廖藝捷 朱展霖 胡典順

(華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 430079)

1 問題提出

概率與統(tǒng)計是《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下簡稱“2017年課標”)中的主題之一，其蘊含著抽樣思想、統(tǒng)計推斷思想、隨機思想[1]、小概率思想以及誤差控制思想等，是考核學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要媒介．這類問題與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系較為緊密，解決相關(guān)問題需要經(jīng)歷問題情境的數(shù)學化、模型的建構(gòu)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、還原為現(xiàn)實問題的解等步驟，是學生數(shù)學建模能力的重要體現(xiàn)；另一方面，統(tǒng)計試題中有時會出現(xiàn)大量的數(shù)據(jù)，需要依據(jù)題目要求對數(shù)據(jù)進行合理的篩選和處理，對于學生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算能力要求較高．

近幾年的概率與統(tǒng)計試題形式多變，頗具創(chuàng)新性，使得不少一線教師難以把握高考復(fù)習的方向．鑒于全國Ⅰ卷使用地區(qū)較多，具有較強的代表性，因此本文以全國Ⅰ卷(理科)為例對其概率與統(tǒng)計命題特點進行分析，有利于清楚地把握高考的考核方向，以更好地輔教導(dǎo)學，同時也可以為其他內(nèi)容領(lǐng)域的高考命題研究提供參考．

2 研究框架

本文采用定性和定量研究相結(jié)合的研究方法，從情境領(lǐng)域、知識點、數(shù)學思想方法、綜合難度四個維度對試題進行統(tǒng)計和分析，以便于進一步得到概率與統(tǒng)計試題的命題特點．在統(tǒng)計編碼過程中，作者經(jīng)過和相關(guān)專家進行多次討論后確定統(tǒng)計結(jié)果，以確保統(tǒng)計數(shù)據(jù)的準確性．

2.1 情境領(lǐng)域

概率與統(tǒng)計試題相較于其余內(nèi)容領(lǐng)域的試題而言具有鮮明的情境性，要求學生能夠從復(fù)雜的問題情境中抽象出數(shù)學問題，并建立數(shù)學模型進行解決，最終將數(shù)學問題的解還原為現(xiàn)實問題的解釋或決策．本文依據(jù)2017年課標中對于情境的維度劃分(科學情境、數(shù)學情境、現(xiàn)實情境)[2]進行問題情境的統(tǒng)計和分析．

2.2 知識點

對于考查知識點的梳理有利于把握核心知識點，明確考試重難點.由于2020年沒有單獨編寫高考考試大綱，而是繼續(xù)沿用2019年的高考考試大綱，且僅在此基礎(chǔ)上作部分修訂：提出增加基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的能力要求；增加數(shù)學文化內(nèi)容；但考試大綱未對具體考點進行修訂[3]．為便于統(tǒng)計，本文在參考2019年高考考試大綱的基礎(chǔ)上，對概率與統(tǒng)計部分的考點(共8個一級考點，22個二級考點)進行編碼，具體內(nèi)容如表1所示：

表1 2019年高考考試大綱概率與統(tǒng)計部分考點編碼

續(xù)表

用字母表示一級考點，數(shù)字表示二級考點.例如A1表示簡單隨機抽樣，B3表示用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體.部分題目除了以上涉及的主要知識點外還融合了其余內(nèi)容領(lǐng)域的知識點，但由于數(shù)量較少，因此未對其進行單獨的編碼，而是直接在后續(xù)具體分析的表格中列出．

2.3 數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的思想品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)[4].在高考逐漸從“知識立意、能力立意”向“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”轉(zhuǎn)變的總體趨勢下[5]，數(shù)學核心素養(yǎng)越來越展現(xiàn)出其在人才培育方面的重要價值.相較于其余知識領(lǐng)域而言，概率與統(tǒng)計所蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)更為豐富，且存在一些細節(jié)上的差異，例如傳統(tǒng)內(nèi)容主要是在定義、假設(shè)基礎(chǔ)上的演繹推理，概率與統(tǒng)計內(nèi)容是在個體的基礎(chǔ)上進行的歸納推理[6]，本文依據(jù)2017年課標中對于核心素養(yǎng)的維度劃分(數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析)[2]進行試題的統(tǒng)計和分析．

