方艷燕

[摘 要]數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，一些重要概念都是?jīng)過幾代數(shù)學(xué)家審定和歷史考驗(yàn)留下的精華，不容隨意更改。但是，數(shù)學(xué)又是靈活機(jī)動的，變化萬千，可以在不違背數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律的基礎(chǔ)上提出一些新概念，以提升課堂教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);概念;自創(chuàng)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0032-02

偶然讀到一篇數(shù)學(xué)教研論文，題為《老師，請不要“自創(chuàng)”概念——從“把分子通分”說起》，文中闡述了三種觀點(diǎn)。1.“把分子通分成一樣再比較大小”這種說法是錯誤的;2.在《初等數(shù)學(xué)辭典》及《中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊》中關(guān)于通分概念的表述完全一致，即運(yùn)用擴(kuò)分的方式，把分母不相同的幾個分?jǐn)?shù)化成分別和原來的各個分?jǐn)?shù)相等并且各分?jǐn)?shù)的分母又彼此相同的分?jǐn)?shù)，這種幾個分?jǐn)?shù)的等值變形過程叫作通分;3.通分還有一種基本定義：把甲數(shù)與乙數(shù)之比、乙數(shù)與丙數(shù)之比，這兩個不同的比，化成甲與乙與丙之比，也叫作通分。如果通分只限于對分母“動手術(shù)”的話，那么第3點(diǎn)就應(yīng)該無法成立;如果第3點(diǎn)可以成立，通分的概念就必須拓展，即“幾個分?jǐn)?shù)的等值變形過程”。按照這種表述，對分子進(jìn)行通分也是通分，為何要區(qū)別對待，厚此薄彼呢？追根溯源，它們都是靈活應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

一、打破現(xiàn)成概念的壁壘

人們常說數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，主要指推理邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)。殊不知，數(shù)學(xué)也有另一面——靈活機(jī)動，數(shù)學(xué)的機(jī)動性滲透到各個學(xué)科，生活的方方面面，這種機(jī)動性給數(shù)學(xué)帶來了頑強(qiáng)的生命力。乘法分配律在四年級課本中是這樣記述的：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們分別與第三個數(shù)相乘，再相加。課堂練習(xí)中，要求學(xué)生類推到（a-b）×c=a×c-b×c，如果學(xué)生已經(jīng)學(xué)過負(fù)數(shù)，這樣類推并無不妥，但仔細(xì)考證，四年級的學(xué)生還沒學(xué)負(fù)數(shù)，這樣類推毫無嚴(yán)密性可言。如果這樣的推廣都可以作數(shù)，那么對分子通分這樣學(xué)生自我探究得出的結(jié)論，為什么又不能作數(shù)呢？

數(shù)學(xué)是全人類的數(shù)學(xué)，不是數(shù)學(xué)家、教育家的專屬品，任何一個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人，不分職業(yè)、國度、種族和宗教信仰，都有研習(xí)數(shù)學(xué)的權(quán)利，更何況是數(shù)學(xué)教師。有人曾說過：“教師，尤其是數(shù)學(xué)教師，不能止步于書中既定的概念，也不能止步于教材上框定的概念。這些現(xiàn)成的概念只是一種‘演習(xí)彈，是用來練膽、練手的。學(xué)生通過學(xué)習(xí)這些概念，能夠掌握一些概念學(xué)習(xí)的基本方式和流程，于是，結(jié)合學(xué)習(xí)概念的經(jīng)驗(yàn)和心得，根據(jù)自己的觀察思考總結(jié)出一些全新的概念，并嘗試著描述這些概念?！边@樣的數(shù)學(xué)教育才是科學(xué)的。數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展變化的，正是一些數(shù)學(xué)研究者前赴后繼、不遺余力地創(chuàng)造數(shù)學(xué)新概念，才推動了數(shù)學(xué)的繁盛與興旺。

二、自創(chuàng)概念不是無本之木

教師自創(chuàng)的概念不是“無中生有”，不是“閉門造車”，而是在教學(xué)中結(jié)合學(xué)情，揭露事物本質(zhì)，適時創(chuàng)造的，以培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)精神。在教學(xué)中，我們常常會根據(jù)概念的性質(zhì)歸納出一些詩歌或口訣輔助理解和記憶。如畫圓的步驟，可以這樣歸納：一定，二定，三旋轉(zhuǎn)。又如量角的方法可以濃縮為：點(diǎn)對點(diǎn)，邊對邊，刻度要看另一邊。對于一些題目，如果課本提供的方法較為復(fù)雜，教師還需要結(jié)合學(xué)生的知識基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化，找出簡易解法。如蘇教版教材第八冊第9頁有這樣一道思考題：

用1、2、3、4、5這五個數(shù)字分別組成一個兩位數(shù)和一個三位數(shù)。要使乘積最大，應(yīng)該是哪兩個數(shù)？要使乘積最小呢？換五個數(shù)字再試一試。

