張金萍 許敏 張鑫 肖宏林

摘 要：為了更好地預(yù)測河川徑流，提高年徑流的預(yù)測精度，以黃河源區(qū)唐乃亥水文站1956—2016年的實(shí)測年徑流量為研究數(shù)據(jù)，采用完全集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（CEEMDAN）和自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA）相結(jié)合的方法，建立CEEMDAN-ARMA組合模型，并將組合模型的預(yù)測結(jié)果與單一的ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比。結(jié)果表明：組合模型的擬合優(yōu)度大于單一ARIMA模型的擬合優(yōu)度;組合模型預(yù)測的平均相對誤差為3.31%，比單一的ARIMA模型的預(yù)測精度提高了4.63%。由此可見，CEEMDAN-ARMA模型預(yù)測精度高于單一的ARIMA模型，利用CEEMDAN分解得到的IMF分量序列作為ARIMA模型的輸入數(shù)據(jù)可以提高模型的預(yù)測精度。

關(guān)鍵詞：徑流預(yù)測;CEEMDAN;ARMA模型;黃河源區(qū)

中圖分類號：TV121;TV882.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2021.01.007

引用格式：張金萍，許敏，張鑫，等.基于CEEMDAN-ARMA模型的年徑流量預(yù)測研究[J].人民黃河，2021，43（1）：35-39.

Annual Runoff Prediction Based on CEEMDAN-ARMA Model

ZHANG Jinping1，2，3， XU Min1， ZHANG Xin1， XIAO Honglin1

（1.School of Water Science and Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， China;

2.Zhengzhou Key Laboratory of Water Resources and Environment， Zhengzhou 450001， China;

3.Henan Province Key Laboratory of Groundwater Pollution Prevention and Remediation， Zhengzhou 450001， China）

Abstract：In order to better predict river runoff and improve the accuracy of annual runoff prediction， the measured annual runoff of Tangnaihai Hydrologic Station in the source area of the Yellow River from 1956 to 2016 was taken as the research data and a CEEMDAN-ARMA model was established bycombining Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise（CEEMDAN）with Auto-Regressive Moving Average Model（ARMA）to simulate and predict the annual runoff sequence in the research area， and compared the predicted results of the combined model with the single ARIMA model. The results show that the goodness of fit of composite model is better than that of single ARIMA model; the average relative error of the combined model is 3.31%， which is 4.63% lower than that of the single ARIMA model. Therefore， the prediction accuracy of CEEMDAN-ARMA model is higher than that of the single ARIMA model. The IMFs component series which decomposed by CEEMDAN can be used as the input data of ARMA model to improve the prediction accuracy of the model.

Key words： runoff prediction; CEEMDAN; ARMA model; Yellow River source area

徑流量是河流的重要水文變量之一，受氣象、人為等諸多不確定因素的影響，具有較強(qiáng)的隨機(jī)性。提高徑流長期預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性，對于科學(xué)認(rèn)識徑流過程、掌握其變化成因和演化特征具有重要意義。傳統(tǒng)的河川徑流預(yù)測方法如成因分析和水文統(tǒng)計(jì)方法只能反映出線性時(shí)間序列或簡單的非線性時(shí)間序列[1]，而實(shí)際的徑流序列受多種因素的影響，往往呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性空間過程。單一預(yù)測模型中的函數(shù)辨識選擇受徑流序列中噪聲等隨機(jī)因素的影響，難以對整個(gè)水文過程進(jìn)行有效的擬合。組合預(yù)測模型成為近年來廣受關(guān)注的研究方向之一，組合模型在實(shí)踐中更多的是采用不同的分析方法與各種預(yù)測模型進(jìn)行組合，以分析方法為基礎(chǔ)來提高模型的預(yù)測精度[2]。

筆者將CEEMDAN與ARMA模型相結(jié)合，以CEEMDAN方法為基礎(chǔ)對黃河源區(qū)唐乃亥水文站的年徑流序列進(jìn)行分解，得到年徑流量在各個(gè)時(shí)間尺度上的波動(dòng)特征，掌握徑流內(nèi)部變化規(guī)律。在此基礎(chǔ)上利用ARMA模型對各分量進(jìn)行預(yù)測，將各分量的預(yù)測值累加在一起得到徑流量的預(yù)測值，分析預(yù)測的精度，并將其與單一的ARIMA模型預(yù)測值進(jìn)行對比，為徑流預(yù)測提出一種新的方法，以期為黃河源區(qū)水資源開發(fā)利用提供技術(shù)參考。