2.4 綜合難度

試題難度也是試題的重要特點之一．對于試題難度的分析，較多學者采用鮑建生綜合難度模型，該模型涵蓋“探究”“背景”“運算”“推理”“知識含量”五個難度影響因素[7]；武小鵬指出，在標準化測試中該模型的應(yīng)用效果存在欠缺，因此他在鮑建生綜合難度模型基礎(chǔ)上進行了改進，增加了“是否含參”和“思維方向”兩個維度．鑒于對綜合評價模型維度的全面性和合理性的考慮，本文采用武小鵬構(gòu)建的綜合難度模型進行試題難度評估，具體等級劃分見表2[8]．

表2 難度因素等級劃分

3 特點分析

考慮到非解答題(包括選擇題和填空題)與解答題在考查重點及考查方式上通常存在一定的差異，故本文分非解答題和解答題兩類進行2016-2020高考數(shù)學全國Ⅰ卷(理科)的概率與統(tǒng)計試題命題特點分析．

3.1 非解答題命題特點分析

依據(jù)本文第二部分構(gòu)建的研究框架，對2016—2020高考數(shù)學全國Ⅰ卷(理科)非解答題部分的概率與統(tǒng)計試題進行統(tǒng)計，具體內(nèi)容如表3.

表3 2016—2020年全國Ⅰ卷(理科)概率與統(tǒng)計試題非解答題統(tǒng)計

由上表可知，近五年概率與統(tǒng)計非解答試題的問題情境以現(xiàn)實情境為主，數(shù)學情境和科學情境較少．這充分體現(xiàn)出概率與統(tǒng)計研究與現(xiàn)實應(yīng)用的緊密關(guān)系，尤其在當今數(shù)據(jù)化時代背景下概率與統(tǒng)計理論與應(yīng)用研究凸顯出巨大價值．為了體現(xiàn)概率與統(tǒng)計在人類文明的發(fā)展中所具有的重要作用，近五年高考數(shù)學全國Ⅰ卷(理科)將概率與統(tǒng)計命題與人文藝術(shù)、社會發(fā)展、科技創(chuàng)新等多個領(lǐng)域相互滲透，展現(xiàn)出概率與統(tǒng)計領(lǐng)域所獨具的理性之美．例如2018年第3題充分彰顯了數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析對于明確新農(nóng)村建設(shè)成果在各個領(lǐng)域的變化趨勢研究中的重要價值，在幫助學生感受數(shù)學之美時，更弘揚了一種應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題從而服務(wù)社會的責任和擔當意識；2019年第6題將文理相互交融，既展現(xiàn)了中華民族傳統(tǒng)文化之魅力，又凸顯了深度思考之理性，是數(shù)學高考改革趨于文理不分科的初步實踐．

從知識點統(tǒng)計維度來看，概率與統(tǒng)計非解答題通常只考查1—2個知識點，且考查水平以理解和簡單應(yīng)用為主，部分題目中還融入了函數(shù)、幾何等知識點．在近五年間呈現(xiàn)出明顯的變化趨勢，2016—2018年全國Ⅰ卷(理科)選擇題均考查了幾何概型這一知識點，而該知識點在近兩年均未考查，更加偏向于對數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象等能力的考查，這一定程度上反映了高考目標逐漸從知識的考查轉(zhuǎn)向能力的考查的變化趨勢．

就非解答題中數(shù)學核心素養(yǎng)的融入而言，從以上統(tǒng)計結(jié)果可以看出近五年數(shù)學全國Ⅰ卷(理科)中的概率與統(tǒng)計領(lǐng)域命題涉及對學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的考查．尤其在2020年的命題設(shè)計中，數(shù)據(jù)分析這一能力素養(yǎng)的考核在概率與統(tǒng)計題目中得到了落實，這在一定程度上體現(xiàn)出高考數(shù)學命題順應(yīng)時代特征的趨勢．例如在2020年全國I卷第5題以溫度與發(fā)芽率關(guān)系這一科學背景作為問題情境，考查了學生對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象從而進行模型構(gòu)建的能力，并在問題解決的過程中讓學生感受到了回歸方程在實際生活中的價值.

