江蘇臣 匡穎 謝輝

摘 要：直觀想象能力是培養(yǎng)學生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的重要手段之一，可幫助學生通過構建抽象結構、進行邏輯推理、形成論證思路來養(yǎng)成良好的解題思維。文章分析了直觀想象能力的概念及要求，探究合作學習模式的教學要點及直觀想象能力的培養(yǎng)要點，在此基礎上從直觀想象能力的培養(yǎng)實踐展開討論。旨在進一步完善數(shù)學教學模式，提升學生直觀想象能力，為高質量教學提供幫助。

關鍵詞：高中數(shù)學;直觀想象能力;探究合作學習

一、 引言

在高中數(shù)學核心素養(yǎng)指導下，直觀想象能力需要利用圖形對數(shù)學問題展開理解，借助空間想象和幾何直觀感知事物的變化與形態(tài)。直觀想象的應用范圍較廣，在高中數(shù)學解題中可幫助建立圖形與函數(shù)的聯(lián)系、分析數(shù)學問題、利用圖形加以描述、了解運動規(guī)律、掌握形態(tài)變化、認知事物位置關系。讓學生通過直觀想象能力的提升進一步培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力，增強數(shù)學意識，在數(shù)形結合下提升解題技巧。

二、 直觀想象能力的概念及要求

（一）直觀想象的概念

直觀想象是指在空間想象下對事物的變化與發(fā)展展開進一步認知，是具體化與抽象化之間的有效轉變。在高中數(shù)學課堂上，對高中生直觀想象能力的培養(yǎng)指的是在理解數(shù)學知識的同時利用圖形加以輔助，從而對未知問題加以解決。即需要利用圖形與數(shù)學知識之間的關系來構建一個直觀模型，對數(shù)學問題進一步闡述，從而讓數(shù)學具體形象被更直觀感知，以便于學生能夠更進一步地理解數(shù)學問題，讓理解思維更具邏輯性，從而找出解決問題的直觀思路。

（二）直觀想象的要求

新課程標準，強調學生數(shù)學素養(yǎng)的培育，也就是數(shù)據(jù)分析能力、直觀想象能力、數(shù)學運算能力、邏輯推理能力、數(shù)學建模能力、數(shù)學抽象能力。直觀想象能力是教學目標之一，需要培養(yǎng)學生對幾何知識、函數(shù)知識等知識點之間的構想、設想、推想、聯(lián)想等能力。在直觀想象能力下建立知識的直觀模型，開拓更新穎有效的解題思路，培養(yǎng)學生實際解決數(shù)學問題的能力以及良好的數(shù)學思維意識。

高中學生直觀想象能力的培養(yǎng)可在圖形和數(shù)學知識之間合理轉換。如將圖形的形象性、生動性通過直觀分析與描述，讓形象思維與抽象思維相結合，抓住問題的本質所在，找出解題有效思路以及切入點，提升問題的解決速度及準確性。在高中階段，學生直觀想象能力要求做到以下三點：

第一，能將直觀圖形和空間圖形有效轉化;

第二，在對空間圖形加以描述的語言及符號方面具備一定程度能力;

第三，對空間幾何體的組合和分解可通透理解幾何體的位置關系、數(shù)量關系等。

三、 自主探究、合作學習的教學要點

（一）自主探究

培養(yǎng)學生自主探究能力，教師需考慮到對學生思維能力的養(yǎng)成，改變傳統(tǒng)一言堂的教學觀念，培養(yǎng)綜合素質，轉變教學模式，將學生作為課堂的主體，激發(fā)其學習興趣。在課堂教學過程中，教師可采用問題導入法讓學生自主思考，激發(fā)探究欲望。同時注重動手實踐，在作圖的過程中了解圖形變化規(guī)律，從中找到解題切入點。在自主探究過程中教師僅處于引導者位置，適當對學生的思考思路進行點撥。

