薛麗萍

[摘? 要] 關(guān)注幾何模型，利用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，是破解幾何題的重要策略，同樣適用于幾何探究題. 探究型問題往往側(cè)重于考查知識探究、思路構(gòu)建的過程. 實際解析時要關(guān)注圖像特征，合理類比，充分利用模型特性. 文章以一道幾何探究題為例開展解題探究，并深入反思.

[關(guān)鍵詞] 幾何;三垂直;模型;結(jié)論;相似三角形

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要知識模塊，幾何問題中常融合模型探究的幾何結(jié)論，因此掌握模型特點，活用模型特性，有助于獲得解題思路. 下面以一道幾何探究題為例，深入分析破題過程.

問題探究

【應(yīng)用嘗試】 在“問題初探”的基礎(chǔ)上作圖，過點B作AD的垂線，與AD的交點設(shè)為G，與AC的交點設(shè)為F，如圖2所示，試證明AE2=AF·AC.

【創(chuàng)新拓展】 對“應(yīng)用嘗試”中的等腰直角三角形進行修改，如圖3所示，∠BAC=90°，∠ABC=30°，其他條件不變，試探究AE，AF，AC三條線段之間的關(guān)系.

【極限挑戰(zhàn)】 將“創(chuàng)新拓展”中的直角三角形改為∠BAC=90°，其他條件不變，如圖4所示，再次探究AE，AF，AC三條線段之間的關(guān)系.

解析突破

上述是一道幾何探究題，按照“問題初探→應(yīng)用嘗試→創(chuàng)新拓展→極限挑戰(zhàn)”設(shè)計四個環(huán)節(jié)的問題，旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)應(yīng)用、拓展探究，拓寬解題思路，促進學(xué)生思維的發(fā)展. 下面逐問探究.

1. 初步探究

“問題初探”環(huán)節(jié)設(shè)定△ABC并交叉連線，整體來看，是三角形內(nèi)的交叉圖形，線段比值所涉兩條線段均未知，可利用平行線分線段成比例定理，結(jié)合“A字形”“8字形”相似模型來轉(zhuǎn)化. 本問題屬于基礎(chǔ)問題，構(gòu)造平行線的方法較為多樣，下面舉例探究.

評析 上述呈現(xiàn)的兩種解法的核心思想是一致的，即通過作平行線，利用平行線分線段成比例來轉(zhuǎn)化線段關(guān)系. 解法1和解法2中所構(gòu)造的“A字形“和”8字形“相似模型是線段比例關(guān)系轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ). 實際解析時需要注意兩點：一是合理選取平行對象，盡量不去截取問題所涉線段;二是合理利用相似模型來轉(zhuǎn)化線段比例關(guān)系.

2. 應(yīng)用嘗試

“應(yīng)用嘗試”環(huán)節(jié)是在上一問基礎(chǔ)上的進一步探究應(yīng)用，即在原圖上作了垂線，需要求證線段關(guān)系. 根據(jù)結(jié)論的形式可知需要借助相似三角形的性質(zhì). 已知△ABC為等腰直角三角形，AE∶AC=1∶2，BF⊥AD，可見與矩形內(nèi)的十字架結(jié)構(gòu)相關(guān)，可構(gòu)造“三垂直”模型來轉(zhuǎn)化條件，具體如下.

過點C作AC的垂線，設(shè)與AD的延長線交于點H. 已知AB=AC，可證△BAF≌△ACH（“三垂直”模型），△PAE∽△PHC（“8字形”相似模型）. 由“問題初探”可知EP∶CP=2∶1，所以AE∶HC=2∶1. 可設(shè)CH=a，則AF=a，AE=2a，可推知AB=AC=4a，則（2a）2=a·4a，所以AE2=AF·AC，得證.

評析 在圖中構(gòu)造“三垂直”模型是突破的關(guān)鍵，題中圖形結(jié)構(gòu)較為抽象，不容易發(fā)現(xiàn)模型，此時就可以將Rt△ABC補全，構(gòu)建相應(yīng)的正方形，如圖7所示. 很明顯，題干的核心條件“BF⊥AD”使得正方形中呈現(xiàn)出“三垂直”全等模型，因此解題探究要注重補形思想的培養(yǎng).

3. 創(chuàng)新拓展

“創(chuàng)新拓展”環(huán)節(jié)是從幾何視角進行的拓展創(chuàng)新，再次探究AE，AF，AC三條線段之間的關(guān)系，同樣可將其放置在相應(yīng)的三角形中，利用本題的主題“相似轉(zhuǎn)化”來進行突破，作圖解法過程如下.

評析 本環(huán)節(jié)突破的關(guān)鍵同樣是構(gòu)造“三垂直”模型，利用模型來推導(dǎo)相似三角形. 與前兩個環(huán)節(jié)關(guān)聯(lián)思考可知，問題解析有兩大策略：一是過頂點C作AB的平行線來構(gòu)造“三垂直”模型，二是利用相似性質(zhì)探索線段關(guān)系. 這也是突破該題的核心策略，后續(xù)探究可直接從模型構(gòu)造、相似轉(zhuǎn)化的視角進行思考.

