王 惠

(寧夏青銅峽市高級中學(xué)吳忠中學(xué)青銅峽分校 寧夏 青銅峽 751600)

引言

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把“以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”作為課程宗旨，明確提出了6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，全面提升一線教師課堂教學(xué)效率，是我們需要研究的課題。教師結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，在準(zhǔn)確把握教材的基礎(chǔ)上，挖掘教材中潛在的營養(yǎng)成分與教育價(jià)值，通過組織形式多樣的教學(xué)活動，不斷豐富學(xué)生數(shù)學(xué)知識，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?，F(xiàn)就高中數(shù)學(xué)人教版A版必修1第三章“函數(shù)的應(yīng)用”第1節(jié)“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”(第1課時(shí))的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾瓮诰蚪滩?，通過多種形式的數(shù)學(xué)活動培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)教學(xué)過程

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題。

師：問題1求出下列一元二次方程的根并作出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，觀察二者有何聯(lián)系？

(1)方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3;

(2)方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1;

(3)方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3;

生：完成表格(學(xué)生通過導(dǎo)學(xué)案預(yù)習(xí)，展示學(xué)習(xí)效果)

判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的實(shí)數(shù)根函數(shù)y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函數(shù)圖象函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)

結(jié)論：方程的實(shí)數(shù)根與對應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的__________相等。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對初中所學(xué)一元二次方程知識進(jìn)行回憶，對方程的根的求法與一元二次函數(shù)圖象確定函數(shù)與x軸交點(diǎn)，由舊知引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知，為下一問題做準(zhǔn)備。

1.2 抽象概括，建構(gòu)概念。

師：問題2上述特殊一元二次方程推廣至一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)與相應(yīng)的一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系，上述結(jié)論是否任然成立？

生：完成表格(學(xué)生通過導(dǎo)學(xué)案預(yù)習(xí)，展示學(xué)習(xí)效果)

判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對初中所學(xué)的一元二次方程進(jìn)行回憶，通過回顧得到一般一元二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系。

師：問題3將上述結(jié)論推廣至一般方程f(x)=0與相應(yīng)的函數(shù)y=f(x)又會有什么結(jié)論？請大家自己寫一個函數(shù)y=f(x),畫出函數(shù)圖象，求出對應(yīng)方程f(x)=0的根，驗(yàn)證上述結(jié)論是否成立？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是其對應(yīng)方程的根，得出上述一般性的結(jié)論。

1.3 零點(diǎn)的定義。

對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)?！?/p>

效能分析：結(jié)合定義，建立函數(shù)的零點(diǎn)與方程實(shí)根之間的關(guān)系：方程f(x)=0有根?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

問題4：判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出。

(1)f(x)=x2+7x+6 (2)f(x)=1-log2(3+x)

效能分析: 使學(xué)生熟悉定義法求函數(shù)零點(diǎn)的求法，鞏固概念(即求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根)。函數(shù)零點(diǎn)不是一個點(diǎn)，而是一個實(shí)數(shù)。注意函數(shù)問題永遠(yuǎn)定義域優(yōu)先。

1.4 實(shí)驗(yàn)探究函數(shù)零點(diǎn)存在性定理。

師：問題5 做實(shí)驗(yàn) ：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)A(a,f(a)),B(b,f(b))是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的兩點(diǎn)，試在A、B之間畫函數(shù)y=f(x)的圖象，判斷函數(shù)y=f(x)的圖象是否一定有零點(diǎn)？

(1)A,B兩點(diǎn)同在x軸上方：(2)A,B兩點(diǎn)同在x軸下方：(3)A,B兩點(diǎn)分別位于x軸的上、下兩邊：

圖1圖2圖3

生：學(xué)生活動：分小組討論實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由小組派代表展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，讓學(xué)生自己主動探索零點(diǎn)存在的充分條件，培養(yǎng)學(xué)生分析，探索，解決問題的能力。

學(xué)生探索結(jié)論：通過(1)、(2)、(3)三種情況的實(shí)驗(yàn)探索零點(diǎn)存在必須滿足：f(a).f(b)<0

師：引導(dǎo)學(xué)生探索函數(shù)有零點(diǎn)的另一個必要條件：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù)。

