殷美喬

摘 要：初中幾何求最值問(wèn)題是比較常見(jiàn)的題型，基于課堂教學(xué)的有效性，本文針對(duì)初三中考復(fù)習(xí)時(shí)如何在自己的課堂教學(xué)中深挖“兩點(diǎn)之間，線段最短”的基本事實(shí)求，通過(guò)利用旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱和三角函數(shù)等來(lái)轉(zhuǎn)化求最小值問(wèn)題的題型分析，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)之目的。本文對(duì)初三中考復(fù)習(xí)時(shí)如何在自己的課堂教學(xué)中深挖“兩點(diǎn)之間，線段最短”的基本事實(shí)求最小值的題型分析，請(qǐng)各位同行和專家不吝賜教。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);最值;將軍飲馬;核心知識(shí)

初中幾何的最值問(wèn)題一直以來(lái)都是各地中考的熱門考點(diǎn)和難點(diǎn)，最值問(wèn)題往往會(huì)涉及到動(dòng)點(diǎn)、軌跡，又可以結(jié)合函數(shù)和幾何圖形，問(wèn)題錯(cuò)綜復(fù)雜，學(xué)生處理起來(lái)難度很大。“兩點(diǎn)之間，線段最短”是初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中界定的九大基本事實(shí)之一[1]，這個(gè)看似最簡(jiǎn)單，最清楚不過(guò)的數(shù)學(xué)原理，往往是部分初中幾何求最值問(wèn)題的一個(gè)重要的依托點(diǎn)和核心知識(shí)的來(lái)源。把握核心知識(shí)，汲取源頭活水，讓學(xué)生游刃有余的解決此類問(wèn)題。

一、課本出發(fā)

1.初識(shí)“將軍飲馬”

浙教版教科書(shū)七年級(jí)上冊(cè)P149頁(yè)第六章《圖形的初步認(rèn)識(shí)》6.3《線段的長(zhǎng)短比較》這一節(jié)中學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)基本事實(shí)。

浙教版教科書(shū)八年級(jí)上冊(cè)P5頁(yè)第一章《三角形初步知識(shí)》1.1《認(rèn)識(shí)三角形》這一節(jié)中學(xué)習(xí)了“三角形兩邊之和大于第三邊”這個(gè)性質(zhì)。

浙教版教科書(shū)八年級(jí)上冊(cè)P50頁(yè)第二章《特殊三角形》2.1《圖形的軸對(duì)稱》中例2第一次提出了“將軍飲馬”的模型。

“三角形兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)是由“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中界定的九大基本事實(shí)之一直接得到的，兩者實(shí)際上完全相通的，學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱以后“將軍飲馬”的數(shù)學(xué)模型就順理成章了。

現(xiàn)在我們反過(guò)來(lái)思考“將軍飲馬”模型的建立的要點(diǎn)有二：首先要找到其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，即化同側(cè)為異側(cè);其次是三點(diǎn)共線運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決。圍繞核心知識(shí)點(diǎn)逐層深入，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研習(xí)教材，我們不難發(fā)現(xiàn)這其實(shí)也很清晰的提出一條幾何學(xué)習(xí)的思路和方法。要想做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵還在于多研習(xí)教材，拓展思維，并且對(duì)核心知識(shí)做到心領(lǐng)神會(huì)。

2.將軍二次飲馬

了解將軍飲馬的基本模型構(gòu)建，能在不同的背景比如三角形、四邊形、圓和坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)用，是為善也;如果能及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，將此模型加深拓展，根據(jù)不同情境和自身實(shí)際選擇調(diào)整解題方法和策略，則善莫大焉。作為初三的復(fù)習(xí)課，下面的題學(xué)生可能見(jiàn)過(guò)，但是是否與上面所講的知識(shí)點(diǎn)自己主動(dòng)聯(lián)系過(guò)呢，或者是否主動(dòng)將此類題歸類過(guò)呢？

例題：如下圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，且OP=3，點(diǎn)Q，R分別在OA，OB上，則?PQR的最小周長(zhǎng)是 ? ? ? ? ? ? ?.