1 研究對象

黃河源區(qū)唐乃亥水文站是黃河干流天然徑流河段與人工調(diào)節(jié)河段的分界點(diǎn)，控制流域面積為12.2萬km2，多年平均徑流量為205.1億m3，在黃河水量調(diào)度中具有重要的戰(zhàn)略地位。研究數(shù)據(jù)采用唐乃亥水文站1956—2016年的年徑流量資料，其中1956—2007年的徑流量數(shù)據(jù)用于模型的模擬，2008—2016年的徑流量數(shù)據(jù)用于模型的預(yù)測。唐乃亥水文站1956—2016年徑流量變化情況見圖1。

2 研究方法

2.1 CEEMDAN方法

CEEMDAN[3]是在EMD[4]和EEMD[5]基礎(chǔ)上發(fā)展來的，它解決了上述兩種方法中存在的模態(tài)混淆和重構(gòu)序列中殘留噪聲的問題，其分解過程具有完整性且?guī)缀鯚o重構(gòu)誤差，具體算法如下。

假設(shè)經(jīng)過EMD分解產(chǎn)生的第k階模態(tài)分量為Ek（·），第j次加入的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪聲序列為wj（t），CEEMDAN分解后得到的第i階模態(tài)為fi（t），t為時(shí)間變量。

（1）在原始信號x（t）中加入噪聲分量后進(jìn)行EMD分解。假設(shè)第m次加入噪聲后分解出的一階模態(tài)分量為fm1（t），則CEEMDAN一階模態(tài)分量為

f′1（t）=1M∑Mm=1fm1（t） （m=1，2，…，M）（1）

（2）計(jì)算CEEMDAN分解的第一個(gè)余量信號r1（t），并且向余量信號中加入高斯白噪聲分量φ1E1[wm（t）]，求第二階模態(tài)分量，則

r1（t）=x（t）-f′1（t）（2）

f′2（t）=1M∑Mm=1E1{r1（t）+φ1E1[wm（t）]}（3）

（3）重復(fù)步驟（2），可得第i個(gè)余量信號和第i+1階模態(tài)，當(dāng)余量信號無法進(jìn)行EMD分解時(shí)，CEEMDAN分解也隨之終止。假設(shè)最后分解出k階模態(tài)，則

ri（t）=ri-1（t）-f′i（t）（4）

f′i+1（t）=1M∑Mm=1E1{ri（t）+φiEi[wm（t）]}（5）

R（t）=x（t）-∑ki=1f′i（t）（6）

式中：R（t）為最終的殘余信號。

2.2 ARMA模型

ARMA[6]是一種以隨機(jī)理論為基礎(chǔ)的時(shí)間序列分析模型，由自回歸模型（AR模型）和滑動(dòng)平均模型（MA模型）混合構(gòu)成。ARMA模型對擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行模型分析，使模型綜合考慮過去值、現(xiàn)在值和誤差，從而提高模型的預(yù)測精度[7]，其建模過程如下。

設(shè){yt}是一個(gè)平穩(wěn)、正態(tài)分布且零均值的時(shí)間序列，它的取值不僅與其前p步的各個(gè)取值有關(guān)，而且還與前q步的各個(gè)干擾因素有關(guān)，則ARMA模型的一般形式為

yt=c+∑pi=1φiyt-1+∑qi=1θiεt-1+εt（7）

式中：p為自回歸階數(shù);q為移動(dòng)平均階數(shù);φi為自回歸系數(shù);θi為移動(dòng)平均系數(shù);{εt}為白噪聲序列;c為常數(shù)。

一般將ARMA模型應(yīng)用于平穩(wěn)的時(shí)間序列，當(dāng)序列不平穩(wěn)時(shí)，則通過d階差分過程將不平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列。實(shí)際上d通常為0或1，至多為2。此時(shí)，建立的模型為ARIMA（p，d，q）。其中d為滯后階數(shù)，當(dāng)d為0時(shí)，建立的模型為ARMA模型。