為研究近五年的題目難度變化特征，對同一年出現(xiàn)多道非解答題的難度進行平均，并繪制折線圖如圖1，其中參考線為五年試題的平均難度0.57，由圖可見除2018年、2020年難度略有提升，其余各年難度呈現(xiàn)下降趨勢，且均位于五年平均水平之下.難度系數(shù)的偏度值為1.279，故數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的右偏態(tài)，表明概率與統(tǒng)計非解答題的難度偏低，即試題中概率與統(tǒng)計以基礎(chǔ)題為主．其中2018年第10題難度系數(shù)最高，達到0.70．仔細分析其各個難度因素可知，其問題情境為數(shù)學情境，不需要學生對現(xiàn)實情境進行抽象，但需要學生仔細分析各個圖形之間的面積關(guān)系，設(shè)出直角三角形三邊長度并表示出各個部分的面積，進一步基于面積關(guān)系得到概率關(guān)系．其難點主要在于運算過程中含有參數(shù)，故對數(shù)學運算的水平要求較高．單獨從概率與統(tǒng)計的維度來看，幾何概型在解題中所占的比重并不高，其考查水平也相對較為基礎(chǔ)．

圖1 非解答題難度趨勢

3.2 解答題命題特點分析

依據(jù)第二部分構(gòu)建的研究框架對2016—2020高考數(shù)學全國Ⅰ卷(理科)解答題部分的概率與統(tǒng)計試題進行統(tǒng)計，具體內(nèi)容如表4.

表4 2016—2020年全國Ⅰ卷(理科)概率與統(tǒng)計試題解答題統(tǒng)計

續(xù)表

在解答題部分，問題情境以現(xiàn)實情境為主，含有少量的科學情境．從對具體題目的相關(guān)統(tǒng)計分析可以看出，近五年非解答題的問題情境設(shè)計逐漸貼近學生日常生活，充分順應(yīng)了學生的心理認知發(fā)展規(guī)律．例如從產(chǎn)品的包裝和加工生產(chǎn)到研制藥實驗，再到羽毛球賽制，數(shù)學問題解決與社會、經(jīng)濟、科技等各方面的發(fā)展充分融合，有助于學生理解題目中的信息，并有利于促進其將更多的注意力集中在問題解決上．另一方面，基于學生已有認知水平的問題情境設(shè)計也可幫助學生切實感受到概率與統(tǒng)計相關(guān)知識在生活中的應(yīng)用價值，從而提升數(shù)學學習興趣并認識到數(shù)學學習對未來發(fā)展的重要意義．

相較于非解答題而言，解答題所考查的知識點更多，通常涵蓋3—5個知識點，水平多為應(yīng)用和分析，在部分試題中融入了函數(shù)中的部分知識點．從表4的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，其中的高頻考點為D3、G2、B3，但在近兩年的試題中所考查的知識點不盡相同，知識點數(shù)量也相對減少，且近兩年的命題設(shè)計中考查的知識點更加隱蔽，即未告知求解問題的方向，而更加偏向在復(fù)雜情境中考查學生的數(shù)學建模能力．

就解答題在問題解決過程中所需的數(shù)學核心素養(yǎng)來看，每一個問題的解決過程中都涉及了多種核心素養(yǎng)的綜合運用，且命題中對應(yīng)素養(yǎng)的考查水平均在2—3等級之間，幾乎所有的題目都需要將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學問題，并在此基礎(chǔ)上對數(shù)據(jù)或者其他已知條件進行建模，再通過一定的邏輯推理對問題進行轉(zhuǎn)化．例如用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，用先驗概率推知事件發(fā)生概率等．以2020年第19題為例，以學生日常生活中非常熟悉的羽毛球比賽情境作為問題背景，要求學生將其中的關(guān)鍵信息用數(shù)學語言予以表征，討論事件可能出現(xiàn)的情形，對數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)要求較高.

