張 陽(yáng)，張芮寧，曾福庚

(1.中國(guó)科學(xué)院中科建設(shè)山東東潤(rùn)清潔能源有限公司 山東 東營(yíng) 257000；2.山東濰坊醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)院 山東 濰坊 261000；3.貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院 貴州 貴陽(yáng) 550000)

運(yùn)籌學(xué)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)的發(fā)展已有半個(gè)多世紀(jì)，廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，已成為定量分析不同項(xiàng)目管理過(guò)程中現(xiàn)代管理方法的重要工具。網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖分甘特圖(或稱(chēng)橫道圖)和網(wǎng)絡(luò)圖，橫道圖雖然簡(jiǎn)單、直觀和易懂，但是不能全面地反映出整個(gè)工程活動(dòng)過(guò)程中各工序之間的聯(lián)系和相互依賴(lài)與制約的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)圖雖然克服了橫道圖的缺點(diǎn)，但網(wǎng)絡(luò)圖沒(méi)有時(shí)標(biāo)，不直觀，看不出各工序的開(kāi)、竣工時(shí)間，而且繪制復(fù)雜。除這兩種計(jì)劃圖外，目前國(guó)內(nèi)外正在研究其他方法。在國(guó)外最常見(jiàn)的是項(xiàng)目矩陣結(jié)構(gòu)圖(本質(zhì)還是橫道圖和網(wǎng)絡(luò)圖)。但在對(duì)傳統(tǒng)方法(橫道圖和網(wǎng)絡(luò)圖)的研究上，很多改進(jìn)都集中在算法方面，在項(xiàng)目實(shí)施的實(shí)踐中沒(méi)有發(fā)揮應(yīng)有的作用。國(guó)內(nèi)大部分項(xiàng)目管理研究都是在實(shí)證分析上，其中常用的項(xiàng)目管理技術(shù)有甘特圖、掛圖、工作日歷等傳統(tǒng)方法，但相關(guān)計(jì)劃圖的創(chuàng)新相對(duì)較少。如作者陳文龍階梯式進(jìn)度圖將計(jì)劃?rùn)M道圖旋轉(zhuǎn)90度，有些作者或?qū)⑹┕挝患{入網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃等等。在實(shí)踐中，有許多研究為每年的項(xiàng)目管理科學(xué)交流提供了大量的信息或經(jīng)驗(yàn)，但計(jì)劃圖方法開(kāi)發(fā)問(wèn)題尚未解決。

隨著社交網(wǎng)絡(luò)、物聯(lián)網(wǎng)、云計(jì)算[1-6]、大數(shù)據(jù)、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)等前沿技術(shù)的出現(xiàn)，傳統(tǒng)大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以觀察[7-11]，我們不能從直觀的經(jīng)典方法中得出很好的結(jié)論，因此，我們提出用數(shù)學(xué)公式[12-20]中的分段圖，按網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)編號(hào)和網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)圖作為檢驗(yàn)和分析網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的一種新方法，既能反映工序之間的銜接與制約，又能反映工序之間的時(shí)間關(guān)系，既能快速了解短期網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃，又能覆蓋整個(gè)施工期的目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)，能優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃，改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)布局和分段管理，為人工智能[21]機(jī)器學(xué)習(xí)提供模型思路和算法保障。它是數(shù)據(jù)采集決策的核心和最重要的環(huán)節(jié)，優(yōu)化模型方法在實(shí)際問(wèn)題中也能發(fā)揮重要作用。用簡(jiǎn)化的邏輯數(shù)學(xué)公式研究分析了網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型。

1 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與求解

1.1 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃分段圖的數(shù)學(xué)模型建立

在網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中，橫道圖是最常用的施工計(jì)劃圖。圖1表示某項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的橫道圖。

圖1中的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃被分段為一個(gè)數(shù)學(xué)模型圖，如圖2所示。

從圖2中我們得到了網(wǎng)絡(luò)分段數(shù)學(xué)模型矩陣的數(shù)學(xué)表達(dá)式

(1)

