張連英

摘 要：在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，均值定理是一項(xiàng)工具性知識內(nèi)容。同時不少學(xué)生在學(xué)習(xí)均值定理的過程中，對均值定理沒有深刻的理解，不能正確的應(yīng)用均值定理解決問題，不能熟練的靈活的運(yùn)用均值定理。在這樣的背景下，做為一名高中的數(shù)學(xué)老師，要深刻的認(rèn)識到均值定理的廣泛用處，了解到均值定理在高中數(shù)學(xué)中的重要作用。所以教師在日常的教學(xué)過程中，要注意向?qū)W生展示均值定理在解決問題方面的的突出特點(diǎn)，幫助學(xué)生加深對均值定理的理解。本文就高中數(shù)學(xué)均值定理及其應(yīng)用探討展開討論。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);均值定理;應(yīng)用

高中階段的均值定理在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，是一個比較難以理解的知識點(diǎn)。因?yàn)楦咧猩拥牧?xí)慣于叫算出準(zhǔn)確的結(jié)果，對于均值定理這樣的不等式表達(dá)方式?jīng)]有明確的認(rèn)識。學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候?qū)刀ɡ聿粔蛑匾?，在解題的過程中就不會有有效的練習(xí)。在高中階段的學(xué)習(xí)過程中，有很多部分的習(xí)題都可以利用均值定理進(jìn)行解答，就算不能利用均值定理解出正確的答案，也可以對解決問題提供一定的幫助。做為一名高中的數(shù)學(xué)老師，要幫助學(xué)生建立起對均值定理的正確理解，讓學(xué)生了解到均值定理的廣泛應(yīng)用，幫助學(xué)生提高解題的效率，提高學(xué)生成績。

1、均值定理的內(nèi)容

均值定理是建立在均值不等式的只是基礎(chǔ)上的一個工具性定理，要想對均值定理的的內(nèi)容有所了解，就要掌握好不等式的相關(guān)知識。但是對于高中生來說，基礎(chǔ)的不等式知識是比較簡單的，學(xué)生也更容易掌握。但是學(xué)生對于均值定理的理解是有些困難的。對于均值定理的內(nèi)容（a+b）/2>=（ab）1/2來說，是由于一定的使用條件的，教師在教學(xué)的過程中要著重強(qiáng)調(diào)均值定理的使用條件。對于這樣的均值定理來說，其中的a、b都要求是正數(shù)，而且當(dāng)且僅當(dāng)a=b的時候，才能取到等于號。而對于的均值定理的變式a2+b2>=2ab來說，僅僅是要求a、b屬于實(shí)數(shù)即可。同時在教材里把（a+b）/2定義為算數(shù)平均數(shù)，把（ab）1/2稱為a、b的幾何平均數(shù)，所以也可以把均值定理表述成兩個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。在高中的教學(xué)階段中， 教師要非常注意到對于均值不等式的條件的講解，在日常的應(yīng)用過程中，也要注意到對應(yīng)用條件的講解與推導(dǎo)。均值定理在高中階段的解題過程中，有著非常重要的應(yīng)用。在解決一些不等式問題、導(dǎo)數(shù)問題、函數(shù)問題以及一些比較特殊的選擇填空問題的時候，都有著非常重要的應(yīng)用。有效的利用均值定理進(jìn)行解題，在一些特殊的問題里，可以更準(zhǔn)確的、更快速的得出正確的答案。均值定理的應(yīng)用是非常廣泛，特別是利用均值定理的特殊條件，可以有效的解決選擇、填空中的最值問題。所以老師要注意均值定理的講解，幫助學(xué)生有效的理解均值定理，靈活的應(yīng)用的均值定理，提高做題的效率，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成就。