為檢驗解答題與非解答題難度上是否有顯著性差異，進行獨立樣本t檢驗可得，概率與統(tǒng)計解答題難度顯著高于非解答題(P=0.000<0.05)，非解答題的平均難度為0.79，其中2019年第21題難度最高，為0.89．為研究近五年的解答題的難度變化趨勢，進一步作出折線圖如圖2所示，由圖可見除2018、2020年難度略有下降外，題目難度總體呈現(xiàn)上升趨勢，這表明在解答題部分對概率與統(tǒng)計要求上升．仔細分析解答題的各個難度因素，可分析出其難度較高的原因主要有以下幾個方面：

圖2 解答題難度趨勢

①存在逆向思維．由于在列舉事件可能發(fā)生的情況時極容易存在遺漏或重復(fù)，因此正難則反這一解題策略在概率與統(tǒng)計這一知識領(lǐng)域中顯得尤為的重要．例如2020年第19題第二問中，直接討論進行五場比賽的概率相對較復(fù)雜，就需要從事件的反面來考慮，即只需賽四場的情況；2017年第19題第一問若直接計算16個零件中尺寸在規(guī)定區(qū)間外的個數(shù)大于等于1的概率，則需要對零件的故障個數(shù)進行分類討論，而若從反面則直接利用獨立事件的概率計算公式即可解決.

②含有參數(shù)．在近五年的解答題中有四道題均含有參數(shù)，一類參數(shù)來源于分布中的參數(shù)估計值，另一類則是題目中設(shè)置的參數(shù)．第一類如2017年第19題，其中含有正態(tài)分布的均值方差等參數(shù)，雖然參數(shù)對于解題的影響不大，但一定程度上會增加學生對于題目的恐懼心理；第二類如2019年第21題，由于第一問中未給出兩種藥治愈率的具體數(shù)值而需要進行一定的符號運算，第二問雖然直接給出兩種藥的治愈率數(shù)據(jù)，可代值計算出a,b的值，但又出現(xiàn)了新的參數(shù)pi，而導(dǎo)致其推理過程變得較為復(fù)雜.

③綜合性較高．既表現(xiàn)在涵蓋知識點的豐富性，又表現(xiàn)在與函數(shù)、數(shù)列等跨章節(jié)或醫(yī)學、工程學、物理的跨學科的知識上的交互性．在各章節(jié)的學習中常常集中于某一知識點，有助于知識點的深度理解，但是實際的問題解決卻比教學中的出現(xiàn)的問題復(fù)雜得多，往往不是某一個知識點就能夠解決的，而是需要綜合多個知識進行分析．因此這種綜合性的提升是解決現(xiàn)實問題的必然要求，也可為學生更好地融入和適應(yīng)社會提供幫助．

4 教學建議

(1)豐富情境設(shè)計，拓展學生認知廣度

概率與統(tǒng)計的內(nèi)容及思想推動著人類文明的發(fā)展進程，其應(yīng)用是無處不在的．這為在教學中需創(chuàng)設(shè)合適的問題情境提供了極大的便利——既可以在所處的時代中挖掘具有時代特色的素材，也可以從歷史中挖掘具有人文氣息的素材；既可以是來源于數(shù)學的問題，也可以是來源于其余學科領(lǐng)域的問題；既可以以中國的傳統(tǒng)文化為背景，又可以以全球多元文化為背景．從不同的問題情境出發(fā)，幫助學生感受到概率與統(tǒng)計的獨特魅力，體會其蘊含的科學價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值[2]．但情境設(shè)計的豐富性并不是無限制的，也需要結(jié)合學生的認知能力和認知方式選取一些學生熟悉的或感興趣的生活材料，在學生的最近發(fā)展區(qū)進行適當?shù)匮由旌屯卣梗?/p>

情境的真實性也是情境創(chuàng)設(shè)是否合理的重要判斷依據(jù)，真實的問題情境有助于學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展，由于概率與統(tǒng)計相關(guān)知識不同于其余內(nèi)容領(lǐng)域的知識，其靈活性較大，數(shù)據(jù)分析的維度和模式并不是固定的，因此教師也可以適當?shù)亟o予學生一些機會根據(jù)情境提出相關(guān)問題并進行解決，并鼓勵學生比較和分析不同解決方式的優(yōu)劣．