2.3 CEEMDAN-ARMA模型

將CEEMDAN方法和ARMA模型進(jìn)行耦合，對年徑流量序列進(jìn)行預(yù)測。CEEMDAN-ARMA預(yù)測模型的方法步驟：①利用CEEMDAN方法將年徑流量數(shù)據(jù)分解成IMF分量和一個(gè)趨勢項(xiàng);②ARMA模型作為預(yù)測工具對分解后的IMF分量和趨勢項(xiàng)進(jìn)行建模，并分別對每個(gè)分量進(jìn)行相應(yīng)的預(yù)測;③將所有分量的預(yù)測結(jié)果相加，得到最終結(jié)果，即為耦合后的結(jié)果，把該結(jié)果作為徑流量序列的預(yù)測結(jié)果。

3 實(shí)例分析

3.1 CEEMDAN分解

為了減輕數(shù)據(jù)的振蕩，對黃河源區(qū)唐乃亥水文站1956—2016年的徑流量數(shù)據(jù)取對數(shù)，再利用CEEMDAN方法對取對數(shù)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，可以將序列分解成4個(gè)IMF分量和1個(gè)趨勢項(xiàng)分量。分解結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知，徑流量時(shí)間序列的IMF分量表現(xiàn)了該時(shí)間序列在頻率、振幅和波長方面的變化。IMF1分量的頻率最高、振幅最大、波長最短，由IMF1分量到IMF4分量，分量的振幅逐漸減小、頻率逐漸降低、波長逐漸變長。趨勢項(xiàng)分量體現(xiàn)了徑流量在長時(shí)期內(nèi)整體的變化趨勢，可以看出20世紀(jì)60年代中期至今，唐乃亥水文站的年徑流量整體上呈現(xiàn)逐漸衰減的趨勢。除此之外，唐乃亥水文站年徑流量的IMF1～I(xiàn)MF4分量分別具有準(zhǔn)3～5 a、準(zhǔn)7～9 a、準(zhǔn)9～16 a和準(zhǔn)32 a的波動(dòng)周期。利用CEEMDAN方法對徑流量序列進(jìn)行分解有助于了解徑流量周期變化的特征，并且能將非線性、非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，有助于提高預(yù)測的準(zhǔn)確性。

3.2 CEEMDAN-ARMA模型的識別與檢驗(yàn)

3.2.1 模型識別

建立模型之前，需要檢驗(yàn)徑流時(shí)間序列的平穩(wěn)性，即ADF單位根檢驗(yàn)，這是目前應(yīng)用較普遍的平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法[8]。對原始徑流量數(shù)據(jù)序列x和CEEMDAN分解后得到的IMF分量進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，判斷各分量是否平穩(wěn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表1。

由表1可知，原始徑流量序列在1%、5%、10%的顯著性水平下存在單位根，序列不平穩(wěn)，經(jīng)過一階差分后通過ADF檢驗(yàn)證明差分后的數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，故d=1。徑流量取對數(shù)之后分解得到的本征模態(tài)函數(shù)在1%、5%、10%的顯著性水平下，ADF檢驗(yàn)值均小于0.05，拒絕具有單位根這一原假設(shè)，故其本征模態(tài)函數(shù)均為平穩(wěn)序列。

根據(jù)經(jīng)過差分后平穩(wěn)的年徑流序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）圖和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖，確定合適的模型為ARIMA（1，1，1）、ARIMA（2，1，1）和ARIMA（3，1，1），通過最小信息準(zhǔn)則，最終選定的模型為ARIMA（1，1，1）。CEEMDAN分解后的IMF分量也可以進(jìn)行同樣的分析，最終IMF1分量選擇ARMA（3，1）模型、IMF2分量選擇ARMA（3，3）模型、IMF3分量選擇ARMA（3，2）模型、IMF4分量選擇ARMA（3，4）模型。

3.2.2 模型檢驗(yàn)

根據(jù)選定的模型，對模型的合理性進(jìn)行檢驗(yàn)。采用LM檢驗(yàn)，即假設(shè)殘差序列不存在自相關(guān)性，如果F統(tǒng)計(jì)量的P值小于5%的置信水平，則拒絕原假設(shè)，模型存在序列自相關(guān)性，所建立的模型不合理，需要改進(jìn);反之則合理。LM檢驗(yàn)結(jié)果見表2。由表2可知，得到的LM統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的P值均大于5%的顯著性水平，不拒絕原假設(shè)，表明殘差序列不存在自相關(guān)性，所建立的模型是合理的。