由式(1)得到網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃第一時(shí)段數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)公式

(2)

圖1 某項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃?rùn)M道圖

圖2 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃分段數(shù)學(xué)模型

由式(2)推導(dǎo)出第2時(shí)段網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)公式

(3)

由此可推出 第n時(shí)段網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)公式

(4)

式中:(i, …,i)為第n時(shí)段所有集數(shù)。

由式(4)推導(dǎo)全架構(gòu)分段網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)公式為

(5)

1.2 將網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃分段數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型

將式(5)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃全架構(gòu)分段數(shù)學(xué)模型相加得到網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型

即

(t1)(i,i|i,i)(t2)…(i,…,i|i,…,i)(tn)(D)

(6)

式中:D=d1+d2+…dn

小結(jié)：網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型不僅包括網(wǎng)絡(luò)橫道圖和網(wǎng)格圖，還細(xì)分了網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖，并用數(shù)學(xué)公式表示，簡(jiǎn)單明了，圖3為去除分段后的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型，將式(6)展開(kāi)得到圖3。

圖3 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型

1.3 用網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃分段數(shù)學(xué)模型計(jì)算網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖數(shù)據(jù)

由于網(wǎng)絡(luò)分段的數(shù)學(xué)模型包含了網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的橫道圖和網(wǎng)絡(luò)圖，因此可以計(jì)算出橫道圖或網(wǎng)絡(luò)圖的所有數(shù)據(jù)，如圖4所示。

圖4 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的計(jì)算

橫道圖和網(wǎng)格圖數(shù)據(jù)如下

(1)計(jì)算完成時(shí)間=開(kāi)始時(shí)間+持續(xù)時(shí)間

由上式得到第一時(shí)段工序完成時(shí)間公式為

(7)

由式(7)推理得到第n時(shí)段工序完成時(shí)間公式為

d1+d2+…dn-1+tk1+tk2

(8)

(2)計(jì)算總工期：終點(diǎn)節(jié)點(diǎn)的最早完成時(shí)間最大值就是該網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的計(jì)算工期。

由上式得到工程完成工期公式為：

(9)

小結(jié)：網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃?rùn)M道圖和網(wǎng)絡(luò)圖可以用網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃分段數(shù)學(xué)模型的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由于篇幅太長(zhǎng)，這里不一一說(shuō)明。

1.4 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的分解與合并

(1)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型由于施工時(shí)間的提前或延誤而不得不增加或減少作業(yè)時(shí)間，圖5是網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中作業(yè)時(shí)間減少的拓?fù)鋱D(即提前作業(yè)時(shí)間)。

圖5 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃工序時(shí)間減少拓?fù)?/p>

由圖5得到網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃第一時(shí)段數(shù)學(xué)模型工序時(shí)間減少數(shù)學(xué)公式：

(10)

同理，網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃第一時(shí)段數(shù)學(xué)模型工序時(shí)間增加數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)如下

(11)

由式(10)、(11)推導(dǎo)第一時(shí)段數(shù)學(xué)模型分解和合并公式

(12)

式中：tk為第一時(shí)段減少或增加網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃工序時(shí)長(zhǎng)。

同理推導(dǎo)第n時(shí)段減少或增加網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃工序時(shí)長(zhǎng)公式

(13)

(2)分段網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型時(shí)段的增減數(shù)學(xué)公式

由圖4我們可推導(dǎo)第三時(shí)段的增減公式

(14)

式中：y(d3)為網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃變化后新網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的第三時(shí)段；x(d3)為原網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃第三時(shí)段；x(dk)為增減時(shí)段時(shí)長(zhǎng)。

上式(14)推理得第n時(shí)段的增減公式

(15)

(3)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型點(diǎn)和線的分解合并

由于網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃需減少網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)或線，分支網(wǎng)絡(luò)會(huì)發(fā)生變化。圖6是網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃分支網(wǎng)絡(luò)發(fā)生減少的拓?fù)鋱D。

