吳淑玲

[摘? 要] 圖形變換法在幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，通過圖形變換可將分散條件聚集，串聯(lián)條件構(gòu)建思路. 圖形變換法往往與幾何模型結(jié)合緊密，變換后所構(gòu)模型的特性是破題的關(guān)鍵. 文章深入探索圖形變換法，舉例應(yīng)用并開展教學(xué)反思，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 變換法;平移;旋轉(zhuǎn);翻折;思想方法

方法綜述

對于條件較為分散的幾何問題，可通過合理變換圖形來聚集圖形特征，串聯(lián)問題條件，從而挖掘問題本質(zhì)，獲得突破的切入點(diǎn). 圖形變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等全等變換，而相似變換也可視為是一種圖形變換. 下面結(jié)合一道例題來具體講解.

問題：如圖1所示的△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AC和AB的中點(diǎn)，試證明以△ABC三條中線所構(gòu)的三角形的面積為△ABC面積的.

分析 △ABC的三條中線較為分散，利用AD，EB和FC三條中線來構(gòu)建三角形，顯然需要通過圖形變換將三者集中在同一三角形中. 下面固定中線FC，通過平移AD和BE來構(gòu)造三角形.

評析 上述證明三角形中線所構(gòu)三角形與原三角形的面積關(guān)系，問題解析充分利用了平移變換的方法，是從變化、運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)處理孤立條件的一種思想方法. 該方法將分散的線段拼接在一起，形成相關(guān)聯(lián)的圖形. 其基本思路是首先平移變換，構(gòu)造圖形，再結(jié)合特性證明. 其中利用了“倍長中線”的特性，形成了平行四邊形.

應(yīng)用探究

圖形變換法在幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，是串聯(lián)條件的重要方式. 平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，實(shí)則是全等變換、相似變換的過程，在該過程中會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的幾何模型，如“半角”模型、“一線三等角”模型、“手拉手”模型、“中點(diǎn)”模型等，合理利用模型結(jié)論可極大地提升解題效率.

圖形變換法一：平移變換

平移后圖形的位置關(guān)系更為集中，可形成基本圖形. 問題解析要關(guān)注兩點(diǎn)：一是確定平移的方向和距離;二是關(guān)注平移后的模型特征.

例1 如圖3所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)M是BC上的點(diǎn)，且MB=AC，點(diǎn)N是邊AC上的點(diǎn)，且AN=MC. 設(shè)AM和BN的交點(diǎn)為P，試證明∠BPM=45°.

解析 本題求證∠BPM=45°，圖像中存在兩組等線段條件，但不易構(gòu)建與角度的關(guān)系，需要將其聚焦在一起，故平移變換是解題的核心方法.

如圖3所示，將線段MB平移至AG處，構(gòu)造平行四邊形BMAG，再連接GN，與AM的交點(diǎn)設(shè)為H. 則圖中存在“一線三等角”模型（陰影部分），由模型特點(diǎn)可得Rt△ACM≌Rt△GAN，由全等特性可得GN=AM=GB，可推知∠BGN=∠PHN=90°，所以△BGN為等腰直角三角形，故∠BPM=∠GBN=45°.

圖形變換法二：旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換通常有兩種構(gòu)建策略：一是旋轉(zhuǎn)全等，即使得旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形為全等關(guān)系;二是旋轉(zhuǎn)相似，即旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形為相似關(guān)系，也可視為是“旋轉(zhuǎn)+放縮”兩個(gè)過程的結(jié)合.

例2 如圖5所示，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)P是正方形ABCD外的一點(diǎn)，已知PA=3，PB=4，試求PC的最大值.

解析 該問題求線段PC的最大值，涉及了幾何動(dòng)點(diǎn)，而與點(diǎn)P相關(guān)的線段PA和PB為定值，顯然限制了點(diǎn)P的移動(dòng)，問題解析需要串聯(lián)點(diǎn)P與正方形特性，故可考慮使用幾何旋轉(zhuǎn)法.

圖形變換法三：翻折變換

利用翻折同樣可以實(shí)現(xiàn)幾何條件的轉(zhuǎn)換. 利用翻折作輔助線解題時(shí)，不能簡單地說是圖形翻折得到圖形，而應(yīng)從軸對稱視角來分析. 該方法適用于涉及角平分線、等角或半角的問題，同時(shí)該方法常與“將軍飲馬模型”配合使用求線段最值.

例3 如圖7所示，線段AC和BD位于AB的同側(cè)，已知AC=2，BD=AB=8，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，如果∠CMD=120°，則CD的最大值為______.

解析 本題求CD的最大值，可通過翻折變換來串聯(lián)條件，從構(gòu)造視角來看是軸對稱變換，具體如下.

作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于DM的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，如圖7所示. 可將△A′CM視為是△ACM沿著CM翻折所得，△B′DM視為是△BDM沿著DM翻折所得. 由于∠CMD=120°，可證∠A′MB′=∠CMD-（∠CMA′+∠DMB′）=60°. 由于點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，故AM=BM=4，進(jìn)而可知A′M=B′M=4，從而可證△A′MB′為等邊三角形. 由三角形的三邊關(guān)系可得CD≤CA′+A′B′+B′D=14，所以CD的最大值為14.

評析 上述利用名義上的翻折來作輔助線，即作點(diǎn)關(guān)于線段的對稱點(diǎn)，形成對稱圖形，將線段條件串聯(lián). 翻折變換與平移、旋轉(zhuǎn)變換法的構(gòu)建策略一致，均是在保留原有圖形的特性基礎(chǔ)上聚集條件，等量轉(zhuǎn)化思想是方法的本質(zhì).

教學(xué)建議

圖形變換法是破解幾何問題的重要方法，下面開展教學(xué)反思，提出幾點(diǎn)建議.

1. 理解方法內(nèi)涵，挖掘方法本質(zhì)

圖形變換是外在表現(xiàn)的動(dòng)態(tài)形式，其中還隱含了數(shù)學(xué)內(nèi)涵. 探究教學(xué)時(shí)建議分兩階段進(jìn)行：第一階段，開展圖形變換構(gòu)圖教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生把握圖形變換的要素，如旋轉(zhuǎn)變換中的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度;第二階段，開展圖形變換內(nèi)涵探究，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)原理角度來分析，如翻折變換中的軸對稱變化、旋轉(zhuǎn)變換中的全等或相似等.

2. 關(guān)注變換模型，總結(jié)模型特性

圖形變換法解題往往分兩步進(jìn)行：第一步實(shí)施圖形變換，構(gòu)建特殊模型;第二步，利用模型特性轉(zhuǎn)化或串聯(lián)條件. 在實(shí)際教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)與圖形變換聯(lián)系緊密的圖形，如平移變換與“一線三等角”模型，旋轉(zhuǎn)變換與“手拉手”模型，翻折變換與“將軍飲馬”模型等. 同時(shí)總結(jié)模型特性，讓學(xué)生掌握模型結(jié)論，形成相應(yīng)的解題策略.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升綜合素養(yǎng)

利用圖形變換法可串聯(lián)幾何條件，實(shí)現(xiàn)幾何問題的高效求解，而變換法背后隱含的卻是數(shù)學(xué)的思想方法，如模型思想、等量轉(zhuǎn)化思想等. 實(shí)際教學(xué)時(shí)建議立足數(shù)學(xué)思想，開展思路構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生分析圖形變換的方法技巧，探索轉(zhuǎn)換條件的思路，同時(shí)拓展學(xué)生思維，從不同方法和視角來探索問題，促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)提升.

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