（二）合作學習

合作探究學習模式是新課程改革的重要體現(xiàn)。小組合作學習時容易受到高考壓力的影響導致小組討論不充分，部分性格內向或數(shù)學能力較弱的學生僅處于輔助位置，思考程度較低甚至存在懈怠、偷懶情況，造成組內學生的討論充分參與度不平衡。在實踐教學中，為了更好地培養(yǎng)學生直觀想象能力，合作學習教學模式下教師需合理分組。教師可通過層次教學法，對不同組別安排不同層次的探究目標及問題，讓每位學生均可參與其中，在評價層面則融合學生討論參與度。通過小組合作學習模式、小組互動學習模式，讓學生在教師的指點、啟發(fā)與引導下，通過閱讀、觀察、交流、討論與歸納來尋求答案，在自主思考的基礎上與同學之間展開相互討論，在思維碰撞下獲取更多元化的解題思路，并在明確的責任分工下充分討論思考，在相互補充、相互啟發(fā)下發(fā)揮團隊合作精神，共同解決問題。

四、 直觀想象能力的培養(yǎng)要點

高中數(shù)學由于邏輯性和抽象性有了明顯提升，學生的直觀想象能力培養(yǎng)必須建立在自主思考以及相互討論基礎上，形成自主探究、合作學習的教學模式。直觀想象能力的培養(yǎng)首先需強調學生在自主思考下找出解題關鍵，合作學習則可起到頭腦風暴、思維發(fā)散的效果，將題目深化、知識點內化，提升綜合能力。在實際數(shù)學課堂教學中，直觀想象能力培養(yǎng)需建立在自主探究、合作學習模式基礎之上，具體可表現(xiàn)為以下幾方面。

（一）鼓勵自主思考

依照新課程理念下以學生作為課堂主體的相關要求，教師需強調學生的自主探究學習模式，讓學生通過閱讀題目及圖形觀察，將具體事物轉化為感性認知。高中數(shù)學涉及的題目難度相較于初中有了質的飛躍，在解題時若僅憑黑板上文字描述或教師口頭講解，面對與函數(shù)有關問題或抽象性問題，學生難以有效理解。此時教師可鼓勵學生自主動手實踐，通過自己畫圖、觀察圖形變化的方式更直觀地了解題目意義。例如在動點型問題解題時，通過動手實踐觀察點的運動軌跡，相較于單純思考而言可顯著提升解題效率。教師需讓學生認識到圖形也可作為視覺符號的一種，與接觸的表象事物關聯(lián)密切。自主動手探究的過程也就是想象能力的培養(yǎng)過程，可將問題具象化，盡快找到解題切入點。

（二）創(chuàng)設學習情境

情境的創(chuàng)設能夠幫助學生在枯燥的數(shù)學文字題目下轉換心情，換一種思路來面對題目，可對學生的想象力有效激發(fā)。直觀能力的培養(yǎng)可通過創(chuàng)設更具直觀性的事物來加以引導，情境創(chuàng)設下不但學生的思考熱情得以激發(fā)，還可讓其思維得到觸動，讓抽象的數(shù)學概念或函數(shù)題目與具象化事物相聯(lián)系。例如在學習曲線函數(shù)時，可列舉向上拋出一個小球所形成的運動軌跡、射箭所形成的運動軌跡、溜溜球的運動軌跡所形成的曲線等，讓學生思考這些軌跡在特點上是否存在不同之處，以更容易想象的事物作為課堂導入來引出曲線函數(shù)知識點。

（三）利用簡單圖形研究復雜圖形

在高中數(shù)學學習中，立體幾何課程往往是學習的重難點所在，對空間想象能力要求較高。在教學設計時，需培養(yǎng)學生從具體到抽象、從整體到局部的思考能力，在理解與認知點、線、面之間的空間位置關系時，可利用長方體或正方體作為載體和模型，通過熟悉的圖形解決復雜圖形之間的位置關系。需要讓學生了解長方體或正方體的空間基本元素的性質和關系，從而引入復雜幾何體，將復雜解題過程借助割補法轉變?yōu)殚L方體或正方體模型加以處理。讓復雜問題簡單化，通過直觀想象來分解圖形、開拓思路，提升解題能力。

（四）利用向量解題

在高中數(shù)學解題中，三角函數(shù)、幾何和代數(shù)均可利用向量作為溝通工具。不同題型、不同內容均可結合向量及其運算工具來處理空間幾何方面的問題。在培養(yǎng)學生直觀想象能力時，可從圖形特征角度作為切入點，結合向量培養(yǎng)學生的用圖思考習慣、作圖習慣和想圖能力。