生：通過實(shí)驗(yàn)探究函數(shù)零點(diǎn)存在必須滿足兩個條件： ①函數(shù)y=f(x)在[a,b]區(qū)間連續(xù)不斷；②f(a).f(b)<0;則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)。

師：問題6滿足上述兩個條件，能否確定零點(diǎn)個數(shù)呢？

生：部分學(xué)生回答“能”，部分回答“不能”。學(xué)生探索零點(diǎn)存在性定理能不能確定零點(diǎn)個數(shù)。

師：問題7若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，一定能得出f(a)·f(b)<0的結(jié)論嗎？

生：教師引導(dǎo)學(xué)生通過y=x2,x∈[-2,2] 明確零點(diǎn)存在性定理反之不成立。

師：問題8 函數(shù)f(x)=ex+x-2零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是( )

A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)

設(shè)計(jì)意圖：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法：引導(dǎo)學(xué)生從零點(diǎn)存在性定理入手，連續(xù)只需從定義域考慮；然后求出區(qū)間(a,b)對應(yīng)端點(diǎn)值f(a)和f(b),只要f(a)·f(b)<0， 那么區(qū)間(a,b)就是零點(diǎn)所在區(qū)間。零點(diǎn)存在性定理在區(qū)間(a,b)內(nèi)產(chǎn)生零點(diǎn)需要的條件：連續(xù)且f(a)·f(b)<0 。

1.5 鞏固內(nèi)化，提升高度。

問題9 求函數(shù)f(x)=Inx+2x-6的零點(diǎn)的個數(shù)。

師：法一：圖象法：

強(qiáng)調(diào)畫圖像基本步驟：列表、描點(diǎn)和連線。

生：畫圖確定零點(diǎn)個數(shù)

師：法二定義法通過變式Inx=-2x+6,加深學(xué)生對函數(shù)與方程關(guān)系的認(rèn)識和理解滲透數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化歸納思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。法二把求函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求方程的解，當(dāng)方程直接解不出時(shí)，又轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題分析解決問題，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間密切聯(lián)系，也就是“函數(shù)與方程”的思想。

師：對方程x2=4x-4，2x(x-2)=-3解法探究，一題三解，培養(yǎng)學(xué)生解決問題，運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)的思考

2.1 結(jié)合教材，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教材是知識點(diǎn)的精華與濃縮，對有些過程沒有詳細(xì)說明，因此學(xué)生可能會產(chǎn)生思維障礙，教師只有對教材進(jìn)行深入研究，為學(xué)生的思維“搭橋”，對所呈現(xiàn)的思維進(jìn)行“拓展”，才能讓教材變得容易讓學(xué)生接受，數(shù)學(xué)課堂才能發(fā)出高效的魅力。新、舊知識之間只有一層窗戶紙，教師搭橋引導(dǎo)學(xué)生把它捅破，通過不同的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師的教學(xué)理念與教學(xué)藝術(shù)。在引導(dǎo)學(xué)生探索定理的過程中，把原本難以理解的思考，順理成章的歸納，概括出問題的本質(zhì)屬性，生成了零點(diǎn)的存在性定理。不僅鍛煉了學(xué)生的探究能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.2 通過問題，啟迪學(xué)生思維，助數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生根。數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是“數(shù)學(xué)思維活動過程”的教學(xué)，教師應(yīng)在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)精心重組教學(xué)內(nèi)容，啟迪學(xué)生思維的深層參與。只有引領(lǐng)學(xué)生在觀察中分析，在操作中思考，在探究中思辨，在比較中歸納，在合作中交流，學(xué)生的思維與認(rèn)知才能得到完善與提升?！昂瘮?shù)的零點(diǎn)”的建構(gòu)既是一個數(shù)學(xué)建模的過程，也是一個思考的過程。教師站在學(xué)生思維的角度，搭建問題的階梯，對知識由淺入深引導(dǎo)學(xué)生探究，注意知識之間銜接，把知識簡單化。教師精心設(shè)計(jì)“問題串”留給學(xué)生自己探究的時(shí)間，獨(dú)立的思考使學(xué)生思維得到了發(fā)展，數(shù)學(xué)的思想方法不斷升華，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升。深入研究教材，體會函數(shù)與方程“形”與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，體會發(fā)現(xiàn)的快樂，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根。