2、均值定理的有效應(yīng)用

2.1深刻理解均值定理

想要有效的應(yīng)用對均值定理，首先就要對均值定理有一定的理解。對于學(xué)生來說不僅要記住均值定理的內(nèi)容和適用條件，還要對均值定理的內(nèi)容有一定的理解。應(yīng)用是要建立在一定的理解上，對知識的理解的越深刻，對知識的利用就越靈活，在這樣的條件中，學(xué)生才能提高成績。對于教師來說，就要注意在上課的過程中，對均值定理進(jìn)行有效的講解，幫助學(xué)生加深對均值定理的理解。老師在講解的過程中，要注意與之前的知識相聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)，還要利用各種方法提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時要讓學(xué)生認(rèn)識到均值定理的重要作用。

例如在人教版教材中第二章2.2節(jié)《基本不等式》的講解過程中，就要利用各種有效的教學(xué)方法，幫助學(xué)生深刻的理解均值定理。在上課的時候，教師可以先利用多媒體技術(shù)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)一下不等式的知識點(diǎn)，幫助學(xué)生鞏固好基礎(chǔ)。然后教師就要結(jié)合教材的內(nèi)容，給出均值不等式，讓學(xué)生利用不等式的知識加以證明。這個知識的證明比較簡單，基本上所有學(xué)生都可以完成。然后就要向?qū)W生明確基本不等式的使用條件。幫助學(xué)生加深對均值不等式的理解。然后教師可以利用反證法在黑板上板書證明均值不等式的應(yīng)用條件，加深學(xué)生的記憶。之后就要結(jié)合幾何圖形幫助學(xué)生理解均值不等式的幾何意義。教師在黑板上畫個圓，找出圓心，做直徑，做出垂直于直徑的一條弦。讓學(xué)生思考，如何用這個圖形證明基本不等式。學(xué)習(xí)比較好，觀察能力比較強(qiáng)的學(xué)生就可以發(fā)現(xiàn)均值定理的幾何解釋，即半徑不小于半弦長，僅當(dāng)半弦通過圓心是二者相等。這樣的教學(xué)過程就可以讓學(xué)生清晰的感受到均值定理的內(nèi)容和使用條件，對學(xué)生深刻的理解均值定理有很大的幫助。

2.2利用均值的定理解決最值問題

最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題，是具有一定難度的問題。均值定理最基本的也是最常見的應(yīng)用就是解決最值問題。根據(jù)均值定理的內(nèi)容可以知道，當(dāng)幾個正數(shù)的和為定值的時候，它們的積就可以利用均值定理取得最值，同樣如果積是定值也可以利用均值定理取得最值。當(dāng)然在高中的教學(xué)背景下，數(shù)學(xué)題目的設(shè)計(jì)有簡單的也有困難的，對學(xué)生能力考察也是比較全面的。所以作為一名高中的數(shù)學(xué)老師，想要讓學(xué)生在考試中能夠正確的使用均值定理，不僅要幫助學(xué)生打好不等式的基礎(chǔ)，還要讓學(xué)生對均值定理有更加深刻的理解，真正的做到靈活的運(yùn)用均值定理。

例如教師在設(shè)計(jì)練習(xí)題的時候，紀(jì)要注意到均值定理這一方面的應(yīng)用?？梢栽O(shè)置一些簡單的應(yīng)用幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，設(shè)置一個到兩個有難度的幫助學(xué)生拓寬思維。教師在上課的時候?qū)τ诶}的選擇是非常重要的，如果選擇一些過于簡單的習(xí)題作為例題，不能突出均值定理的優(yōu)點(diǎn)，學(xué)生對均值定理的內(nèi)容就不能明確的認(rèn)識。如果選擇的題目太難，對于剛學(xué)習(xí)到均值定理的學(xué)生來說又難以理解，打擊學(xué)生的自信心。所以例題的選擇是非常重要的。像a>b>0，求a2+16/b（a-b）的最小值，這樣的題目已知條件里明確的滿足了均值不等式的使用條件，有助于學(xué)生把解題思路放在均值定理上，學(xué)生在解題的時候只需要對題目的結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危涂梢园l(fā)現(xiàn)利用均值定理解決問題的方法，得出24的正確答案，利用均值定理解決最值問題是每個學(xué)生都應(yīng)該掌握的。