（五）函數(shù)與圖象相結合

函數(shù)知識點是高中數(shù)學的重點，但由于函數(shù)本身邏輯性強且抽象性強，在學習時難度較大。函數(shù)可將高中的微積分、數(shù)列、方程、不等式等知識串聯(lián)起來。由于存在抽象性特征，教師可采用數(shù)形結合方式，指導學生以數(shù)形溝通實現(xiàn)函數(shù)與圖形的完美結合，豐富函數(shù)知識表征，降低函數(shù)理解難度。還可利用圖象，以更直觀的思考方向理解函數(shù)、刻畫函數(shù)，并了解相關概念及特征。在復雜函數(shù)變化過程中，教師可利用數(shù)形結合思想讓學生掌握更多元化的思考方法，盡快找出解題關鍵。

五、 直觀想象能力的培養(yǎng)實踐

直觀想象能力的培養(yǎng)關鍵在于讓學生建立數(shù)與形之間的有效聯(lián)系。教師需找出典型問題展開分類教學，幫助學生有針對性地了解題型的解題切入點及思考關鍵點所在。通過自主思考找出切入點，并通過合作探究實現(xiàn)全面分析，將復雜問題簡單化。

（一）圓錐曲線問題

針對圓錐曲線的問題，在直觀想象能力方面要求學生能夠聯(lián)想到向量、參數(shù)范圍、垂直、弦長與圓錐曲線方程等相關知識點。其難點在于函數(shù)知識與圓錐曲線之間的聯(lián)系，對題目展開圓錐曲線圖象分析，從而構建相應直觀模型。在解決此類數(shù)學問題方面，關鍵在于通過坐標法了解圓錐曲線與直線之間的位置關系，以及相對應的數(shù)學方程，并找出與曲線之間的聯(lián)系。借助幾何直觀將圓錐曲線的參數(shù)范圍、垂直范圍、弦長范圍等問題形象簡明的標明。

在自主探究、合作學習模式下，學生首先需要了解圓錐曲線的大致模型，找出解題思路，嘗試建立數(shù)學模型。之后在合作探究下從本質上探索圓錐曲線幾何性質，了解題目的開放性特征。以“2012年湖北高考理科卷”為例，考察圓錐曲線問題的題目為設定某個圓的方程式，點A是該圓上的任意一點，設置一條穿過點A并垂直于x軸的直線，標明直線與x軸的交點。讓學生思考動點A在圓上運動過程中所形成的軌跡，并結合象限知識思考某一過原點且與曲線相交的直線在多項條件設定下的相關問題。該題目的考察重點在于不等式的證明、導數(shù)、函數(shù)等相關知識點。在獨立思考狀態(tài)下，學生需要分析函數(shù)圖象變化，在數(shù)學思維下思考解題思路，利用轉化法、化歸法解題。但在獨立思考下，由于題目中變量改變范圍較大，在建立數(shù)形關系時需要大量作圖才可確定軌跡。通過合作學習，學生可分工合作或利用超級畫板的跟蹤功能和動畫功能，對軌跡變化情況直接觀察，并以此對圓錐曲線類型加以判定，讓抽象直接轉變?yōu)橹庇^狀態(tài)來確定軌跡方程。

（二）動點型問題

動點型問題指的是高中數(shù)學課程中圖形存在多個或一個運動的點，該點可在弧線、直線、射線、線段上運動，要求學生找出其運動規(guī)律或描繪運動軌跡。動點型問題的難點在于需學生在幾何思想下直觀了解數(shù)與形之間的聯(lián)系和動點的運動規(guī)律，屬綜合性較強的問題類型。在解題思想方面需要數(shù)形結合、以靜制動。

在自主探究合作學習模式下，教師應引導學生思考觀察圖形特征，了解動點的大致運動狀態(tài)，將題目中的文字轉化為圖形，呈現(xiàn)點的運動過程，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。在合作模式下，分小組探討圖形變化中點在運動過程中不變的性質，在動中找靜。例如在“2011年江西高考理科卷”中，考察學生動點型問題的題目為有一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁呈逆時針狀態(tài)不斷滾動，讓學生思考小圓滾過大圓內壁一周時某兩個點所繪制出來的圖形大致樣式。在解題時，學生首先可以自主思考的形式觀察兩個動點與大圓圓心和小圓圓心之間的相對位置變化，這是找出解題的切入點關鍵所在。先自主了解動點的大致運動軌跡，再采用小組合作共同探究如何將原本用參數(shù)方程解決的靜態(tài)問題轉變?yōu)閯討B(tài)問題。通過設置動圓半徑大小而改變動圓和定圓之間的半徑，將內容延伸到內擺線的知識上。

