原則和觀點的理解是培養(yǎng)遷移能力的主要途徑[27].因此，為了促進學生的理解和遷移，可以在大觀念的統(tǒng)領下進行單元教學設計.本文以四邊形單元為例，闡述了如何在大觀念的統(tǒng)領下進行單元教學設計：確定大觀念及單元具體觀念、調研學生的初期理解、制定學習目標并確定基本問題、設計評估任務、設計學習任務.大觀念統(tǒng)領下的四邊形單元教學設計體現了單元的思想，有利于學生深入理解定義、性質、判定間的內在聯系，掌握研究一個圖形的基本路徑和思想方法，積累研究圖形的活動經驗，從而促進學生將所學內容遷移至陌生圖形的研究中.