2.3利用均值定理解決證明問題

利用均值定理不等式的形式，可以用來對一些不等式的證明，但是在證明不等式成立的時候，需要注意到均值定理的使用條件，即都是正數(shù)而且和或者乘積為定值，才可以可利用均值不等式解決證明問題。老師在講解均值定理的時候，就要向?qū)W生介紹這一方面的內(nèi)容。雖然這種證明不是高考考察的重點(diǎn)，但是它也在均值定理的考察范圍內(nèi)，對于高考的準(zhǔn)備不能有半點(diǎn)的僥幸心理。同時對于這類應(yīng)用的掌握，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性的思維，會在學(xué)生學(xué)習(xí)其他的內(nèi)容是提供一定的幫助，有利于學(xué)生成績的提高。

例如在教學(xué)的過程中，老師就可以設(shè)置一些不等式證明的題目，用來給學(xué)生講解均值定理在證明上的應(yīng)用。老師在上課的時候就可以板書題目：已知X1X2.......Xn=1，且X1X2......XN均大于零，求證（1+X1）（1+X2）......（1+Xn）>=2n，這樣的題目就就可以利用均值定理進(jìn)行求解。然后讓學(xué)生短暫的思考一下，然后老師就可以提問學(xué)生：“大家有什么解題思路嗎”然后叫幾個學(xué)生回答，然后老師就要給出正確的解答思路，告訴學(xué)生們要利用均值定理進(jìn)行解答，并提醒學(xué)生在解答時應(yīng)該注意到的一些問題。然后給學(xué)生一些時間，讓學(xué)生進(jìn)行解題，老師在這個時候就要觀察學(xué)生的答題狀態(tài)，適當(dāng)?shù)恼{(diào)整自己的教學(xué)計(jì)劃。在班級里的大部分的學(xué)生讀出結(jié)果后，教師就要在黑板上講解這道題，幫助學(xué)生加深理解。然后還要留幾個練習(xí)題幫助學(xué)生鞏固知識，加深記憶。

2.4利用均值定理解決函數(shù)問題

函數(shù)問題是高中階段非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，難度相較于其他的學(xué)習(xí)內(nèi)容來說也是比較難的，想要解答這類問題需要學(xué)生有較強(qiáng)的基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維。利用基礎(chǔ)的均值定理可以有效的幫助學(xué)生解決一部分的函數(shù)問題。均值定理在函數(shù)問題中的應(yīng)用還是比較常見的，而且一般來說難度不大，大部分的學(xué)生都可以拿到這部分的分?jǐn)?shù)。因?yàn)楹瘮?shù)的題型靈活多變，就需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維與扎實(shí)的基礎(chǔ)知識。在日常的教學(xué)活動中就需要加強(qiáng)對學(xué)生基礎(chǔ)的練習(xí)。

例如在進(jìn)行這一部分的復(fù)習(xí)的時候，就要從基礎(chǔ)抓起。在三角函數(shù)問題中，均值定理有著非常廣泛的應(yīng)用，所以利用均值定理解決三角函數(shù)問題就是教學(xué)的重點(diǎn)之一，同時也是高考考察的重點(diǎn)。用傳統(tǒng)的方法解決三角函數(shù)的問題，過程繁瑣，需要多次的頻繁的利用三角公式進(jìn)行變換，學(xué)生在解題的過程中非常容易出錯，然而如果利用均值定理解答就會變得簡單很多。不僅會節(jié)約學(xué)生大量的時間，還會提高學(xué)生的準(zhǔn)確性，可以有效的提高學(xué)生的考試成績。

結(jié)束語

在高中階段的均值定理是一個非常重要的內(nèi)容，不僅在高考中占據(jù)著很重要的地位，而且在利用均值不等式解決問題的過程中，還擴(kuò)寬了學(xué)生的解題思路，而且均值定理與其他的知識也有很密切的聯(lián)系，可以幫助學(xué)生加深對其他知識的理解。幫助學(xué)生找到了新的解題方法，有利于學(xué)生在高考中取得更好的成績。

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