3.3 模型的模擬和預(yù)測

3.3.1 模型的模擬

根據(jù)建立的模型對1959—2007年的徑流量進(jìn)行靜態(tài)預(yù)測，即模型內(nèi)的模擬。各分量的模擬值與實(shí)際值對比如圖3所示，把分量的模擬值累加在一起得到組合后的模擬值，模擬結(jié)果如圖4所示，利用原始數(shù)據(jù)建立ARIMA模型的模擬結(jié)果如圖5所示，原始序列和組合序列的模擬值與實(shí)際值的相對誤差如圖6所示。

由圖3可知，IMF1分量的擬合效果最差，并且由IMF1分量至IMF4分量，擬合程度逐漸提高，即高頻分量的擬合程度低于低頻分量的擬合程度，在提高模型的精度方面，可以考慮提高高頻分量的預(yù)測精度，以期提高整個(gè)模型的預(yù)測精度。由圖4、圖5可知，組合后模型的擬合效果優(yōu)于原始序列建立模型的擬合效果。進(jìn)一步分析圖6，原始序列模型模擬的相對誤差整體上大于分解組合后模型模擬的相對誤差，并且無論是原始序列還是組合后序列，徑流量模擬值和實(shí)測值的變化趨勢大體一致，擬合效果較好，所建立模型的模擬精度較高，可以利用該模型進(jìn)行預(yù)測。

3.3.2 模型的預(yù)測

根據(jù)ARIMA模型和建立的CEEMDAN-ARMA模型，對唐乃亥水文站2008—2016年的年徑流量進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見表3。

由表3可知，利用ARIMA模型對2008—2016年的年徑流量進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測值和實(shí)際值的相對誤差在2008年、2009年、2012年和2016年均大于10%，其中2016年的相對誤差最大為13.24%，平均相對誤差為7.94%。利用CEEMDAN-ARMA模型對2008—2016年徑流量進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測值和實(shí)際觀測值的相對誤差均在10%以內(nèi)，平均相對誤差為3.31%，遠(yuǎn)低于10%，說明利用CEEMDAN-ARMA模型預(yù)測的效果優(yōu)于單一的ARIMA模型，同時(shí)也說明了CEEMDAN模型適用于年徑流時(shí)間序列的分解，“分解與組合”的思想是可行的，所提出的CEEMDAN-ARMA模型可以克服單個(gè)模型的缺點(diǎn)，將CEEMDAN分解的年徑流量數(shù)據(jù)作為模型的輸入數(shù)據(jù)，可以提高模型的預(yù)測精度。

4 結(jié) 論

（1）CEEMDAN方法原理簡單、操作方便，利用CEEMDAN方法對徑流序列進(jìn)行分解有助于了解徑流量周期變化的特征，并且能將非線性、非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，有助于提高預(yù)測的準(zhǔn)確性，解決了單獨(dú)運(yùn)用ARMA模型預(yù)測難以揭示徑流變化特征和預(yù)測精度較低的問題。

（2）利用單一的ARIMA模型進(jìn)行模擬時(shí)效果較好，但利用該模型進(jìn)行預(yù)測時(shí)，有4 a的相對誤差在10%以上，平均相對誤差為7.94%;利用CEEMDAN-ARMA模型進(jìn)行模擬時(shí)，相對誤差均低于4.5%，平均相對誤差為1.54%，模擬精度較好，利用該模型進(jìn)行預(yù)測時(shí)，相對誤差均在10%以內(nèi)，平均相對誤差為3.31%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于10%，滿足中長期預(yù)測的要求。

（3）CEEMDAN-ARMA模型的預(yù)測效果優(yōu)于單一ARIMA模型的，將CEEMDAN分解的年徑流量數(shù)據(jù)作為模型的輸入數(shù)據(jù)可以有效地提高模型的預(yù)測精度。結(jié)合CEEMDAN建立混合預(yù)測模型，可以得到更準(zhǔn)確、更穩(wěn)定的預(yù)測結(jié)果，對水文時(shí)間序列預(yù)測的研究有一定的幫助，利用該模型能夠?yàn)辄S河流域水資源開發(fā)利用和水量分配、水庫優(yōu)化調(diào)度決策提供技術(shù)參考。

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【責(zé)任編輯 張 帥】