(2)整體把握知識，構(gòu)建完整認知圖式

知識本身具有多維性，如果僅將目光局限于高中教材的某一章節(jié)則會導(dǎo)致知識失去其本來的色彩．F.克萊因認為優(yōu)秀的中學數(shù)學教師應(yīng)當站在更高的視角去審視和理解初等問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單[9]．高中階段概率與統(tǒng)計中的部分概念并未給出準確的定義，例如將概率中的樣本點與統(tǒng)計中的樣本混為一談，但結(jié)合概率論相關(guān)知識即可知兩者在本質(zhì)上存在一定的區(qū)別，而理解清楚這一概念是理清概率與統(tǒng)計之間關(guān)系的重要一步；其次，高觀點也為解釋一些高中階段的問題提供了一些途徑，例如2019年的第21題如果將其過程理解為帶吸收壁的隨機游動問題，則其解決過程會更加直觀易懂．

此外，隨著高考改革的逐漸推進，對于學生的綜合應(yīng)用能力的要求會越來越高，這就要求教師要在教學內(nèi)容中適當?shù)厝谌胍恍┢渌R領(lǐng)域的內(nèi)容，并啟發(fā)學生關(guān)注到不同知識的這種關(guān)聯(lián)性，構(gòu)建完整的認知圖式，以促進對于知識的全面認識和把握．

(3)打破思維定勢，滲透數(shù)學思想方法

一方面，由于概率與統(tǒng)計試題相較于其余內(nèi)容領(lǐng)域的題目而言閱讀量和信息量偏大，因此學生可能遺漏一些關(guān)鍵信息或者理不清楚題目意思，為幫助學生理解題意尋求問題解決方法，教師可在相關(guān)教學中引導(dǎo)學生對問題進行不同維度表征，例如將題干中的數(shù)據(jù)或文字用一定的圖表來加以呈現(xiàn)，從順向和逆向進行思考等，打破學生的固有思維，以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維．

另一方面，由于課時的限制，高中階段的教材中概率與統(tǒng)計部分以案例為主，導(dǎo)致許多學生只能機械地模仿進行解題，而并不理解為什么要這樣建立模型或者分析數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致在命題不再按照固定的模式出現(xiàn)時學生無從下手．為改變這一現(xiàn)狀，教師可在教學中給予學生更多的思維空間，讓學生經(jīng)歷包括數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)分析等問題解決的全過程，并在這些過程中逐漸拓展學生的思維廣度和深度．尤其注重滲透概率與統(tǒng)計內(nèi)容中所特有的一些數(shù)學思想方法，例如隨機思想與學生一直以來所學習的確定性思想在很大程度上存在差異，尤其在當今時代背景下，這一思想對學生適應(yīng)社會發(fā)展具有重要影響．因此教師應(yīng)在相關(guān)問題中滲透這一思想并重視評估學生在解決現(xiàn)實問題的過程中是否進行了準確表達或推理．

(4)重視知識本質(zhì)，挖掘數(shù)學教育價值

數(shù)學高考命題不僅是為了考查學生數(shù)學知識技能的掌握程度，更重要的價值在于能夠引導(dǎo)學生在數(shù)學知識的學習過程中深入體會其中蘊含的數(shù)學思想方法及其本質(zhì)內(nèi)涵，并為學生樹立正確的數(shù)學學習觀和人生價值觀指明方向．尤其在當今大數(shù)據(jù)迅速發(fā)展的時代背景下，基本的知識和技能傳授已經(jīng)不能滿足培養(yǎng)社會未來優(yōu)秀人才的需要．而只有從“授人以魚”向“授人以漁”的方向轉(zhuǎn)變，從強調(diào)解題技巧過渡到在解決數(shù)學問題的過程中啟發(fā)學生領(lǐng)悟其中蘊含的智慧源泉，才能真正讓學生的數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展得以落地生根．

概率與統(tǒng)計作為學生適應(yīng)大數(shù)據(jù)時代的必備知識，同時也是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模素養(yǎng)的重要載體，為了確保所有的學生都能樹立一定的概率意識，科學地看待事件的發(fā)生情況以及事物之間的變化，教師應(yīng)在相關(guān)教學中要重視對于核心概念、方法的本質(zhì)揭示，引導(dǎo)學生認識到知識所蘊含的思想內(nèi)涵．在命制相關(guān)試題時，逐漸從簡單情境到復(fù)雜情境，從單一知識到綜合應(yīng)用，從正向思維到逆向思維進行過渡，循序漸進地提升學生相關(guān)知識的應(yīng)用能力．