要使乘積最大，就應(yīng)該盡量使兩個乘數(shù)達(dá)到最大值，那么就得在它們各自的最高位上安排數(shù)字4和5，然后再來考慮三位數(shù)十位上的數(shù)字的安排，優(yōu)選3或2?？紤]到與兩位數(shù)最高位的乘積對總乘積的影響，3×5>3×4，2×5>2×4，兩位數(shù)的十位上應(yīng)該是5，如此一來，三位數(shù)的百位上只能是4?？紤]到三位數(shù)前兩位與兩位數(shù)最高位的乘積對總乘積的影響，43×5>42×5，三位數(shù)的十位上應(yīng)是3。稍作調(diào)試，可以得出使乘積最大的兩個數(shù)是431和52。而要使乘積最小，兩個乘數(shù)最高位上應(yīng)優(yōu)先考慮選擇數(shù)字1和2，三位數(shù)的十位上只能選擇稍大的數(shù)字3或4。通過反復(fù)調(diào)試，也可以得出使乘積最小的兩個數(shù)是245和13。這些答案需要學(xué)生反復(fù)調(diào)試和修正，多次計(jì)算才能得出，如果換了數(shù)字，又得重新調(diào)試，即使摸索出規(guī)律也很難記住。教師可以這樣引導(dǎo)：“設(shè)5個數(shù)從小到大依次排列為A、B、C、D、E。積最大時，配置應(yīng)該是DCA和EB;積最小時，配置應(yīng)該是BDE和AC。”在學(xué)生嘗試推出結(jié)果前，筆者透露可以用減法解答。

呈現(xiàn)三年級的一道題目：用16根長為1分米的竹條圍一個長方形，有幾種圍法？

在比較中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長方形周長一定時，長和寬越接近，所圍成的長方形面積越大;反之，長和寬相差越大，二者的乘積越小，所圍成的長方形面積越小。學(xué)生總結(jié)出：兩數(shù)和一定，差越大積越小，差越小積越大。應(yīng)用這一規(guī)律來探尋兩數(shù)的最大積和最小積時就會事半功倍：確定三位數(shù)的前兩位和兩位數(shù)時，只要在數(shù)值大的四個數(shù)字中選擇三個安排就位，就能讓差最小，調(diào)試最后的個位數(shù)，就易如反掌。在探求最小積時，只要把三位數(shù)的前兩位和兩位數(shù)，從最小的四個數(shù)字中選三個安排妥當(dāng)，最大差值就能確立，再調(diào)整最后的個位數(shù)。如53與42，52與43，53+42=52+43，52-43<53-42，因此，52×43>53×42。這時只要調(diào)試521與43、52與431的積，找到大的。又如13與24，14與23，兩組數(shù)的和相等，13與24的差大一些，那么積就小一些。接著確定個位數(shù)，選擇配置135與24或者13與245的積，找到小的。

在配置個位數(shù)時，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：最后的最大的數(shù)字5連在大數(shù)后面，積反而變小了。因此，只要確定了兩個數(shù)的前兩位分別是13與24，那么這兩個數(shù)最終就為13與245。這樣教學(xué)不但將解題方法簡化，而且讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)方法的靈動性。

三、自帶規(guī)律要一查究竟

有一些題目本身就帶有明顯規(guī)律，課本雖未明言，但教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)。如蘇教版教材第八冊第34頁第6題：

居民區(qū)有一塊由三個大小不同的等邊三角形組成的花園（如下圖）。從A地到B地，走哪條路最近？圖中哪兩條路一樣長？為什么？

教師參考用書中用計(jì)算來說明紅、藍(lán)兩條路線長度相等：2個40加上2個20就等于2個60。在比較之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生將兩個紅色三角形變?yōu)檫呴L分別為10米、30米、20米的三個等邊三角形，再與大等邊三角形對比，學(xué)生歸納出：不管把藍(lán)色三角形沿著一條邊變?yōu)閹讉€小等邊三角形，像圖中這樣設(shè)計(jì)，大三角形周長始終等于若干個小三角形周長的總和。

又如蘇教版教材第七冊第101頁第3題：

先用計(jì)算器算出下面各題的積，再找一找有什么規(guī)律。

142857×1=? ? ? 142857×2=? ? ? ? ? 142857×3=

142857×4=?? ?142857×5=? 142857×6=

習(xí)題的本意是先求積，再查探規(guī)律。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“馬燈數(shù)”的奇趣后，筆者順勢追問：“142857從1乘到6存在這樣的規(guī)律，那么乘7或7之后的數(shù)字還能有這種規(guī)律嗎？”學(xué)生計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，142857×7=999999，規(guī)律延續(xù)到數(shù)字7就中斷了。學(xué)生充滿了疑惑：“難不成這個規(guī)律與7犯沖嗎？”筆者因勢利導(dǎo)：“跟7到底有什么關(guān)系？可以一探究竟，用1～6這6個數(shù)字除以7試一試?！睂W(xué)生得出：

1÷7=0.142857142…

2÷7=0.285714285…

3÷7=0.428571428…

4÷7=0.571428571…

5÷7=0.714285714…

6÷7=0.857142857…

7÷7=1

原來商中的“142857”來頭不小，竟然和1除以7的商有關(guān)聯(lián)。雖然循環(huán)小數(shù)沒有涉足，但借助計(jì)算器可以查明“142857”的原委。

欲速則不達(dá)。放慢節(jié)奏、扣住數(shù)學(xué)本質(zhì)，才可以創(chuàng)造性教學(xué)、創(chuàng)新教法，與學(xué)生一道在題目中含英咀華，感受數(shù)學(xué)的神奇，在創(chuàng)造概念中，讓學(xué)生獲得探索數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 吳謙彪.運(yùn)用動態(tài)教學(xué)策略，優(yōu)化幾何概念學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（13）.

[2] 平國強(qiáng).分析概念結(jié)構(gòu)? 促進(jìn)有效建構(gòu)[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2012（04）.

[3] 林忠.讓學(xué)生靈活建構(gòu)數(shù)學(xué)概念[J].江蘇教育，2007（18）.

（責(zé)編 吳美玲）