（三）動態(tài)圖形重疊面積問題

動態(tài)圖形重疊面積問題指的是讓圖形通過縮放、翻折、旋轉、平移等方式進行規(guī)律性運動，兩個圖形重疊并求出重疊部分面積，同時了解運動變量之間函數(shù)關系。動態(tài)圖形重疊面積問題的重難點在于對重疊部分的形狀準確把握，找出形狀變化的臨界點，在變化中找出解題思路。

在自主探究合作學習模式下，學生可通過自主思考明確自變量的取值范圍，將重疊部分根據(jù)形狀加以分類，之后再找出臨界點，實現(xiàn)動態(tài)模式下的靜態(tài)分析，達到分段計算狀態(tài)。在合作探究過程中，可通過討論探究重疊部分不同形狀之間的臨界點以及重疊部分圖形變化，應用到分類討論和數(shù)形結合的思想，逐漸養(yǎng)成良好數(shù)學直覺。例如在平面直角坐標系中，直角梯形的邊處于x軸的正半軸，直角梯形位于第一象限，設定一系列條件后思考某一正方形沿著x軸作平行移動時與直角梯形的重疊面積變化。

教師讓學生找出重疊部分的面積的變化情況，亦或逐漸減少或逐漸增大。該題涉及二次函數(shù)、一次函數(shù)、平移等知識，判斷重疊部分圖形及分類找出圖形形狀變化的臨界點。通過合作討論，對某一定點的移動距離來判斷臨界值具體值，對圖形面積分段計算找到變化曲線，以培養(yǎng)學生直觀想象能力。

（四）具體教學設計

《基于不等式“ab≤a+b2”的教學設計》

六、 結語

在直觀想象能力下，幾何圖形與數(shù)學的結合可化抽象為具體、化繁為簡，幫助學生更快速、準確地找出題目的本質及解題關鍵點所在，迅速找出切入點達到事半功倍的解題效果。教師在培養(yǎng)學生直觀想象能力的過程中，需注重學生的自主思考以及小組合作，以自主探究提升自身數(shù)學能力，并通過合作學習發(fā)散思維，達到學習的延伸效果?？傊?，教師需在日常教學中滲透幾何性質，提升學生的用圖、作圖、想圖能力，形成直觀想象的思維能力及思維習慣，真正提升其數(shù)學能力。

參考文獻：

[1]李作濱.素養(yǎng)導向的數(shù)學測評研究：以2018年高考為例[J].數(shù)學教育學報，2018，27（6）：33-37.

[2]雷沛瑤，胡典順.提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)：情境與問題的視角[J].教育探索，2018（6）：23-27.

[3]李作濱.2018年13套高考數(shù)學試卷審思：基于核心素養(yǎng)的視角[J].教育測量與評價，2019（4）：51-57，64.

[4]黃開智.由矢量與向量說開去：談矢量教學的三個困境及調整[J].中學物理教學參考，2019（9）：43-47.

[5]單雄.高中數(shù)學課堂中的語言教學：文字、圖形、符號[J].科學咨詢：教育科研，2019（4）：165-166.

[6]陳瓊琪.高中數(shù)學核心素養(yǎng)導向的學生直觀想象能力培養(yǎng)策略探析：以平面向量為例[J].創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實踐，

2019，2（11）：49-51.

[7]李昌成，徐健.在解題教學中培養(yǎng)高中生數(shù)學核心素養(yǎng)的實踐與研究[J].新疆教育學院學報，2019，35（1）：35-39.

[8]王小佳.解讀《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的新變化[J].當代教育實踐與教學研究，2019（8）：233-234.

[9]陳婷，孫彬博，張彩云.百年高中數(shù)學課程能力目標發(fā)展的回眸與反思：基于課程標準（教學大綱）的文本分析[J].數(shù)學教育學報，2019，28（6）：5-9，54.

[10]幸世強.聚焦數(shù)學學科核心素養(yǎng)的高考命題視角：以2016年四川高考數(shù)學試題為例[J].教育科學論壇，2016（19）：48-51.

作者簡介：江蘇臣，匡穎，謝輝，貴州省都勻市，貴州省都勻二中。