4. 極限挑戰(zhàn)

該環(huán)節(jié)進一步對題干信息進行了修改，刪去了“創(chuàng)新拓展”中的“∠ABC=30°”，則△ABC不再是含有30°角的直角三角形，故無法從三角形的邊長比例關(guān)系來突破，問題更具有一般性. 此時可同樣猜想AE，AF，AC三條線段具有“AE2=AF·AC”的關(guān)系. 探索問題本質(zhì)可知，實際上該環(huán)節(jié)是探究直角三角形的銳角對線段比例結(jié)論的影響. 問題突破沿用上述的“模型構(gòu)造，相似轉(zhuǎn)化”策略，過程如下.

評析 上述“極限挑戰(zhàn)”環(huán)節(jié)的三角形更具一般性，回歸幾何本身，解析的方法思路是一致的，即可通過構(gòu)造“三垂直”模型，利用相似性質(zhì)來證明線段比例結(jié)論. 對于Rt△ABC，由于∠BAC=90°，結(jié)合圓周角定理的推論可知點A在以BC為直徑的圓上.

解后反思

上述對一道幾何探究題進行了解析突破，探究題共分四個環(huán)節(jié)，設(shè)置了四問，問題所涉知識點、方法的內(nèi)涵豐富，所呈現(xiàn)的四個環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的探究精髓. 問題圖像立足數(shù)學(xué)模型，但不局限于模型，解析過程突破了定式思維，對結(jié)論進行了一般化拓展. 下面深入反思.

1. 關(guān)于問題的模型思考

問題突破的核心是幾何模型，包括“三垂直”模型和“A字形”相似模型、“8字形”相似模型. 其中“三垂直”模型為兩個直角三角形的一組頂點對接，一組邊共線，形成了相夾三角形，從而出現(xiàn)三個直角三角形，且互為相似關(guān)系. 若三角形中存在一組對應(yīng)邊相等，則可形成“三全等模型”. “A字形”和“8字形”相似模型是基于位置關(guān)系生成的模型，其中“A字形”從整體上可視為兩個三角形的套疊，而“8字形”則是對頂角對接. 探究學(xué)習(xí)需要關(guān)注模型特點，總結(jié)模型特征，掌握模型的識別方法.

2. 關(guān)于問題的思路分析

上述探究線段的乘積關(guān)系可歸為線段關(guān)系問題，是幾何探究的常見問題形式，解析時充分利用相似模型的邊長比例關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化. 實際上幾何線段關(guān)系問題的類型較為多樣，還存在線段和差關(guān)系、線段倍分關(guān)系、線段乘方和關(guān)系等，問題解析要從幾何定理入手，結(jié)合結(jié)論的形式來逐步轉(zhuǎn)化突破. 以線段和差關(guān)系問題為例，“全等轉(zhuǎn)化”是解析的基本思想，常采用“截長補短”的策略;對于線段倍分關(guān)系問題，其本質(zhì)是比例線段問題，可通過探究三角形的相似比或全等關(guān)系來解決;而線段乘方和關(guān)系問題，從結(jié)論形式來看顯然要立足勾股定理，故需要構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形之間的關(guān)系來轉(zhuǎn)化構(gòu)建.

3. 關(guān)于問題的命題構(gòu)建思考

幾何探究題最顯著的特點是側(cè)重“探究”，問題設(shè)置層層遞進，逐步深入，體現(xiàn)出知識探究的全過程. 教學(xué)探究題的精髓在于引導(dǎo)學(xué)生由“特殊”到“一般”，逐步向數(shù)學(xué)本質(zhì)靠近. 以本問題為例，其核心結(jié)論是三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，圖形由“特殊”的直角三角形，逐步過渡到“一般”的銳角三角形，深刻反映出三條線段的數(shù)量關(guān)系與直角三角形的內(nèi)角無關(guān). 從解題過程來看，可將其視為是關(guān)于解題思路的類比探究，即通過構(gòu)造“三垂直”模型，利用相似轉(zhuǎn)化來證明. 而類比型探究題還包括模型類比、結(jié)論類比、建模類比等，實際探究時要充分把握問題的前后關(guān)聯(lián)，思考可類比的內(nèi)容，簡化解題思路，同時注意總結(jié)思考，生成數(shù)學(xué)解題的基本策略.

寫在最后

幾何探究題具有極高的研究價值，不僅體現(xiàn)在問題的作圖方法、構(gòu)建思路，問題的轉(zhuǎn)化思想、破題策略對于后續(xù)解題探究也有極大的幫助. 而在解題教學(xué)中，教師要注重研究幾何模型，提煉核心思想，合理類比探究，幫助學(xué)生形成對應(yīng)的解題策略.

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