圖6 分支網(wǎng)絡(luò)減少拓?fù)溥壿媹D

由圖6推導(dǎo)分支網(wǎng)絡(luò)減少一個(gè)點(diǎn)或線數(shù)學(xué)模型如下

(16)

動(dòng)態(tài)顯色法檢測(cè)4種清熱解毒類(lèi)中藥注射液中細(xì)菌內(nèi)毒素含量 …………………………………………… 張軍霞等（13）：1806

同理，分支網(wǎng)絡(luò)增加一個(gè)點(diǎn)或線數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)如下

(17)

1.5 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的分解合并公式

由式(10)至(17)推導(dǎo)任意時(shí)段網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型分解和合并公式

(18)

式中：k為各時(shí)段可增減的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型集數(shù)，為任意自然正數(shù)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)、線增加、減少或變大變小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)就會(huì)變大或收縮。

1.6 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)公式

由于實(shí)際工程過(guò)程中干擾因素太多，特別是幾個(gè)子系統(tǒng)之間的相互作用也非常大，在網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃運(yùn)行期間，網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中的點(diǎn)或線發(fā)生變化。因此有必要表示數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型的動(dòng)態(tài)比率V，它是網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的實(shí)時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)情況，圖6可以指定單個(gè)時(shí)段的動(dòng)態(tài)比率公式。

(19)

由此推理，任意時(shí)段計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)關(guān)系公式如下

(20)

動(dòng)態(tài)比率越高，網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的運(yùn)行效率越高，反之亦然，動(dòng)態(tài)比率公式在網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中的應(yīng)用成為網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)圖。

1.7 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)邏輯地址

用網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)邏輯地址，比較清晰簡(jiǎn)潔。

如圖2所示，點(diǎn)x(2,1)數(shù)學(xué)邏輯地址表示式為

(21)

(22)

將線(運(yùn)行時(shí)間)(1,1|2,1)(25)數(shù)學(xué)邏輯地址表示式如下

(23)

由此得到線路計(jì)劃(運(yùn)行時(shí)間)的數(shù)學(xué)地址公式

(24)

網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)邏輯地址可以快速找到網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中便于查找和處理問(wèn)題的特定點(diǎn)或線，具有表示簡(jiǎn)單、擴(kuò)展無(wú)限的特點(diǎn)。

1.8 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的乘法公式

從網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的加減法導(dǎo)出網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的乘法公式

(25)

網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的加、減、乘就是相應(yīng)原數(shù)學(xué)模型的加、減、乘。

1.9 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的特征向量和特征值

如果有一個(gè)矩陣A，向量v經(jīng)過(guò)線性變換后應(yīng)該保持同一方向，只擴(kuò)展或壓縮一定的倍數(shù)，即：Av=λv。所以這個(gè)向量v就是特征向量，λ就是特征值。特征向量和特征值的幾何本質(zhì)實(shí)際上是空間向量的縮放。

(26)

2 網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的人工智能

2.1 深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型

讓計(jì)算機(jī)從數(shù)據(jù)中自動(dòng)“學(xué)習(xí)”規(guī)律，并利用規(guī)律預(yù)測(cè)未知數(shù)據(jù)，這是計(jì)算機(jī)模擬或?qū)崿F(xiàn)人類(lèi)的學(xué)習(xí)行為，以獲取新的知識(shí)或技能，重組現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而不斷提高自身能力。它是從數(shù)據(jù)中提取規(guī)則或模式，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為信息進(jìn)行學(xué)習(xí)：對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，形成特征，然后根據(jù)特征建立一定的模型，然后對(duì)采集到的數(shù)據(jù)分配權(quán)重、偏差等參數(shù)，達(dá)到學(xué)習(xí)的目的。

整個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算可以用矩陣形式給出。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的單層公式中，每層神經(jīng)元的數(shù)目不同，輸入輸出維數(shù)不同，公式中矩陣和向量的行數(shù)和列數(shù)不同，但形式是一致的。假設(shè)我們考慮的這一層是第i層。它接受m個(gè)輸入，因此該層的計(jì)算如下

(27)

通過(guò)替換數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃模型(27)的特征向量和特征值公式(26)，得到深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型