解析：定角∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，OA、OB兩定邊類似兩河流，求?PQR的最小周長(zhǎng)，即將軍兩次河邊飲馬回營(yíng)總路程。由此，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P與P’’，如上圖：當(dāng)P、Q、R、P’’四點(diǎn)在一條直線上，即“兩點(diǎn)之間，線段最短”，有周長(zhǎng)最小。

反思：以上習(xí)題是將軍飲馬的變式，舉一而反三，化兩動(dòng)為兩靜?；旧隙嫁D(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，“兩點(diǎn)之間，線段最短”，只要對(duì)核心知識(shí)和關(guān)鍵的模型掌握好，學(xué)生應(yīng)該都不難想到解決問(wèn)題的辦法。

二、構(gòu)建相似

例題：【2019·臺(tái)州一?！咳缦聢D，在扇形O-CD中，∠COD=90°，OC=3，點(diǎn)A在OD上，AD=1，點(diǎn)B為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+2EB的最小值是________。

解析：該連接EO，得△OBE;延長(zhǎng)OC到F，使CO=CF，連接EF，得△OEF，易證△OBE∽△OEF，得EF=2EB，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，即“兩點(diǎn)之間線段最短”，AE+2EB有最小值.

反思：該題以扇形為背景，涉及到動(dòng)點(diǎn)，題目要求AE+2EB的最小值，即求a+kb，線段前面有系數(shù)，最容易想到的是相似，相似就是我們的“縮放尺”。那么，構(gòu)造相似三角形就是解決這類題目的關(guān)鍵了。找公共角，兩邊夾角，利用“母子相似”是比較常見(jiàn)的構(gòu)造法。順著這個(gè)思路，不難發(fā)現(xiàn)兩動(dòng)線之和為兩點(diǎn)定之間的距離。

三、巧用旋轉(zhuǎn)

例題：【2019·武漢】問(wèn)題背景：如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PA+PC=PE.

問(wèn)題解決：如圖2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=.點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是_________.

解析：將△MOG繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MED，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有OG=ED。又易知△MOE為等邊三角形，有MO=ME=OE。這樣點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和，就轉(zhuǎn)化為NO+OE+ED之和，“兩點(diǎn)之間，線段最短”，當(dāng)N、O、E、D四點(diǎn)共線時(shí)和最小。過(guò)D作DF⊥NM，交NM延長(zhǎng)線于F，通過(guò)勾股定理即可求得最小值為.

反思：以上習(xí)題一個(gè)以三角形為背景以旋轉(zhuǎn)為切入口或思維的發(fā)散點(diǎn)去思考，讓學(xué)生學(xué)以致用。如果我們平時(shí)的教學(xué)中貫徹了數(shù)學(xué)建模的思想，那么學(xué)生解決起來(lái)應(yīng)該也是方便的。此題在分析和講解的過(guò)程中還可以涉及到“費(fèi)馬點(diǎn)”這個(gè)概念，結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展史，與古人的思維碰撞，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共線，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求解。由此可見(jiàn)，只要對(duì)核心知識(shí)和關(guān)鍵的模型掌握好，學(xué)生應(yīng)該都不難想到解決問(wèn)題的辦法。

結(jié)束語(yǔ)

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家蘇歩青先生談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)時(shí)曾說(shuō)過(guò)：“在中學(xué)的數(shù)學(xué)課本里，一些基本的概念是逐步地被引導(dǎo)進(jìn)來(lái)的，既不要以為基本的概念很抽象，不易理解，就干脆把它放過(guò)去，又不要以為它很容易懂而不去深入理解。[2]”只有對(duì)基本概念（事實(shí)）的深入理解才能在遇到不同情境時(shí)能融會(huì)貫通?！皟牲c(diǎn)之間，線段最短”這一基本事實(shí)在初中幾何的各個(gè)階段學(xué)習(xí)中都有機(jī)的融合，成為部分求最值問(wèn)題的基本原理。從課本出發(fā)，精心設(shè)計(jì)每一個(gè)問(wèn)題，環(huán)環(huán)深入，揭露本質(zhì)，通過(guò)教師的步步引導(dǎo)，學(xué)生在細(xì)膩中見(jiàn)扎實(shí)，在體驗(yàn)中增素養(yǎng)。對(duì)稱、相似、旋轉(zhuǎn)等是方法是手段，是模型的來(lái)源，而基本事實(shí)則是問(wèn)題的本質(zhì)?？赐副举|(zhì)、掌握方法和手段，也就是遵循了認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，隨之而來(lái)的便是學(xué)生的高效學(xué)習(xí)！

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1：31

[2]蘇步青.談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1964-02：17

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