(28)

人工智能網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃只是一種允許計(jì)算機(jī)通過(guò)合并新數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)的算法。它是根據(jù)邏輯規(guī)則模擬人類(lèi)思維、信息分布、并行處理和推理的過(guò)程，這種思維是將存儲(chǔ)在分布式存儲(chǔ)器中的信息進(jìn)行綜合，產(chǎn)生的想法或解決問(wèn)題的辦法。

2.2 人工智能在網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃上的應(yīng)用

網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖的優(yōu)化是人工智能研究的一個(gè)方向。如我們研究網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的關(guān)鍵路徑，即在一條路徑上，施工時(shí)間的工作時(shí)間之和相等，如果一條路徑上每一項(xiàng)工作的時(shí)間差為零，那么這條路徑就是關(guān)鍵路徑。然而，創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)圖涉及到很多因素，而且準(zhǔn)備過(guò)程往往很復(fù)雜，對(duì)人員的經(jīng)驗(yàn)依賴(lài)性很大。編制結(jié)果的可靠性和執(zhí)行力較差，尤其是對(duì)編制重大項(xiàng)目計(jì)劃的年輕工程師來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵路徑與實(shí)際情況、環(huán)境因素、設(shè)備因素、交通因素、人員因素等都有較大差距。我們通過(guò)人工智能將這些因素輸入到計(jì)算機(jī)中，找到最佳的關(guān)鍵路徑。

以圖2為例。有3條路徑

第一條路徑:f1=x(1)→x(2)→x(3)→x(3,1)→x(3,2)→x(3,2,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

第二條路徑:f1=x(1)→x(2)→x(3,1)→x(2,3)→x(2,3,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

第三條路徑:f1=x(1)→x(2)→x(2,1)→x(2,2)→x(2,3)→x(2,3,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

由以往工程典型數(shù)據(jù)庫(kù)或?qū)＜姨峁┘皵?shù)學(xué)方程算出的權(quán)重值為

=(0.36,0.32,0.32)

將這3條路徑代入網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃深度學(xué)習(xí)公式(28)得到下式(由于本權(quán)重值采用精確值，故偏置向量不必微調(diào)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃?rùn)?quán)重，即b=0)得

經(jīng)過(guò)計(jì)算路徑f1對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為

0.95×0.36+0×0.32+0.5×0.32=0.5

依此類(lèi)推得路徑f2、f3對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為0.31、0.78。由此我們看出f3>f1>f2，f3為關(guān)鍵路徑，f1為次要路徑，f2為輔助路徑。

3 結(jié)語(yǔ)

網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃在項(xiàng)目管理中起著重要的作用，優(yōu)化進(jìn)度是管理進(jìn)度的關(guān)鍵?；诰W(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)進(jìn)度與技術(shù)要素之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，直觀地表達(dá)施工工期和施工過(guò)程，為建設(shè)方、監(jiān)理和業(yè)主提供了一個(gè)直觀了解工程情況的實(shí)用工具，網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖讓很多工程從業(yè)者談圖色變，用抽象的數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)化了復(fù)雜區(qū)域的布局和施工工期，邏輯上簡(jiǎn)單明確。該公式可擴(kuò)展為原始的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，有助于分析計(jì)算不同的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃數(shù)據(jù)，具有直觀性強(qiáng)、效率高、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)換成動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)圖，使數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)操作一目了然，數(shù)據(jù)可以快速轉(zhuǎn)換和優(yōu)化，它符合數(shù)據(jù)拓?fù)淇刂坪头侄螖?shù)據(jù)管理的要求，因此，建立了一個(gè)比較系統(tǒng)集成的數(shù)據(jù)模擬系統(tǒng)。本研究將提高我國(guó)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃和計(jì)算技術(shù)的理論水平，為我國(guó)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展創(chuàng)造理論儲(chǔ)備和平臺(tái)，該數(shù)學(xué)模型還可以在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行人工智能研究，并不斷將新的數(shù)據(jù)輸入并總結(jié)來(lái)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。